Quanto entra la matematica applicata nella nostra vita?

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Quanto entra la matematica applicata nella nostra
vita?
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Sommario

• La Matematica Applicata
• Applicazioni (tradizionali e non) della
  matematica allindustria
• Un esempio da imitare il MOX al Poli di Milano
• LIstituto Fraunhofer ITWM di Kaiserslautern
• Alcuni esempi trattati a Catania
• simulatore strutturale di un sistema osso-protesi
• simulazione di colate laviche

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Applicazione della Matematica al mondo reale
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Applicazioni classiche
Tutta lingegneria si basa sulle applicazioni
della matematica a problemi del mondo
reale. Basti pensare ai circuiti elettrici, o
alla costruzione di grandi strutture.
Applicazione prototipo Circuiti elettrici
Descrizione di un cirtuito a parametri
concentrati La struttura di un circuito è
descritto da un grafo. levoluzione delle
correnti nei componenti di un circuito è
descritta da un sistema di equazionidifferenzial
i ordinarie.Nei casi più semplicie lineari,
levoluzionedel circuito puòessere
calcolataanaliticamente.
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Simulazione circuitale
Circuiti non lineari di grandi dimensioni sono
descritti da sistemi di equazioni
differenziali-algebriche con un elevato numero di
variabili (106 funzioni incognite). Occorre
utilizzare metodi appropriati per la risoluzione
di tali sistemi di equazioni (Metodi numerici per
sistemi differenziali-algebrici, con controllo
del passo). Si richiede la conoscenza delle
caratteristiche dei dispositivi dei quali il
circuito è composto.
Le caratteristiche di un dispositivo (resistore,
capacitore, transistor, diodo, etc.) dipendono
dalla struttura fisica del dispositivo (es. dalle
dimensioni del canale e dai profili di drogaggio
per un diodo). Simulazione al calcolatore a
livello di dispositivo a seconda delle
dimensioni fisiche del dispositivo, si possono
usare modelli matematici adeguati di crescente
accuratezza nella descrizione fisica (e
conseguente complessità computazionale)
Simulazione densità portatori in
dispositivo bidimensionale V.Romano, DMI

• drift-diffusion
• idrodinamico
• cinetico
• quantistico

Simulazione multifisica alcune parti del
circuito sono descritti da ODE, altre da PDE
(Ali, Bartel, Guenther Micheletti)
Complessità
Innovazione
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Altre applicazioni tradizionali

• Progettazione di aerei (simulazione della
  aerodinamica dei profili alari, simulazione dei
  fussi nei turboreattori)
• Statica e dinamica di strutture (soluzione al
  calcolatore delle equazioni che descrivono la
  dinamica di continui deformabili)
• Previsione meteorologiche (soluzione delle
  equazioni alle derivate parziali che descrivono
  la fisica dellatmosfera, tenendo conto anche
  delle misurazioni in tempo reale)
• Tomografia assiale computerizzata (le immagini
  ricostruite al calcolatore in base ai segnali
  rivelati a seguito dellassorbimento dei tessuti
  sono ottenute mediante un procedimento
  matematico, linversione della trasformata di
  Radon)
• Applicazioni di tecniche informatiche di gestione
  di grandi quantità di dati (data mining)

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La ricerca di google

• Il motore di ricerca trova le pagine più
  interessanti che contengono la stringa che
  cerchiamo
• Lalgoritmo alla base di tale magia è basato su
  un metodo numerico per la ricerca di autovalori
  ed autovettori di una matrice (verrà trattato nel
  corso)

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Nuove applicazioni della matematicaa problemi
industriali

• Emodinamica computazionale simualazione del
  flusso in arterie, e progettazione di stent,
  valvole cardiache, diagnostica. Modellizzazione
  multiscala 3D 1D 0D (Quarteroni
  Veneziani, MOX, Politecnico di Milano)
• Ottimizzazione del profilo dello scafo in barche
  da competizione, mediante simulazione al computer
  (MOX e EPFL, Losanna)
• Progettazione di nuove fibre tessili artificiali
  nuove strutture che garantiscano migliori
  caratteristiche
• Industria manifatturiera del vetro

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Un esempio in Italia Il MOX del Politecnico di
Milano
Emodinamica (Alessandro Veneziani, MOX,
Politecnico di Milano) Soluzione numerica delle
equazioni di Navier-Stokes della fluidodinamica
incomprimibile per un fluido (non newtoniano).
Studio della diffusione e del trasporto di
soluti del sangue nei distretti vasacolari
Progetto Vene modellizzazione numerica della
rete venosa nel sistema cardiovascolareEsempio
di simulazione di anastòmosi
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A livello di sistema circolatorio si effettua una
simulazione multiscala. Il modello tiene conto
della interazione fluido-parete e della
elasticità dei vasi sanguigni.
Multiscale computation (2D/1D) in a simplified
model of a carotid bifurcation Animations of
Pressure and Streamlines
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Un esempio in Europa ITWM - Fraunhofer

• Collaborazioni passate e presenti DMI-ITWM
• Transfer of Knowledge (ToK) with ST, AIVE, POKER,
  LIMA

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La ricerca applicata allITWM
Otto dipartimenti di ricerca

• Processi di trasporto
• Simulazione di flussi e materiali
• Elaborazione di immagini
• Analisi dei sistemi
• Ottimizzazione
• Matematica Finanziaria
• Metodi matematici per la dinamica
• Calcolo di alte prestazioni e visualizzazione

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Esempi di processi di trasporto

• Simulazione della esplosione di un airbag

Quale è leffetto della esplosione di un airbag
su un individuo, e quali danni produce ?
Raffreddamento del vetro
Schott Glas, Mainz
La dinamica del raffreddamento del vetro
determina le proprietà (sforzo residuo) e quindi
qualità (ottiche) del prodotto finale
Simulazione produzione di tessuto
nonwovenDipende dalla interazione di un
flusso di aria con i filamenti di tessuto
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Simulazione della esplosione di un airbag
La risposta può essere affidataad una
simulazione dettagliata

• Problema matematico
• equazioni di Navier-Stokes comprimibili in un
  dominio non noto a priori (problema a frontiera
  libera)
• interazione fluido-struttuta

Discretizzazione temporale nota la geometria,
le equazioni di NS per il gas sono risolte
mediante il Finite Pointset Method
(FPM), sviluppato allITWM, che calcola la
distribuzione di pressioni sulla membrana.
Un codice agli elementi finiti calcola la nuova
configurazione della membrana a seguito della
distribuzione di pressione. La nuova
configurazione è usata come input per FPM per il
successivo passo temporale ...
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Modello per il trasporto radiativo nello studio
del raffreddamento del vetro.
Pacchetti commerciali conduzione del calore
legge di Stephan sulla superficie
Trasporto radiativo la funzione incognitaè il
flusso di radiazione. Dipende da 7 coordinate, e
soddisfa una complessa equazione
integrodifferenziale.
AllITMW è stato sviluppato un modello
perturbativo si assume che lo spessore di
penetrazione della radiazione sia piccolo
più accurato del modello commercialemeno
costoso del full radiative heat transfer
Possibile applicazione al raffreddamento della
lava (un vetro sporco)
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Progettazione di nuove fibre
Moto di un sistema di fibre sottolazione di un
flusso daria variabile
Interazione fluido-struttura
Flusso daria
Fibre
Il moto delle fibre viene calcolatorisolvendo le
equazioni della dinamica per ciascuna fibra. Il
moto del fluido si suppone non influenzato dal
moto delle fibre. Linterazione fra le fibre
viene presa in considerazione
Dallo studio della interazione con il nastro
trasportatore si può simulare la struttura (e
quindi le proprietà) delle fibre
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Alcune applicazioni studiate a Catania

• Simulazione di crestita epitassiale di cristalli
• Simulazione di colate laviche
• Flussi rarefatti in Micro Electro Mechanical
  Systems (MEMS)
• Progettazione di protesi del ginocchio

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Esempio di simulazione di un modello di crescita
di Ge su Si, con effetti elastici Aspetto
innovativo tecnica di caldolo efficiente degli
effetti elastici mediante uso di un approccio
Multigrid-Fourier
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MEMS Micro Electro Mechanical Systems
Nuova tecnologia che sta rimpiazzando sistemi
meccanici tradizionali allinterno di circuiti
Utilizzata per la costruzione di piccole parti in
movimentocome capacitori regolabili, misuratori
di accelerazioni, micropompe, allinterno di
circuiti di silicio
I flussi di gas allinterno dei MEMS sono
rarefatti anche a condizioni ambientali standard
descrizione cinetica
Progetto MONUMENT Modellizzazione Numerica MEms
e NanoTecnologia
Galileo collaborazione Italia-FranciaUniv. di
Catania (G.R.) univ. di Lione
(F.Filbet)Aderisce il gruppo del prof.
Frezzotti, MOX
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Progetto LAVA
Convenzione INGV-Dip.Protezione Civile
Realization of lava flow invasionhazard map at
mt Etna and methods for its dynamic update
Resp Ciro Del Negro, INGV,Stefano Gresta,
UniCTStefano Ciolli, DPC
10 Research Units
RU 8 (G.R.) simulazione numerica di flussi lavici

• Modelli matematici per il raffreddamento della
  lava
• Metodi lagrangiani per simulazione di colate
  (tipo FPM)
• Metodi euleriani (griglia fissa) per problemi a
  frontiera mobileutilizzando tecniche level set

• Lava descritta come fluido di Bingham (occorre
  pendenza minima)
• Soluzione numeriche delle eq. di NS
• Formazione della crosta ed ingrottamento

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Il progetto LIMAUn prototipo di ricerca
applicata internazionale ed interdisciplinare
Partecipanti

• Università di Catania
• DMI
• DIIM
• Consorzio Catania Ricerche
• Ospedale Vittorio Emanuele, Catania
• Limagroup, San Daniele, Italia
• ITWM, Kaiserslautern, Germania

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• Obiettivo principale produrre software
  prototipo(KneeMech) che assista il chirurgo
  nellimpiantazione della protesi al ginocchio
• Data la forma della protesi, ed il taglio
  allosso, il programma dovrebbe
• Calcolare la distribuzione di sforzi e
  deformazioni nellosso, sottoposto ad un carico
  tipico
• Visualizzare i risultati mediante un grafico a
  colori bidimensionale di una sezione arbitraria
• Effettuare analisi di sensitività produrre
  lintervallo di sforzi e deformazioni, noto che
  sia lincertezza sui dati

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Modellizzazione matematica dellosso

• Losso è modellizzato come un materiale
  viscoelastico tridimensionale, composto da una
  regione corticale (rigida) e da una regione
  spongiosa (soffice)
• Ricostruzione geometrica da immagini TAC, fornite
  dallOspedale Vittorio Emanuele
• Tipica immagine TAC del femore sinistra in
  mezzo, destra zona vicino al ginocchio

3D segmentazione la sequenza di informazioni 2D
è convertita indati 3D in termini di voxel
(lequivalente 3D dei pixels)
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Modellizzazione del ginocchio
DMI Image processing group (S.Battiato,
G.Impoco)
Estrazione dei modelli 3D dalle immagini TAC
CT Scan of the bone
Binarisation
3D Model
Il modello 3D restituisce anche, mediante
interpolazione, i parametri meccanici dellosso
forniti dalle misure ottenute da DIIM in alcuni
punti
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Misurazioni meccaniche
DIIM gruppo dei Proff. Risitano e La Rosa

• Le proprietà meccaniche della protesi sono state
  misurate mediante prove di sollecitazione a
  (micro) fatica usando il metodo Risitano (effetto
  termico indotto dalla microplasticità)Un tale
  metodo è molto meno invasivo degli standard test
  a fatica

Setup sperimentale e mappa termica per la protesi
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Proprietà meccaniche dellosso
Le proprietà meccaniche dellosso sono state
misurate da piccoli campioni cilindrici di osso,
nelle regioni corticale e spongiosa. Allo scopo è
stata utilizzata una macchina per
microcompressione appositamente costruita.
Un modello matematico viscoelastico a cinque
parametri è stato utilizzato.

• I parametri che identificanole proprietà
  viscoelastichedel materiale sono stateottenute
  mediante least square best-fit della curva di
  risposta temporaledurante prove di rilassamento.

Una TAC dellosso viene quindi effettuata dopo
che il campione èstato estratto, per ottenere
una mappatura geometrica delle proprietà
meccaniche dellosso.
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Finite element calculation and 3D visualization
ITWM Heiko Andrä, Julia Orlik and Aivars Zemitis

• FE multi-scale contact analysis based software
  which takes into account
• Contact between bone and tibial plate
• CT data
• Mechanical properties of the bone
• Static and dynamic load conditions

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3D representation of the boneand prosthesis
positioning
Voxel representation of the tibial bone
3D navigation and cross section cut
Placement of the prosthesis
Rotation, translation and final positioning
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Mathematical model and numerical simulation

• 3D partial differential equations for stress and
  strain in the bone and in the prosthesis
• The equations are discretized on a tetrahedral
  grid, obtaining a large, sparse algebraic linear
  system for the displacement array
• The system is solved by a suitable iterative
  solver

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Grid genertion
The grid is first generated by subdividing each
voxel
Then it is hierarchical coarsened in the two
regions of the bone (cortical and spongiosa) in
order to reduce the number of unknowns (and
therefore the computaiton time)
Example of grid coarsening
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Visualization of the results

• From the displacement, all desired quantities can
  be computed by postprocessing

Von Mises stress (typical parameter in breaking
test) in the prosthesis (left) and bone (right)
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Analisi di sensitività
DMI G.R., G.Bilotta

• Incertezza sulle proprietà meccaniche (es. sul
  modulo di elasticità) dellosso.
• Obiettivo dellanalisi fornire un intervallo di
  risultati, data una incertezza sulle proprietà
  meccaniche.
• I metodi noti in letteratura sono stati
  analizzati Aritmetica degli intervalli ed
  aritmetica affine
• Analisi strutturale con aritmetica affine per
  piccole incertezze il problema è ridotto a n 1
  simulazioni FEM classiche. dove n è il numero di
  parametri incerti.
• Risultati intervalli di variazione di sforzo e
  spostamento.
• Prototipo KneeMech 2 parametri incerti moduli
  di elasticità nelle due regioni corticale e
  spongiosa.
• Visualizzazione grafica dei valori estremi di
  sforzo e spostamento.

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(No Transcript)