Apprendre les math

1
Apprendre les mathématiques à partir dexemples
abstraits les résultats de Kaminski sont-ils
convaincants ?

• Dirk De Bock, Johan Deprez,Wim Van Dooren,
  Michel Roelens,Lieven Verschaffel
• texte Losanges
• dias www.ua.ac.be/johan.deprez gt Documenten

2

• Johan Deprez
• professeur de mathématiques, Faculteit Economie
  en Management, HUBrussel (EHSAL)
• professeur/assistent, Agrégation de
  l'Enseignement Secondaire Supérieur, Universiteit
  Antwerpen et KULeuven
• membre de la rédaction de la revue Uitwiskeling
• Dirk De Bock
• professeur de mathématiques et coordinateur du
  groupe de recherche Educational Research
  Development, Faculteit Economie en Management,
  HUBrussel (EHSAL)
• chercheur au Centrum voor Instructiepsychologie
  en technologie (Departement Pedagogische
  Wetenschappen, KULeuven)

3
Les mathématiques abstraite sapprennent mieux
que les exemples pratiques
Est-ce que les mathématiques à lécole soccupent
des trains qui meuvent, , des paysans qui sèment
? Ou déquations abstraites contenant des x et y
et des fractions et des carrés ? Et lesquelles
des deux fonctionnent le mieux ?
4
Les exemples sont mauvais pour lapprentissage
des mathématiques (25 avril 2008)
5
(No Transcript)
6
Introduction

• articles sont inspirés par
• thèse de doctorat
• Kaminski, J. A. (2006). The effects of
  concreteness on learning, transfer, and
  representation of mathematical concepts.
• série darticles dans des revues scientifiques
• Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., Heckler, A.
  F. (2008). The advantage of abstract examples in
  learning math. Science, 320, 454455.

7
Kaminski et ses collaborateurs

• ont mis en doute la conviction comme quoi
  lapprentissage des maths se déroule du concret à
  labstrait
• Instantiating an abstract concept in concrete
  contexts places the additional demand on the
  learner of ignoring irrelevant, salient
  superficial information, making the process of
  abstracting common structure more difficult than
  if a generic instantiation were considered
• (Kaminski, 2006, p. 114)
• série dexpériences contrôlées avec
  (principalement) des étudiants bacheliers en
  psychologie

8
Kaminski et ses collaborateurs

• conclusion principale
• If the goal of teaching mathematics is to
  produce knowledge that students can apply to
  multiple situations, then representing
  mathematical concepts through generic
  instantiations, such as traditional symbolic
  notation, may be more effective than a series of
  good examples.
• (Kaminski et al., 2008, p. 455)

9
Réactions critiques de collègues chercheurs

• dans le Educational Forum et les e-letters de
  Science
• Cutrona, 2008
• Mourrat, 2008
• Podolefsky Finkelstein, 2008
• research commentary par Jones dans le Journal for
  Research in Mathematics Education (2009)
• dans des médias moins formels
• McCallum, 2008
• Deprez, 2008

10
Cette présentation

1. Introduction
2. Groupe commutatif dordre 3
3. Létude de Kaminski et ses collaborateurs
4. Quelques éléments importants de critique
5. Une comparaison injuste
6. Quest-ce que les étudiants ont vraiment appris ?
7. Transfert à un groupe dordre 4
8. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent être
   généralisés ?
9. Quelques éléments supplémentaires de critique
10. A la recherche dévidence empirique
11. Considérations finales

11
Groupe commutatif dordre 3
12
Groupe commutatif dordre 3

• un ensemble G de 3 éléments
• exemples
• 0,1,2
• r120, r240, r0 , où r120 dénote la rotation
  de 120
• a, b, c où a, b et c ne sont pas précisés
• muni dune opération
• 0,1,2 addition modulo 3, par exemple 221
• r120, r240, r0 appliquer les rotations
  successivement, par exemple dabord r120, puis
  r240 donne r0
• a, b, c lopération est décrite par un
  tableau 3 sur 3
• qui remplit certaines conditions

13
Groupe commutatif dordre 3
0

• un ensemble G de 3 éléments
• muni dune opération
• qui remplit certaines conditions
• commutativité xyyx pour chaque x et y dans G
• associativité (xy)zx(yz) pour chaque x, y
  et z dans G
• lexistence dun élément neutre G contient un
  élément n pour lequel xnxnx pour chaque x
  dans G
• lexistence dun élément inverse pour chaque
  élément x dans G il y a un élément x pour lequel
  xxnxx
• les deux exemples sont des groupes isomorphes
• tous les groupes dordre 3 sont isomorphes

1
2
14
Létude de Kaminski et ses collaborateurs
15
Lexpérience de base de Kaminski(80 étudiants
bachelier)
Phase 1 Domaine dinstruction étude test
Phase 2 Domaine de transfert présentation test
A Tablettes dargile dun site archéologique
T Jeu pour enfants
C Gobelets gradués
16
Phase 1

• instruction
• introduction
• présentation explicite des règles par exemples
• exercices avec feedback
• exemples complexes
• résumé des règles
• test dapprentissage 24 questions à choix
  multiples

17
(No Transcript)
18
Phase 2

• présentation
• introduction au jeu
• Les règles du système que tu as appris tout à
  lheure sont comme les règles du jeu.
• 12 exemples de combinaisons
• test de transfert
• 24 questions à choix multiples

19
Resultats

• test dapprentissage A C
• test de transfert A gt C

20
Quelques éléments importants de critique
21
1. Une comparaison injuste

• Kaminski a contrôlé la similitude superficielle
• (autres) étudiants bacheliers qui uniquement ont
  lu des descriptions des contextes T-A ou T-C et
  ils ont indiqué le degré de ressemblance quils
  percevaient
• peu de ressemblances
• pas de différence significative entre T-A vs. T-C
• critiques comparaison injuste à cause de
  similitudes à un niveau plus profond entre T et A
• (McCallum, 2008 Cutrona, 2009 Deprez, 2008
  Jones, 2009a, 2009b Mourrat, 2008, Podolefsky
  Finkelstein, 2009)

A
C
T
22
1. Une comparaison injuste

• rôle joué par des connaissances préalables
• A et T
• symboles arbitraires
• opérations déterminées uniquement par des règles
  formelles
• message connaissances préalables sont inutiles
  !
• C interprétation physique/numérique
• pour les symboles
• pour les opérations
• message connaissances préalables sont utiles !
• A est beaucoup plus similaire à T que C

A
C
T
23
1. Une comparaison injuste

• le concept mathématique appris
• A et T groupe commutatif
• (commutativité, associativité, existence dun
  élément neutre, existence des éléments inverses)
• C communiqué explicitement (groupe commutatif)
• vs. communiqué implicitement (addition
  modulaire)
• les deux sont des concepts importants en maths
• mais il sagit de concepts différents !
• 2 et 3 éléments uniquement le groupe déterminé
  par laddition modulaire
• n éléments, ngt3, non-premier il y a dautres
  groupes que le groupe déterminé par laddition
  modulaire
• A et C apprenaient des concepts différents !
• le concept appris par A est plus utile pour T

A
C
T
24
1. Une comparaison injuste

• structure mathématique
• A élém. neutre n, 2 générateurs symétriques a
  et b
• n,a,b,
• (1.1) aab,
• (1.2) bba
• (1.3) abban
• C symétrie rompue (1?2), un générateur a
• n,a,b
• (2.1) aab
• (2.2) aaan
• structures équivalentes
• mais des aspects différents sont accentués
• A/C apercevaient/ignoraient des aspects
  différents
• structure de T structure de A ? structure de C

A
C
112 1113
T
25
2. Quest-ce que les étudiants ont vraiment
appris ?

• Questions à choix multiples ne donnent pas
  dinformations pour savoir comment les sujets ont
  trouvé la réponse.
• Quest-ce que les étudiants ont réellement appris
  ?
• appliquer un ensemble de règles spécifiques ?
• addition modulo 3 ?
• propriétés dun groupe commutatif dordre 3
  (commutativité, ) ?
• Est-ce que les sujets appliquent les propriétés
  dun groupe commutatif de façon consciente ?
• Les sujets sont habitués à ces propriétés par
  leurs expériences dans les systèmes de calcul
  traditionnels.
• En plus, ils ne connaissent pas de systèmes de
  calculs dans lesquels ces propriétés ne sont pas
  valables.

26
3. Transfert à un groupe dordre 4

• une expérience de la thèse de doctorat de
  Kaminski qui nest pas rapportée dans Science et
  les autres revues
• notre interprétation des résultats de cette
  expérience
• un nouveau test de transfert concernant un groupe
  dordre 4 cf. dia suivant
• Répondez aux trois premières questions du test !

27
Experiment 6
28
3. Transfert à un groupe dordre 4

• premier domaine dinstruction de cette nouvelle
  expérience domaine dinstruction A de
  lexpérience de base (tablettes dargile)
• résultats pour le nouveau test de transfert
  nétaient pas bons statistiquement pas
  discernables de simples réponses aléatoires
• transfert à partir du domaine dinstruction A est
  très limité ! (? titre affirmatif de Kaminski et
  al dans Science)

29
3. Transfert à un groupe dordre 4

• deuxième domaine dinstruction de lexpérience
  nouvelle domaine dinstruction A de
  lexpérience de base diagramme relationnel
• bons résultats au nouveau test de transfert
• diagramme communique le caractère cyclique du
  groupe (équivalent à laddition modulaire)

30
3. Transfert à un groupe dordre 4

• troisième domaine dinstruction de lexpérience
  nouvelle est un domaine concret avec une
  représentation graphique
• bons résultats au nouveau test de transfert
• bon transfert à partir dun exemple concret

31
3. Transfert à un groupe dordre 4

• Cette expérience de Kaminski et ses
  collaborateurs donne une autre impression que
  lexpérience de base
• pas de transfert à partir du domaine
  dinstruction abstrait
• bon transfert à partir dun domaine dinstruction
  concret

32
4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent
être généralisés ?

• Kaminski et al. dans Science, 2008, p. 455
• Moreover, because the concept used in this
  research involved basic mathematical principles
  and test questions both novel and complex, these
  findings could likely be generalized to other
  areas of mathematics. For example, solution
  strategies may be less likely to transfer from
  problems involving moving trains or changing
  water levels than from problems involving only
  variables and numbers.
• beaucoup de chercheurs ont exprimé des doutes
• une question spécifique concernant
  généralisabilité
• Est-ce quil est possible de construire un
  domaine dinstruction dans le style de Kaminski
  pour des objets mathématiques un petit peu plus
  complexes, notamment les groupes cycliques
  dordre 4 et plus ?

33
4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent
être généralisés ?

• Domaine dinstruction abstrait dans le style de
  Kaminski pour les groupes cycliques dordre 4 et
  plus ?
• ordre 3 él. neutre n, 2 générateurs
  symétriques a et b
• n,a,b,
• (1.1) aab,
• (1.2) bba
• (1.3) abban
• table de Cayley dun groupe commutatif dordre 3

n a b
n
a
b
n a b
n n a b
a a
b b
n a b
n n a b
a a b n
b b a
n a b
n n a b
a a b n
b b n a
34
4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent
être généralisés ?

• Domaine dinstruction abstrait dans le style de
  Kaminski pour les groupes cycliques dordre 4 et
  plus ?
• table de Cayley pour le groupe cyclique dordre 4
• (un des deux groupes dordre 4)
• 16 cellules
• 9 cellules à faire après application du règle de
  lélément neutre
• 321 6 règles spécifiques
• 3 cellules en appliquant la propriété de la
  commutativité

n a b c
n
a
b
c
n a b c
n n a b c
a a
b b
c c
n a b c
n n a b c
a a b c n
b b n a
c c b
n a b c
n n a b c
a a b c n
b b c n a
c c n a b
35
4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent
être généralisés ?
n a b c
n n a b c
a a b c n
b b c n a
c c n a b

• Groupes cycliques dordre
• 5 4321 10 règles spécifiques
• 6 54321 15 règles spécifiques
• 7, 8, 9, 21, 28, 36, règles spécifiques
• notre étude empirique sujets dans le domaine
  dinstruction abstrait de lexpérience de base de
  Kaminski appliquaient surtout les règles
  spécifiques
• Probablement, un domaine dinstruction abstrait
  dans le style de Kaminski ne conduira ni à
  lapprentissage des groupes cycliques dordre 4
  et plus ni au transfert réussit.

36
5. Quelques éléments supplémentaires de critique

• Transfert dans lexpérience de base de Kaminski
  est
• transfert proche (pour la domaine dinstruction
  A)
• transfert immédiat (? transfert à long terme)
• transfert provoqué (? transfert spontané)
• ? transfert dans une situation denseignement
  réelle !
• phase dinstruction concrète très éloignée dun
  bon cours de mathématiques qui part du monde
  concret des élèves
• des contextes très artificiels
• phase de décontextualisation est totalement
  absente
• règles dun groupe commutatif dordre 3 ne sont
  pas utiles dans la phase dinstruction concrète
  et par conséquence elles ne sont pas apprises par
  les sujets

37
A la recherche dévidence empirique
38
Méthode

• Participants 130 étudiants bacheliers en
  pédagogie
• Deux phases
• contexte dinstruction instruction test
• contexte de transfert présentation test
• Quatre conditions expérimentales
• (A abstraite, C concrète)
• AA, CA, AC, et CC
• AA et CA conditions Kaminski
• AC et CC ajouts importants par nous

39
Méthode

• Élaboration des domaines
• instruction A tablettes dargile dun site
  archéologique
• transfert A jeu fictif pour enfants
• instruction C gobelets gradués
• transfert C pizzas
• (morceaux de pizza qui se comportent de la même
  façon que les gobelets gradués)

40
Méthode
41
Méthode
42
Méthode
43
Méthode
44
Méthode

• Dans toutes les conditions
• Avant de faire passer le test à la fin de la
  phase dinstruction présentation dun aperçu
  des idées clés.

45
Méthode
46
Méthode

• Le test final de la phase dinstruction ainsi
  que le test de transfert étaient composés de 24
  questions isomorphes à choix multiples

47
Méthode
48
Méthode
49
Méthode

• Deuxième différence importante avec la procédure
  de Kaminski
• Insertion dune question ouverte tout de suite
  après la phase dinstruction
• P. ex., après la phase dinstruction concrète
• Que faut-il mettre à la place du point
  dinterrogation ?
• Explique le plus précisément possible comment tu
  las trouvé.

?
50
Méthode

• Ou après la phase dinstruction abstraite
• Que faut-il mettre à la place du point
  dinterrogation ?
• Explique le plus précisément possible comment tu
  las trouvé.
• Instruction tests
• individuellement
• sans intervalle de temps entre les deux phases
• à leur propre rythme
• ordinateur

?
51
Méthode - Analyse

• Scores aux tests dinstruction et de transfert
  analyse statistique (ANOVA Tukey HSD) après
  élimination des cas aberrants (selon une même
  procédure que chez Kaminski)
• Explications  question ouverte 
• système de scores développé et appliqué par deux
  correcteurs indépendants

52
Méthode - Analyse

• Système de scores
• Unité danalyse explication dun participant
• Quatre catégories principales
• G (Groupe)
• M (Modulo)
• R (Règles)
• N (Non)
• Sous-catégories
• G1, G2, G3, G4
• M1, M2
• Scores 2, 1 ou 0

53
Méthode - Analyse

• Système de scores
• 2 formulation à un niveau général
• Exemples
•  lordre na pas dimportance 
•  si on combine un drapeau avec un autre symbole,
  on a toujours lautre symbole 
•  2 2 4 ? 3 1 
• 1 application non-ambigüe
• 0 autrement

54
Résultats Résultats quantitatifs

• Test dapprentissage AC lt CA, CC
• Test de transfert CA lt AA, AC, CC et AC lt CC

Condition Moyenne et écart type des scores (Max 24) Moyenne et écart type des scores (Max 24)
Condition Test dapprentissage Test de transfert
AA (N 23) 17.1 (3.9) 18.1 (3.8)
AC (N 30) 15.3 (3.5) 17.4 (4.2)
CA (N 28) 18.5 (2.9) 12.0 (4.3)
CC (N 24) 18.3 (3.5) 20.2 (2.4)
55
Résultats Résultats quantitatifs

• Kaminski confirmé (test de transfert AA gt CA)
• Mais linverse se révèle également valable !
  (test de transfert CC gt AC)
• Quoique AC lt CX (test dapprentissage),
  AC AA (test de transfert) étudiants instruits
  par un contexte abstrait peuvent en quelque sorte
   sapprendre  eux-mêmes  laddition modulo 3 

56
Résultats Résultats qualitatifs
Domaine dinstruction
Score
G
M
R
N

• Répéter (presque) littéralement une des règles de
  combinaison
• Formulations de propriétés dun groupe à un
  niveau général sont rares
• (malgré le fait quon ait demandé aux
  participants de motiver leur réponse le plus
  précisément possible)

G1
G2
G3
G4
M1
M2
A (N 66)
2
0
6
0
0
0
0


1
16
43
0
3
0
0
11
62
0
50
17
66
63
66
66
4
55
57
Résultats Résultats qualitatifs
Domaine dinstruction Score G G G G M M R N
Domaine dinstruction Score G1 G2 G3 G4 M1 M2

• Application des règles du calcul  modulo 3  par
  environ la moitié des participants (pas un but du
  domaine dinstruction !)
• Dans quelques cas sans référence au contexte

C (N 52)
2
0
0
0
0
7
0


1
13
7
0
2
22
5
5
14
0
39
45
52
50
23
47
47
38
58
Résultats Résultats qualitatifs
Domaine dinstruction Score G G G G M M R N
Domaine dinstruction Score G1 G2 G3 G4 M1 M2

• Répétitions pures de règles de combinaison sont
  rares
• Quelques applications spontanées des propriétés
  dun groupe (quoique moins que dans les groupes
  dinstruction abstraite)

C (N 52)
2
0
0
0
0
7
0


1
13
7
0
2
22
5
5
14
0
39
45
52
50
23
47
47
38
59
Conclusions principales

• Nos résultats confirment les constats de base de
  Kaminski
• Le transfert vers un nouveau contexte abstrait
  est favorisé par un contexte dinstruction
  abstrait plutôt que par un contexte dinstruction
  concret.
• Mais
• Le transfert vers un nouveau contexte  concret 
  est également favorisé par un contexte
  dinstruction concret plutôt que par un contexte
  dinstruction abstrait.
• Doutes sérieux sur ce que les étudiants ont
  vraiment appris du contexte dinstruction
  abstrait (propriétés dun groupe ou lapplication
  des règles formelles de combinaison à des
  symboles arbitraires).
• Certains étudiants atteignaient un niveau
  dabstraction plus haut à partir du domaine
  dinstruction concret.

60
Considérations finales
61
Considérations finales

• Les résultats de Kaminski ? tout comme nos
  propres résultats ? ne sont pas généralisables à
  lensemble de lenseignement des mathématiques.
• Même une généralisation aux groupes commutatifs
  dordre 4 nest pas évident
• Comprendre un concept mathématique (abstrait)
  a également une portée épistémologique doù
  vient ce concept et où réside sa puissance ?
• Ni les exemples concrets ni les exemples
  abstraits de Kaminski néclairent cette question
  fondamentale.

62
(No Transcript)