Sistemas de equa

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Sistemas de equações lineares de 1a ordem
Sistemas de equações diferenciais
simultâneas aparecem naturalmente em problemas
envolvendo diversas variáveis dependentes, cada
uma das quais sendo uma função de uma única
variável dependente. A variável independente
será denotada por t e as dependentes por x1
, x2 , ... . Serão vistos os sistemas de duas ou
mais equações diferenciais que sempre podem ser
escritas como equações de primeira ordem.
Para transformar uma equação arbitrária de
ordem n y(n) F(t, y, y, y, ..., y(n-1)) em
um sistema de equações de primeira ordem,
definimos as variáveis x1 , x2 , ..., xn por
x1 y, x2 y, ..., xn y(n-1).
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Para transformar uma equação arbitrária de ordem
n y(n) F (t, y, y, ... , y(n-1)) em um
sistema de equações de primeira ordem, definimos
as variáveis x1, x2, ... , xn por x1 y, x2
y, ... , xn y(n-1). Segue imediatamente
que , x1 x2, x2 x3, ... , xn-1 xn,
ou seja xn F (t, x1, x2,, ... , xn). O caso
mais geral, temos x1 F1 (t, x1, x2,, ... ,
xn) x2 F2 (t, x1, x2,, ... ,
xn) ....................................... xn
F1 (t, x1, x2,, ... , xn).
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Dizemos que este sistema tem uma solução em I
? lt t lt ? Se existe um conjunto de n equações x1
?1(t), x2 ?2(t), ..., xn ?n(t)
diferenciáveis em todo I e que satisfazem o
sistema dado e podendo ainda constar as
condições iniciais da forma x1(t0) x10,
x2(t0) x20 , ... , xn(t0) xn0, onde to é
um valor especificado de t em I e x10, x20 ,
... , xn0 são números dados. Se as funções F1,
F2, ... ,Fn são lineares das variáveis
dependentes x1, x2 , ... , xn, então o sistema
é dito linear caso contrário, é não-linear.
Assim, o sistema mais geral de n equações
lineares tem a forma
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x1 p11(t)x1 p12(t)x2 . . . p1n(t)xn
g1(t) x2 p21(t)x1 p22(t)x2 . . .
p2n(t)xn g2(t) ................................
............................................... xn
pn1(t)x1 pn2(t)x2 . . . pnn(t)xn
gn(t) Se todas as g1, g2, . . . , gn forem
identicamente nulas em I, então o sistema é dito
homogêneo caso contrário, ele é
não-homogêneo. Teorema Se as funções p11,
p12, . . . pnn, g1, g2, ... , gn são contínuas
em um intervalo aberto I ? lt t lt ?, então
existe uma única solução x1 ?1(t), x2
?2(t), ... , xn ?n(t), do sistema acima que
também satisfaz as condições iniciais onde t0 é
qualquer ponto em I e x10, x20 , ... , xn0 são
números arbitrários. Além disso, a solução
existe em todo o intervalo I.
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Exemplo Transforme a equação dada em um sistema
de equações de primeira ordem u 0,5u 2u
0. Solução x1 u, x2 u. Logo
x1 x2 e como u x2, obtemos
x2 0,5x2 2x1 0 ou seja x1 x2
x2 -2x1 0,5x2
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Sistemas de equações diferenciais
ordinárias Considere o método de variação de
parâmetro x P(t)x g(t) seja ?(t) uma
matriz fundamental para o sistema x P(t)x.
Como solução geral do sistema é ?(t)c temos
x ?(t) u(t) onde u(t) é uma função vetorial
em lugar de c. Assim, ?(t) u(t) ?(t) u(t)
P(t) ?(t) u(t) g(t) Como ?(t) é uma matriz
fundamental, ?(t) P(t)?(t) Logo resulta em
?(t) u(t) g(t) donde ?(t) u(t) ? -1(t
)g(t) Assim podemos selecionar como u(t) qualquer
vetor na classe de vetores que satisfaz esta
equação.
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Portanto, u(t) ?? -1(s)g(s)ds c Logo, x
?(t)c ?(t) ?? -1(s)g(s)ds que é a solução
do sistema inicial. Exemplo Determine a solução
do sistema
A solução geral deste sistema homogêneo é
e a matriz fundamental x ?(t)u(t), onde u(t)
satisfaz ?(t)u(t) g(t), ou
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Obtendo u1 e2t (3/2)te3t e u2 1
(3/2)tet Logo u1(t) (1/2) e2t
(1/2)te3t (1/6) e3t c1 u2(t) t
(3/2)tet - (3/2) et c2 e x ?(t)u(t)
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Autovalores e autovetores Sejam os sistemas Ax
y (1) e Ax ?x (2), ? fator de
proporcionalidade, onde y ?x. Assim podemos
escrever (A - ?I)x 0. Esta equação possui
soluções não nulas se e somente se ? for
escolhido de modo que det(A - ?I) 0. Os
valores de ? são chamados autovalores de A e as
soluções não nulas das equações (1) e (2) obtidas
usando um tal valor de ? são chamadas
autovetores. Exemplo Determine todos os
autovalores e autovetores de
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Solução Como (A - ?I)x 0, temos
Ou seja, (5 - ?) (1 - ?) 3 0 e
consequentemente ?1 2 e ?2 4 são os
autovalores procurados. Determinando os
autovetores. Para ?1 2
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Se x1 c, como x2 3x1, temos x2 3c.
Logo
Onde x(1) é um autovetor de A. Similarmente,
para ?2 4, temos
Logo, x(2) um autovetor de A.
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Teoria básica de sistemas de equações
lineares Considere o sistemas na forma x1
p11(t)x1 p12(t)x2 . . . p1n(t)xn
g1(t) x2 p21(t)x1 p22(t)x2 . . .
p2n(t)xn g2(t) ................................
............................................... xn
pn1(t)x1 pn2(t)x2 . . . pnn(t)xn
gn(t) Ou seja, x P(t)x g(t) As homogêneas
x P(t)x, g(t) 0. (3)
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Tal que xij(k) xij(k) denota a a i-ésima
componente da j-ésima solução x(j)(t). Teorema
Se as funções vetoriais x(1) e x(2) são soluções
do sistema x P(t)x, g(t) 0, então a
combinação linear c1x(1) c2 x(2) também é
solução quaisquer que sejam as constantes c1 e
c2.. Como consequencia deste teorema
temos que, se x(1) , x(2) , ... , x(k) são
soluções de x P(t)x então x c1x(1)(t)
c2 x(2)(t) ... ckx(k) também é solução
quaisquer sejam as constantes c1, c2 , ... ,ck
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Sistemas lineares homogêneo com coeficientes
constantes Consideremos o sistema na forma x
Ax, A é uma matriz 1xn (1). Se n 1, o
sistema fica dx / dt ax cuja solução é x
ceat. Para determinar a solução de x Ax,
procedemos como para equação da segunda ordem,
isto é, procuramos soluções da forma x ?ert
onde r é um vetor constante e ? deve ser
determinado. Assim, temos r?ert A ?ert ou
A? ?r. Logo, (A rI)? 0,
onde I é a matriz identidade nxn. Isto
significa dizer que para resolver o sistema de
equações diferenciais (1) precisamos resolver os
sistema algébrico (A rI)? 0 que
consiste em encontrar os autovalores e os
autovetores da matriz A.
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Exemplo Considere o sistema
temos
Logo, para r1 3, temos - 2?1 ?2 0 ? ?2
2?1 donde
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Para r2 -1, temos 2?1 ?2 0 ? ?2 - 2?1
donde
Então
x c1x(1)(t) c2x(t) Ou
c1 e c2 constantes.