Roteiro e figuras do curso Caos em Sistemas Hamiltonianos Ra

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Roteiro e figuras do curso Caos em Sistemas
HamiltonianosRaúl O. Vallejos
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Plano do Curso
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Introdução
Sistemas Dinâmicos
Os sistemas hamiltonianos pertencem à classe
mais ampla dos Sistemas Dinâmicos. Um sistema
dinâmico é definido por duas condicões
b) a evolução do sistema está governada por um
conjunto de N equações diferenciais
ordinárias de primeira ordem
ou
Exemplo o sistema de Lorentz
Figura extraída de http//www.curvuspro.ch/englis
h/curvuspro/gallery/3dgallery.html Veja animação
em http//www.exploratorium.edu/complexity/java/l
orenz.html
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Espaço de fases
O ponto representativo X se movimenta com
velocidade F, descrevendo uma curva chamada
trajetória ou órbita, tangente em cada ponto ao
campo de velocidades F.
Integrais do movimento
As integrais (ou constantes) de movimento
permitem reduzir a ordem de um sistema dinâmico.
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Seções e mapas de Poincaré
Se o nosso interesse for entender o comportamento
assintótico de uma trajetória, no será
necessário seguir sua evolução com grande
detalhe. Bastará olharmos para ela em certos
instantes de tempo. Por exemplo, podemos
registrar apenas as interseções da trajetória com
uma superfície de referência. No caso de um
espaço de fases tridimensional
As propriedades essenciais do sistema de equações
diferencias se verão refletidas nas propriedades
do mapa G. Por exemplo, uma trajetória periódica
do sistema diferencial se corresponde com um
conjunto de pontos periódicos de G se a
trajetória for instável, os pontos periódicos
também o serão.
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Pontos fixos
Um ponto fixo é um ponto que satisfaz a
equação
Ciclos, Variedades invariantes
Com outras palavras, um ciclo é uma
trajetória periódica.
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Sistemas hamiltonianos
Un sistema hamiltoniano é caracterizado, em
primeiro lugar, por um número par de dimensões
N2n. O número n é o número de graus de
liberdade. As 2n variáveis são chamadas
tradicionalmente
O sistema é definido completamente por uma
função das 2n variáveis, chamada hamiltoniano
As equações de evolução são
Os mapas de Poincaré hamiltonianos possuem a
propriedade simplética.
Órbitas periódicas, estabilidade
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Sistemas Integráveis
Podemos tentar simplificar um sistema
hamiltoniano fazendo uma mudança de variáveis
apropriada. Se as novas coordenadas
são tais que as equações de movimento podem ser
derivadas de um novo hamiltoniano
Assim obtemos a solução geral em forma
explícita. As ações P são constantes do
movimento. Um sistema hamiltoniano pode ser
resolvido completamente se conhecemos nN/2
integrais.
Exemplo
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Toros e trajetórias
Para um sistema recorrente as coordenadas Q devem
ser cíclicas, i.e., representam ângulos. No caso
de um sistema com n graus de liberdade, as
trajetórias ficam restritas a toros
n-dimensionais. Elas são periódicas
ou, quase-periódicas. Quando não existem relações
de comensurabilidade as trajetórias preenchem
densamente os toros respectivos.
Secão de Poincaré, números de rotação
O espaço de fases de um sistema hamiltoniano
integrável está organizado em toros
n-dimensionais. Quando cortarmos o espaço de
fases com uma seção de Poincaré veremos que as
trajetórias (agora discretas) ficam em toros de
dimensão n-1. Cada um destes toros é
caracterizado por um conjunto de números de
rotação.
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Um grau de liberdade
Este caso é sempre integrável.
Dois graus de liberdade
Em geral as equações de movimento não podem
ser resolvidas em forma explícita só existe uma
constante de movimento o próprio hamiltoniano.
Exemplo 1 Potencial triangular
A figura mostra três seções de Poincaré,
definidas pelas condições Econstante e x0. Para
a energia mais baixa o espaço de fases parece
estar organizado em toros. Conforme aumentamos a
energia, os toros vão sendo destruídos e
substituidos por regiones caóticas.
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Exemplo 2 o mapa quadrático
Trajetórias do mapa quadrático.
Organização hierárquica das ilhas
Detalhe da figura anterior
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O teorema KAM
Consideremos um mapa bidimensional associado a
um sistema integrável. Por cada ponto do espaço
de fases passa uma curva invariante. O que
acontece com as curvas invariantes quando
perturbamos (fracamente) o sistema? O teorema
KAM afirma as curvas suficientemente
irracionais sobrevivem.
O teorema de Poincaré-Birkhoff
E que acontece nas regiões do espaço de fases
onde os toros são destruídos? Os toros racionais
são substituídos por cadeias de pontos fixos,
alternativamente elípticos e hiperbólicos. Em
torno dos pontos fixos elípticos podemos aplicar
de novo o teorema KAM e o teorema de
Poincaré-Birkhoff. Isto nos leva a uma estrutura
autosimilar em todas as escalas (ou fractal).
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Regiões caóticas, interseções homoclínicas,
ferraduras
Variedades estável (vermelho) e instável
(amarelo) do ponto fixo hiperbólico (azul) do
mapa quadrático de Hénon.
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Caos e Fractais
Um conjunto de Mandelbrot. http//www.curvuspro.ch
/english/curvuspro/ gallery/2dgallery.html
O mapa da ferradura de Smale. O mecanismo de
esticamento e dobra gera chaos no tempo e
estruturas fractais no espaco de
fases. http//zebu.uoregon.edu/js/21st_century_sc
ience/readings/Parker_Chap5.html
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Quantificando o caos
Expoentes de Lyapunov, sensibilidade às condições
iniciais, entropias
Caos, entropia e a segunda lei da Termodinâmica
A entropia permanece constante.
A entropia aumenta
A evolução hamiltoniana tranforma uma região
simples num fractal. A entropia aumenta quando
suavizamos o fractal. http//necsi.org/faculty/b
aranger.html (M. Baranger, Chaos, complexity
and entropy)
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Controle do caos
Seqüência de manobras que levaram o ISEE-3/ICE,
primeiro até o ponto L1/Terra-Sol, e mais tarde
até os locais de observação dos cometas
Giacobini-Zinner e Halley. (http//guinan.gsfc.nas
a.gov/Images/misc_missions/isee3_traj.gif)