DAS-5202: Modelagem e Controle de Sistemas Automatizados

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DAS-5202 Modelagem e Controle de Sistemas
Automatizados

• Profs. Eduardo Camponogara José Cury

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Agenda

• Informações Gerais
• Programa da disciplina
• Atendimento
• Avaliação
• Introdução a Sistemas a Eventos Discretos (SEDs)

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1. Sistema Contínuo

• Breve histórico
• Interesse inicial por sistemas que evoluem
  continuamente
• Como leis de movimento e de conservação de
  energia
• Modelagem por meio de equações diferenciais e de
  diferença

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1. Pêndulo Invertido
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1. Pêndulo Invertido
6
1. Sistemas a Eventos Discretos

• Tecnologia moderna despertou interesse por
  sistemas a eventos discretos (SEDs)
• SED sistema cujos estados mudam em pontos
  discretos no tempo em resposta a ocorrência de um
  evento
• Sistemas de Manufatura
• Redes de Computadores
• Circuitos Integrados
• Evento qualquer ocorrência, acontecimento em
  fenômeno aleatório

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1. Contraste dos Sistemas
Estado
Estado
x(t)
x4
x3
e2
e3
x(t0)
x2
e4
e1
x1
Tempo
Tempo
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1. Trajetória do Sistema Discreto

• Um conjunto de estados discretos pode ser
  visitado
• Cada transição é resultado da ocorrência de um
  evento. Ex
• Mensagem recebida
• Tarefa finalizada
• Máquina falhou
• Processo ativado
• A noção do tempodescrita pela variável
  independente do tempo no sistema contínuoé
  substituída pela sequência de eventos no sistema
  discreto

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1. Nível de Detalhes

• A quantidade de informação depende da aplicação
• S1 e1, e2,
• S2 (e1,t1), (e2,t2),
• Com S1, não estamos preocupados com o tempo, mas
  sim com questões qualitativas e lógicas do
  sistema
• O sistema pode travar?
• O sistema atingirá os estados desejáveis
• Com S2, podemos tratar das questões
  quantitativas relativas ao desempenho
• Desempenho e otimização de sistemas

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1. Primeiros SEDs

• Os primeiros sistemas a eventos discretos
  surgiram da prática de engenharia
• Sistemas de manufatura
• Sistemas computacionais
• Sistemas a eventos discretos define uma área
  multidisciplinar com contribuições de campos tais
  como
• Ciência da computação
• Teoria de filas
• Simulação
• Controle
• A contribuição principal do controle se refere ao
  aspecto dinâmico

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1. Resto da Apresentação

• Vários modelos para SEDs reflete a diversidade
  das aplicações
• Cadeia de Markov
• Teoria de filas
• Processo Semi-Markoviano Generalizado
• Autômatos
• Álgebra Min-Max
• Redes de Petri

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2. Modelos Para SEDs

• Vários modelos foram propostos
• Modelos apresentam vantagens e desvantagens, cada
  um é mais adequado para uma classe de problemas

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2.1 Um Sistema Exemplo

• Um sistema constituído de duas máquinas e uma
  área de estocagem intermediária

Saída de peça
Entrada de peça
Máquina M1
Máquina M2
Área de Estoque
O tempo de processamento em cada máquina pode ser
determinístico ou estocástico
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2.2 Cadeia de Markov

• Teoria de probabilidades, caso discreto
• Eventos elementares
• Conjunto de possíveis resultados de um
  experimento
• Espaço amostral S
• Conjunto de todos os eventos elementares
• Ex experimento rolar um dado, S 1, , 6
• Evento
• Qualquer subconjunto A de S

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2.2 Cadeia de Markov

• Teoria de probabilidades, caso discreto
• Distribuição de probabilidades Pr sobre um
  espaço amostral S
• Pr 2S R, tal que
• 1) PrA ³ 0 para qualquer A Í S
• 2) PrS 1
• 3) PrA È B PrA PrB se A e B são
  mutuamente exclusivos, i.e., A Ç B Æ

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2.2 Cadeia de Markov

• Variável Randômica X
• Uma função do espaço de estados para os reais
• X S R
• Dado um x Î R, define-se
• X x como s Î S X(s) x
• Exemplo (Rolar Dado)
• X(s) 1 se s é um número par,
• X(s) 0 caso contrário

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2.2 Cadeia de Markov

• Variável Randômica X
• Probabilidade da variável randômica
• PrXx å Prs
• s Î S X(s) x
• Exemplo
• PrX1 Pr2 Pr4 Pr6 ½

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2.2 Cadeia de Markov

• Condições
• O buffer tem capacidade infinita
• O estado do sistema x Î N é o número de peças no
  buffer
• l taxa de produção da máquina M1, m taxa de M2

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2.2 Cadeia de Markov

• Condições
• O buffer tem capacidade infinita
• O estado do sistema x Î N é o número de peças no
  buffer
• l taxa de produção da máquina M1, m taxa de M2

l
1-l
0
1
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2.2 Cadeia de Markov

• Condições
• O buffer tem capacidade infinita
• O estado do sistema x Î N é o número de peças no
  buffer
• l taxa de produção da máquina M1, m taxa de M2

l
1-l
l
0
1
2
m
m
21
2.2 Cadeia de Markov

• Condições
• O buffer tem capacidade infinita
• O estado do sistema x Î N é o número de peças no
  buffer
• l taxa de produção da máquina M1, m taxa de M2

l
1-l
l
l
l
0
1
2
3
m
m
m
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2.2 Cadeia de Markov

• Questões que podem ser respondidas com cadeias de
  Markov
• Para o caso finito, podemos calcular a taxa de
  permanência em cada estado
• Podemos calcular a frequência de cada transição
• Poderíamos ter transformado o modelo para o caso
  de buffer com capacidade finita?

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2.3 Processo Semi-Markoviano Generalizado

• Abordagem para modelagem formal de programas ou
  linguagens de simulação para SEDs
• A parte discreta do sistema (e.g., número de
  clientes) é referenciada como estado
• A parte contínua (e.g., tempo restante de
  processamento) é referenciada como linha de vida

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2.3 Processo Semi-Markoviano Generalizado

• Representação
• Para cada estado, temos uma lista de eventos
  factíveis
• Para cada evento de uma lista, geramos uma linha
  de vida de acordo com uma probabilidade
• Estes eventos competem e aquele com a menor linha
  de vida será disparado

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2.3 Processo Semi-Markoviano Generalizado

• No exemplo, temos dois eventos
• a chegada de uma peça no buffer
• b saída de uma peça do buffer
• A lista de eventos para cada estado n gt 0 é
  a,b, para o estado n 0 a lista é a

t0
1
b
a
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2.3 Processo Semi-Markoviano Generalizado

• No exemplo, temos dois eventos
• a chegada de uma peça no buffer
• b saída de uma peça do buffer

t0
t1
1
0
b
a
a
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2.3 Processo Semi-Markoviano Generalizado

• No exemplo, temos dois eventos
• a chegada de uma peça no buffer
• b saída de uma peça do buffer

t0
t1
t2
1
0
1
b
a
a
b
a
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2.3 Processo Semi-Markoviano Generalizado

• No exemplo, temos dois eventos
• a chegada de uma peça no buffer
• b saída de uma peça do buffer

t0
t1
t2
t3
1
0
1
2
1
b
a
a
b
a
b
a
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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Por questões de simplificação, assumiremos que a
  área de armazenamento tem capacidade unitária
• O buffer pode estar em um de dois estados
• Vazio
• Cheio
• As máquinas podem estar em um de três estados
• Ociosa
• Trabalhando em uma peça
• Quebrada

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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
Diagrama de Estados Para as Máquinas
Ii(Ociosa)
siui
rivi
fi
bi
Wi(Ocupada)
Di(Quebrada)
Eventos si, fi, ri, bi Variáveis de controle ui
(habilita si) e vi (habilita fi)
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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
Diagrama de Estados Para as Máquinas
Diagrama de Estados Para o Buffer
I(Cheio)
Ii(Ociosa)
siui
rivi
s2
fi
f1
bi
E(Vazio)
Wi(Ocupada)
Di(Quebrada)
Eventos si, fi, ri, bi Variáveis de controle ui
(habilita si) e vi (habilita fi)
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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Restrições de Operação
• M1 só pode começar a trabalhar se o buffer
  estiver vazio
• M2 só pode trabalhar se B está cheio
• M1 não pode trabalhar quando M2 está quebrada
• Se ambas as máquinas estão quebradas, então M2 é
  reparada primeiro

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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Dos 18 estados possíveis (2x3x3), podemos
  eliminar 6 estados se M1 está trabalhando ou
  quebrada e B está cheio
• (i.e., 2 estados para M1 e 3 estados para M2)
• Representação do estado
• (M1, B, M2)
• M1 Î I, W, D
• M2 Î I, W, D
• B Î I, E

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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
IEI
IED
DEI
WEI
IFI
IEW
WEW
DEW
DED
WED
IFD
IFW
35
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
IEI
IED
s1
DEI
WEI
IFI
IEW
WEW
DEW
DED
WED
IFD
IFW
36
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
IEI
IED
s1
b1
f1
DEI
WEI
IFI
IEW
WEW
DEW
DED
WED
IFD
IFW
37
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
IEI
IED
s1
r1
b1
s2
f1
DEI
WEI
IFI
IEW
WEW
DEW
DED
WED
IFD
IFW
38
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
IEI
IED
f2
s1
b2
r1
b1
s2
f1
DEI
WEI
IFI
IEW
s1
WEW
DEW
DED
WED
IFD
IFW
39
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
r2
IEI
IED
f2
s1
r1
b2
b1
s2
f1
DEI
WEI
IFI
IEW
s1
s1
WEW
f2
f1
DEW
DED
WED
IFD
IFW
b2
b1
40
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos
r2
IEI
IED
f2
r1
s1
b2
b1
s2
f1
r1
DEI
WEI
IFI
IEW
s1
f2
f2
WEW
r2
r2
f2
r2
f1
f1
b1
b2
b2
DEW
DED
WED
IFD
IFW
b2
b1
41
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Desejamos projetar um controlador que manipule as
  variáveis u e v, de forma a assegurar que apenas
  as transições do diagrama sejam permitidas
• Se a informação completa do estado está
  disponível, então é fácil implementar tal
  controlador

42
2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Um problema surge quando o estado não é
  observável, mas apenas os eventos

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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• É possível implementar um controlador a partir
  dos eventos produzidos pela planta?
• Uma solução é criar um modelo do sistema (como o
  anterior) que roda em paralelo e é sincronizado
  com os eventos do sistema real
• Dessa maneira, podemos implementar um controlador
  apropriado com base no estado
• A cópia do sistema e do controlador é chamada de
  supervisor

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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Formalização do Problema
• Q é o conjunto de estados
• S é o conjunto de eventos
• Certa transições são habilitadas/desabilitadas
  por variáveis de controle
• A sequência de eventos descreve a saída do
  sistema, s lte1, e2, ,engt
• A coleção de sequência de eventos L, que
  caracteriza o comportamento desejável do sistema

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2.4 Autômatos e Máquinas de Estados Finitos

• Problema de Controle Supervisório
• Determine se apenas sequências em L podem ser
  produzidas, manipulando-se as variáveis de
  controle e observando-se apenas os eventos

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2.5 Álgebra Min-Max

• A proposta trata de sistemas determinísticos
• Seja a o tempo de processamento de M1 e b1, de M2
• Seja xn o instante em que M1 finaliza a n-ésima
  tarefa
• Seja yn o instante em que M2 finaliza a n-ésima
  tarefa
• x0, y0 são os instantes iniciais
• Por conveniência, assumimos x0 0

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2.5 Álgebra Min-Max

• Obtém-se então
• x1 x0 a
• x2 x1 a (1)
• Y1 Maxy0 b, x1 b (2)

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2.5 Álgebra Min-Max

• Na álgebra min-max as duas operações são
  definidas como
• Produto ab a b
• Adição ab maxa,b
• Portanto, as equações (1) e (2) são escritas
  como
• x2 x1a
• y1 x1b y0b
• Através destas equações podemos escrever equações
  dinâmicas que descrevem o comportamento do sistema

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2.6 Redes de Petri

• Redes de Petri são tipicamente utilizadas para
  modelar sistemas com comportamento concorrente
• Sistemas computacionais distribuídos
• Sistemas de manufatura

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• Em uma representação gráfica, a estrutura da rede
  de Petri é definida por três conjuntos
• a) con junto de lugares, P
• b) conjunto de transições, T
• c) conjunto de arcos direcionados, A
• Um arco conecta um lugar a uma transição ou uma
  transição a um lugar

51
2.6 Redes de Petri
B1
1-e-lx
t1
I (M2 ociosa)
Q (no. de peças no buffer)
t3 (inicia proces.)
B2 (M2 ocupada)
t3 (término)
1-e-mx
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2.6 Redes de Petri
B1
1-e-lx
t1
I (M2 ociosa)
Q (no. de peças no buffer)
t3 (inicia proces.)
B2 (M2 ocupada)
t3 (término)
1-e-mx
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2.6 Redes de Petri
B1
1-e-lx
t1
I (M2 ociosa)
Q (no. de peças no buffer)
t3 (inicia proces.)
B2 (M2 ocupada)
t3 (término)
1-e-mx
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2.6 Redes de Petri

• Definição formal da Rede de Petri
• PN P, T, A, Rede de Petri
• P P1, P2, , Pn, lugares
• T t1, , tm, transições
• A Ai È Ao
• Ai Í P x T
• Ao Í T x P
• M0 Î NP, marcação inicial
• Mo(p) é o número de fichas no lugar p

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2.6 Redes de Petri

• Conceitos
• Marcação corresponde ao estado inicial
• Transição habilitada
• Disparo de transição
• Evolução do Sistema
• Evento (corresponde ao disparo de transição)
• Propriedades
• Redes de Petri modelam os relacionamentos lógicos
  entre os componentes do sistema e entre as
  sequências dos lugares
• Não modelam o instante de ocorrência

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3 Fim

• Obrigado!