Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares

• Prof. Dr. Cesar da Costa

3.a Aula Linearização de Sistemas e
Transformada de Laplace
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Linearização

• Na engenharia de controle, uma operação normal de
  um sistema pode ser em torno do ponto de
  equilíbrio, e os sinais podem ser considerados
  pequenos sinais em torno do equilíbrio.
• Entretanto, se o sistema operar em torno de um
  ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos
  forem pequenos, então é possível aproximar o
  sistema não linear por um sistema linear.
• Este sistema linear é equivalente ao sistema não
  linear considerado dentro de um conjunto limitado
  de operações.

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Linearização

• Neste tópico, vamos recorrer freqüentemente a
  técnicas de linearização de um sistema não-linear
  em torno de um ponto de operação. Isto permite
  que o sistema linear resultante seja analisado
  com base nas poderosas ferramentas de análise
  válidas para o caso linear.

• Como a linearização é uma aproximação em torno de
  um ponto de operação, ela só pode levar à
  predição do comportamento do sistema em uma
  vizinhança deste ponto.
• Nenhum outro comportamento não-local, muito menos
  o comportamento global do sistema em todo o
  espaço de operação, podem ser preditos pelo
  modelo linearizado..

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Linearização

• O processo de linearização apresentado a seguir
  tem como base o desenvolvimento da função não
  linear em uma série de Taylor em torno de um
  ponto de operação e a retenção somente do termo
  linear.
• A linearização de um sistema não linear supõe que
  o sistema operará próximo de um ponto de operação
  (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.

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Linearização

• Em matemática, uma série de Taylor é uma série de
  funções da seguinte forma

• Dito de outra forma, uma série de Taylor é uma
  expansão de uma função analítica f(x) na
  vizinhança de um ponto xa.

• A constante a é o centro da série, que pode ser
  encarada como uma função real ou complexa. Se
  a0, a série também é chamada de série de
  Maclaurin.

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Linearização

• Considere que o sistema abaixo opere próximo ao
  ponto de operação (P.O.)

• Expandindo yf(x) em uma série de Taylor em torno
  deste ponto, teremos

Sendo P.O.(xo,yo), que é o ponto de operação do
sistema.
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Linearização

• A suposição de que o sistema não linear irá
  operar em torno do P.O., implica que x ficará
  próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando
  elevado a 2, 3, ... será menor ainda, portanto

Substituindo (2) em (1) tem-se
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Linearização
Interpretação geométrica
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Linearização
Exemplo 1 Linearize a função que corresponde ao
momento (torque) que a massa m faz com relação ao
ponto P do pêndulo simples abaixo. Linearizar
em torno do ponto de operação .
 
 
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Linearização
Neste caso, o ponto de operação é .
 
Expandindo na série de Taylor, temos
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Linearização
Logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se
Que é um modelo linear.
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Linearização
 
A figura a seguir mostra que para
o sistema linearizado é uma boa aproximação
do sistema não linear. Este gráfico foi feito com
a utilização do MATLAB.
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Linearização
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Linearização
Exemplo 2 Linearize a função
em torno do P.O. io 1A. Faca o gráfico
(interpretacao geomérica). .
Solucao
(1)
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Solucao
e
Logo
Entao
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Interpretacao grafica
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Transformada de Laplace

• A Transformada de Laplace é uma importante
  ferramenta para a resolução de equações
  diferenciais. Também é muito útil na
  representação e análise de sistemas.
• É uma transformação que faz um mapeamento do
  domínio do tempo para o domínio S com s sjw
  (complexo).
• A transformada de Laplace existe em duas
  variantes unilateral e
• bilateral. A transformada unilateral é útil na
  análise de sistemas com
• condições iniciais. A transformada bilateral tem
  uso para estudar certas características dos
  sistemas.
• A principal aplicação da transformada de Laplace
  no âmbito da engenharia é a análise de resposta
  temporal e da estabilidade de sistemas.

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Transformada de Laplace
Definição
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Transformada de Laplace
Definição
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Transformada de Laplace
Definição
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Transformada de Laplace
Definição

• Condições de existência
• Para que a transformada de Laplace exista é
  necessário que a integral
• convirja. Isto é garantido se

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Transformada de Laplace
Definição

• Região de Convergência (ROC)

Valores de s para os quais a transformada de
Laplace converge. Sendo esta condição expressa em
termos da parte real de ssjw, ela estabelece
como região de convergência um semi plano à
direita de uma reta vertical
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Transformada de Laplace

• Como os sistemas de controle são altamente
  complexos e largamente interconectados, o uso da
  Transformada de Laplace permite a manipulação de
  equações algébricas ao invés de equações
  diferenciais.
• Então os sistemas dinâmicos são modelados por
  equações diferenciais, primeiramente aplica-se a
  Transformada de Laplace, depois projeta-se o
  controlador no domínio s e finalmente
  implanta-se o controlador e analisa-se o
  resultado obtido no domínio do tempo.

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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace

• Vantagens
• As vantagens da transformada de Laplace sobre a
  trasformada de Fourier
• Fornece mais informação sobre sinais e sistemas
  que também podem ser analisados pela transformada
  de Fourier
• Pode ser aplicada em contextos em que a
  transformada de Fourier não pode, por exemplo, na
  análise de sistemas instáveis.
• Desvantagens
• A análise por Laplace de sistemas é extremamente
  útil, no entanto seu uso é mais complicado que a
  análise de Fourier quando se tratando de sinais.

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Transformada de Laplace

• O método da Transformada de Laplace é uma
  ferramenta que proporciona a solução de equações
  diferenciais lineares com coeficientes
  constantes, de maneira sistemática e
  relativamente simples.

• Uma classe importante do controle se restringe à
  resolução desses tipos de equações. Portanto,
  destaca-se a importância da Transformada de
  Laplace no controle de processos.

• A transformação de uma equação diferencial
  resulta em uma equação algébrica, onde a variável
  s substitui a variável independente (como o
  tempo, t).

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Transformada de Laplace
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Transformada Inversa de Laplace
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Transformada de Laplace
Exemplo Uma função que será muito utilizada
neste curso é a função degrau. Iremos calcular
sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função
degrau é o fechamento da chave S no circuito
abaixo
OBS. É suposto que os capacitores estão
descarregados e os indutores tem corrente nula no
instante inicial t 0 s.
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace

• Esta tabela reúne as principais transformadas
  utilizadas neste curso. Note que genericamente
  F(s) é a razão entre dois polinômios

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Propriedades das Transformadas de Laplace
2. A Transformada de Laplace tem a propriedade
singular de transformar a operação de
diferenciação em relação a t em uma multiplicação
por s (Diferenciacao no domínio do tempo)
(1)
(2)
(3)
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Polos e Zeros
Obs. foi visto na tabela das transformadas de
Laplace que genericamente F(s) é composto pela
divisão de dois polinômios em s, ou seja
Exemplo
Neste exemplo temos

• As raízes do numerador são chamadas de zeros e
  as raízes do denominador são chamadas de polos.

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Teorema do Valor Inicial e Valor Final
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Teorema do Valor Inicial e Valor Final
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Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
Obs. mais adiante neste curso, veremos que um
sistema que tem todos os polos com parte real
negativa, é dito estável.
Exemplo 1
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Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
Solucao
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Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.

• Obs. o T.V.F. permite obter o valor de regime de
  um sistema tendo-se apenas a sua transformada de
  Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento
  da função temporal (f(t)). Ou seja, o T.V.F. é
  útil para determinar o valor de regime de f(t),
  conhecendo-se apenas F(s).

Exemplo 2 f(t) sen(t)
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Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
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Teorema do Valor Final ( )
T.V.F.
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Teorema do Valor Inicial e Valor Final
Exemplo 3
Solucao
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Cálculo Transformada de Laplace
Exemplo 1 Determinar a transformada de Laplace
da função impulso. Uma ideia de
entrada impulsiva é o choque do taco de
baseball com a bola, o choque tem uma grande
intensidade e curtíssima duração.
Graficamente
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Cálculo Transformada de Laplace
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Cálculo Transformada de Laplace
Solucao
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Cálculo Transformada de Laplace
Exemplo 2
Obtenha a transformada de Laplace de
para .
Solucao
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Usando o MATLAB para calcular a Transformada de
Laplace

• Utiliza-se o comando laplace , para achar a
  Transformada de Laplace de uma funcao no domínio
  do tempo.

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Exercícios Transformada de Laplace com MATLAB
Exemplo 3
Obtenha a transformada de Laplace de
para .
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Lista de Exercícios