Sin t

1
Unidad 1 Programación Lineal
2
1.1 Introducción a la Programación Lineal

• Qué es un problema?
• Soluciones
• Absolución
• Resolución
• Solución
• Disolución
• Por qué decimos que un problema es complejo?
• Análisis de problemas Quién resuelve los
  problemas?
• Qué entendemos por identificar un problema?

3
Qué es Investigación de Operaciones?
El uso de las matemáticas y las computadoras para
ayudar a tomar decisiones racionales frente a
problemas de administración complejos
4
Aplicación de las técnicas de la administración a
problemas (sistemas)
Determinísticos
Toda la información necesaria para obtener una
solución se conoce con certeza
Estocásticos
Parte de la información no se conoce con certeza
5

• Método Científico para resolver problemas
  complejos
• En las Ciencias En Administración

• Defínase el problema
• Recoléctense los datos
• Formulénse hipótesis
• Pruebénse hipótesis
• Evalúense resultados
• Obténganse conclusiones

• Defínase el problema
• Recoléctense los datos
• Defínanse soluciones alternativas
• Evalúense soluciones alternativas
• Selecciónese la mejor alternativa
• Puesta en práctica

6
Qué se hace en la realidad?

• Estar bien informado
• Conocer todas las alternativas
• Ser objetivo (ser optimizador económico)

Muchas soluciones
Aumentar los criterios
Establecer los criterios de solución
Buscar las soluciones
Solución Satisfactoria
Definir el problema
Pocas soluciones
Disminuir criterios
7
Qué hace un Director de Empresa para escoger la
acción más efectiva para alcanzar las metas de la
Organización?

• Establecer Criterio que usará
• Seleccionar un conjunto de alternativas para
  considerarlas
• Determinar el modelo que se usará y los valores
  de los parámetros
• Determinar la alternativa que optimiza el criterio

8

• Aportes Técnicas de Programación Lineal
• George Dantzig (USAF), Marshall Wood y Murray
  Geisler
• Wassily Leontief (modelo insumo-producto)
• Método Simplex
• Gomory (programación lineal discreta)
• Lester Ford y D. K Fulkerson (redes, trayectoria
  crítica)
• CPM y PERT

9
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS

• Los métodos cuantitativos se emplean
• Como guía en la toma de decisiones
• Como ayuda en la toma de decisiones
• Para automatizar la toma de decisiones

10

• Características de los Sistemas Administrativos
• Def Sistema....
• Tipos de sistemas Cerrados, abiertos
• Modelos
• Normativos, descriptivos
• Concretos, Abstractos (verbales o simbólicos)
• Aplicación (Inventarios)
• Técnica (Programación Lineal)
• Comparación de Modelos (validez, confialbilidad y
  la simplicidad)

11

• Dimensionalidad de los modelos (unidades)
• Toma de decisiones

Categoría Consecuencia Certidumbre Deterministas
Riesgo Probabilísticas Incertidumbre Desconoci
das Conflicto Influidas por un oponente

• Dimensionalidad de los modelos (unidades)

12
Uso de Datos para la Toma de Decisiones
Determina primero los hechos, después puedes
tergiversarlos como te plazca. Mark Twin
Los hechos no dejan de existir porque se
ignoren. Aldous Huxley
13

• Qué son los datos?
• Son hechos o conceptos conocidos o supuestos y
  generalmente se expresan en números
• Tipos de datos
• Internos y externos
• Objetivos y subjetivos
• Requerimientos de datos en diferentes niveles de
  la Organización
• Control operativo
• Control Administrativo
• Planeación estratégica

14
Situación Inversión
Considere el problema enfrentado por Mark,
graduado de la maestría de administración de
empresas, quién recientemente obtuvo un puesto
como analista financiero en una compañía de Wall
Street. Uno de los beneficios adicionales es un
plan de retiro en el que el empleado pone 5 de
su ingreso mensual. La compañía iguala esta
cantidad. El dinero de este plan es entonces
invertido en dos fondos un fondo de acciones y
un fondo de bonos. El Departamento de Beneficios
le ha pedido a Mark que especifique la fracción
de este dinero que habría que invertir en cada
fondo. Mark ha analizado el rendimiento anterior
de estos fondos y se ha enterado de que el fondo
de acciones ha crecido a una tasa anual promedio
de 10, mientras que el fondo de bonos, ha
promediado una retribución anual de 6. Para
diversificar su cartera y para controlar el
riesgo, no desea poner todos los huevos en una
sola canasta, ha identificado dos pautas 1.
Ninguno de los fondos debe tener más del 75 de
la inversión total. 2.La cantidad invertida en el
fondo de acciones no debe exceder del doble
invertido en el fondo de bonos.
15

• Definición del problema
• El problema de Mark está bien definido, se
  conoce el objetivo global, las limitaciones
  básicas para la toma de decisión

• Desarrollo del Modelo Matemático
• Expresar el problema en forma matemática
  (formular el modelo), por lo que se requiere
  determinar las variables involucradas

16
Variables de decisión S Fracción de capital
por invertir en acciones B Fracción de capital
por invertir en bonos

• Para el problema se desean escoger valores para
  que estas variables
• Maximicen la retribución anual esperada
• Satisfagan todas las pautas de inversión

17
- Función Objetivo El objetivo global de un
problema de decisión expresado en una forma
matemática en términos de los datos y de las
variables de decisión Maximizar 0,1 S
0,06 B
- Restricciones (limitaciones) Es un límite
sobre los valores de las variables en un modelo
matemático típicamente impuestos por condiciones
externas.
18
- Ningún fondo tenga más del 75 de lo
invertido S ? 0,75 (límite superior en el
fondo de acciones) B ? 0,75 (límite superior en
el fondo de bonos) - La fracción S invertida en
el fondo de acciones no debe exceder del doble de
la fracción B invertida en el fondo de bonos S
? 2 B ó S - 2 B ? 0 - Cada fracción debe ser no
negativa S, B ? 0
19
Finalmente el modelo resultante es Maximizar
0,1 S 0,06 B Sujeto a S
? 0,75 B ? 0,75 S - 2 B
? 0 S, B ? 0
20

• Resolución del modelo matemático
• Al resolver el problema usando cualquier técnica
  se tienen los siguientes valores para las
  variables de decisión
• S 0,75 y
• B 0,75
• Generando una retribución de
• 0,1 0,75 0,06 0,75 0,12 (12) ?

Solver 1
21

• Validación y Control de la Solución
• Al observar los valores de las variables de
  decisión (S0,75 y B0,75) se ve que no tienen
  sentido. No se puede invertir un 75 en ambos
  fondos simultáneamente.
• Hay un error, no se incorporó una restricción,
  esto es, los recursos disponibilidad.
• S B 1

22

• Modificación del Modelo
• Maximizar 0,1 S 0,06 B
• Sujeto a
• S ? 0,75
• B ? 0,75
• S - 2 B ? 0
• S B 1
• S, B ? 0

23
Resolviendo nuevamente se tiene que S 0,6667
y B 0,3333 Finalmente la retribución es 0,1
0,6667 0,06 0,33333 0,86667 (8,667)
Nota Emplear Solver para determinar el valor de
las variables de decisión
24
1.2 Construcción de Modelos de PL

• Modelo de Programación Lineal
• Es un modelo matemático en el que las
  relaciones entre variables son lineales y donde
  hay un solo objetivo o medida de rendimiento.
• La ventaja que tiene el modelo es que existe una
  técnica matemática que permite determinar la
  decisión óptima.

25
FORMALIZACIÓN DEL MODELO DE PL
El modelo de PL tiene un conjunto de variables de
decisión, una función objetivo la que debe
maximizarse o minimizarse y un conjunto de
relaciones o restricciones. Z C1X1 C2X2
......... CnXn Z es un objetivo económico
(beneficios, producción, costos, etc) Ci
coeficientes constantes (factores de
ponderación) Xi variables de decisión
(n) sujeto a (Restricciones (m) ) A1X1 A2X2
......... AnXn ? B1 ..............................
.................... A1X1 A2X2 .........
AnXn ? Bm
26
Matricialmente se tiene

• Vector de variables o
• niveles de actividad

?
Vector de costos o factor de ponderación
?
27
Vector de variables o niveles de actividad
A ?
Vector de variables o niveles de actividad
B ?
28
Entonces
Optimizar Z CT X c1 c2 c3

sujeto a
A X
B
? ?
y X ? 0
29
Ejemplo 1 Una mueblería produce dos tipos de
productos, sillas y mesas. Supóngase que el
beneficio marginal por cada silla es de 8 y por
cada mesa es de 10. Para la producción se
dispone de 20 horas hombre (hh) y de 10 unidades
de madera (um). Para la construcción de una silla
se requieren 8 hh y 2 um, y para la construcción
de una mesa se requieren 6 hh y 4 um. Cuántas
sillas y mesas se deben construir para obtener el
mayor beneficio?.
30
(No Transcript)
31
Formulación del PL
Sea
X1 Nº de sillas X2 Nº de mesas
Función Objetivo
Max Z 8X1 10X2
Sujeto a
8X1 6X2 ? 20 // hh 2X1 4X2 ? 10 //
um X1 ? 0 y X2 (no negatividad)
32
Ejemplo 2 Dos productos se elaboran al pasar en
forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por
máquina asignado a los dos productos está
limitado a 10 horas por día El tiempo de
producción y la ganancia por unidad de cada
producto son
Obtenga el modelo de PL para maximizar la ganancia
33
Solución 1. Variables de decisión X1 Cantidad
del producto 1 X2 Cantidad del producto 2 2.
Función Objetivo Maximizar ganancia MAX Z 2
X1 3 X2 3. Restricciones
10 X1 5 X2 ? 600 6 X1 20 X2 ? 600
8 X1 15 X2 ? 600 X1 , X2 ? 0
ó 24 X1 40 X2 ? 1800 X1 , X2 ? 0
34
Ejemplo 3 RMC posee una pequeña fábrica de
pinturas para interiores y exteriores de casa
para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos
materiales básicos, A y B. La disponibilidad
máxima de A es de 6 toneladas diarias, la de B es
de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de
materia prima por tonelada de pintura para
interiores y exteriores se resumen en la
siguiente tabla
Un estudio de mercado ha establecido que la
demanda diaria de pintura para interiores no
puede ser mayor que las pinturas para exteriores
en más de una tonelada. Asimismo, el estudio
señala que la demanda máxima de pintura para
interiores está limitada a dos toneladas
diarias. El precio al mayoreo es de 3.000 para
la pintura de exteriores y 2.000 para la de
interiores. Cuánta pintura para exteriores e
interiores debe producir la fábrica de pinturas
RMC todos los días para maximizar el ingreso
bruto?
35
Solución 1. Variables de decisión X1
Toneladas de pintura de exteriores producidas por
día X2 Toneladas de pintura para interiores
producidas por día 2. Función Objetivo
Maximizar ganancia MAX Z 3 X1 2 X2 miles de
unidades monetarias 3. Restricciones
X1 2 X2 ? 6 2 X1 X2 ? 8
- X1 X2 ? 1 X2 ?
2 X1 , X2 ? 0
36
Ejemplo 4 Una empresa fabrica dos productos, A y
B. En su elaboración, cada producto debe pasar
por dos secciones. El suministro de mano de obra
de la sección 1 es 100 horas y el de la sección 2
es 200 horas. El tiempo de mano de obra cuesta 2
por hora en la sección 1 y 1,5 en la sección 2.
Las horas de mano de obra necesarias por unidad
de cada producto son las siguientes
La cantidad máxima de unidades de B que puede
venderse es igual a treinta la de A es
veinticuatro. La materia prima para cada producto
cuesta 5 por unidad. El precio unitario de A es
30 y el de B es 25 a) Construya el modelo de
PL correspondiente.
37
1.3 Solución de Problemas PL
Existen varias métodos, entre ellos se
tiene 1.3.1 Método Gráfico 1.3.2 Método Simplex
38
1.3.1 Método Gráfico
Este método es muy limitado por la incapacidad de
visualizar más de tres dimensiones. Sin embargo
es recomendable usarlo para fijar los conceptos
que son aplicables a los otros métodos de
resolución.
39
Los pasos a seguir son

• Construir el modelo
• Graficar cada una de las restricciones en el
  sistema formado por las variables de decisión.
• Identificar la región (zona) factible
• Determinar el valor objetivo (VO) a partir de la
  función objetivo en cada uno de los vértices de
  la zona factible.
• Si es minimizar, considerar el menor o el mayor
  en caso de maximizar.

40
Ejemplo
PROTRAC produce dos líneas de equipo pesado. Una
de estas líneas de productos (llamada equipo para
remoción de escombros) se destina esencialmente a
aplicaciones de construcción. La otra línea
(llamada equipos forestales está destinada a la
industria maderera. El miembro más grande de la
línea de equipos para remover escombro (el E-9)
y el miembro mayor de la línea de equipos
forestales (el F-9) se producen en el mismo
departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso
de las predicciones económicas para el próximo
mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC juzga
que durante ese periodo será posible vender los
E-9 y los F-9 que la empresa pueda producir. La
administración debe ahora recomendar una meta de
producción para el próximo mes. Es decir,
cuántos E-9 y F-9 deben producirse?. En la toma
de decisión, los principales factores a
considerar son los siguientes
41

1. PROTRAC tendrá una utilidad de 5.000 por cada
   E-9 que se venda y 4.000 por cada F-9.
2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas
   tanto en el departamento A como en el
   departamento B
3. Para la producción del próximo mes, estos dos
   departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas
   respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas en el
   departamento A y 20 horas en el departamento B,
   mientras que cada F-9 consume 15 horas en el
   departamento A y 10 horas en el departamento B.

42
4. Con objeto de cumplir un compromiso con el
sindicato, el total de horas de trabajo que se
dedicarán a la verificación de los productos
terminados del próximo mes no puede ser menor en
10 a una meta establecida de 150 horas. Esta
actividad se realiza en un tercer departamento
que no tiene relación con los departamentos A y
B. Cada E-9 requiere de 30 horas de comprobación
y cada F-9, 10 horas. 5. Con el objeto de
mantener su posición actual en el mercado, la
alta gerencia ha decretado que para la política
de operación es necesario construir al menos un
F-9 por cada 3 E-9. 6. Un consumidor importante
ha ordenado un total de por lo menos cinco
aparatos (en cualquier combinación de E-9 y F-9)
para el próximo mes, así es que por lo menos debe
producirse esa cantidad
43
Modelo de PL a) Variables de decisión b)
Maximizar Z c) Sujeto a
44
Gráfica de PROTRAC
Zona factible
45
Gráfica de PROTRAC y función Utilidad
46
Gráfica de PROTRAC y función Utilidad
Solución óptima
47
Cálculo de E y F (Vértice C Resolver el
sistema) 10E 15F 150 20E 10F 160 E
4,5 F 7 y VO 5.000(4,5) 4.000(7) 22.500
28.000 VO 50.500
48
Consumo (horas)
Depto A 10(4,5) 15(7) 150 Depto B
20(4,5) 10(7) 160 Depto Pruebas 30(4,5)
10(7) 205
En los departamentos A y B el consumo es igual a
la disponibilidad en cambio en el departamento de
pruebas se consumió más del mínimo exigido.
49
1.3.2 Método Simplex

• 1. Forma estándar del Modelo de PL
• 2. Soluciones Básicas
• 3. Método Simplex Primal Algoritmo

50
A. Forma estándar del Modelo de PL

• Todas las restricciones son ecuaciones (con
  segundos miembros no negativos
• Todas las variables son no negativas
• La función Objetivo puede ser maximización o
  minimización

51
A.1 Restricciones

• Una restricción del tipo ? (?) puede convertirse
  en ecuación mediante la suma de una variable de
  holgura (restando una variable de exceso) al
  primer miembro de la restricción.
• Ejemplo
• desigualdad 3x1 12x2 ? 20
• igualdad 3x1 12x2 x3 20 con x3 ?
  0
• desigualdad 8x1 10x2 ? 120
• igualdad 8x1 10x2 - x4 120 con x4 ? 0

52
A.2 Segundo miembro no negativo
Se multiplica la desigualdad (ecuación) por
-1 Ej. 3X1 2X2 ? -5 -3X1 - 2X2 lt 5
53
A.3 Variables irrestrictas
Una variable irrestricta (no restringida) xi
puede expresarse en términos de dos variables no
negativas mediante el uso de la
sustitución La sustitución debe realizarse
en todas las restricciones y en la función
objetivo
54
Forma Estándar
Ejemplo Escriba el siguiente modelo de PL en la
forma estándar MAX z 2x1 3x2 sujeto
a x1 x2 10 -2x1 3x2 ? -5
7x1 - 4x2 ? 6 x1 irrestricta y x2 ? 0
55
Solución
56
A.4 Función Objetivo
El modelo estándar de programación lineal puede
ser utilizado para resolver problemas del tipo de
maximización o de minimización, algunas veces
sirve para convertir una forma a la otra. La
maximización de una función equivale a la
minimización del negativo de la misma función y
viceversa. Ejemplo MAX z 5x1 3x2
5x3 es matemáticamente equivalente a MIN
(-z) -5x1 - 3x2 - 5x3
57
B. Soluciones Básicas

• En un PL con m ecuaciones y n incógnitas
• Una solución básica asociada se determina
  haciendo n-m variables iguales a cero y luego,
  resolviendo las m ecuaciones con las restantes m
  incógnitas, siempre que la solución exista y sea
  única
• En la PL nos referimos a las n-m variables que se
  hacen cero como variables no básicas (externas),
  y a las m variables restantes como variables
  básicas (siempre que exista una solución única).
• Se dice que una solución básica es factible si
  todos los valores de su solución son no negativos

58
Algoritmo del método Simplex
INICIO Obtener Forma Estándar (forma
aumentada) Construir tabla inicial Mientras NO
SEA Óptimo Identificación variables de
entrada/Salida Desarrollo de la tabla
revisada FIN
59
C. Método Simplex Primal
Construcción de la tabla inicial
60
Ejemplo
Dado el siguiente PL encontrar su solución
aplicando el método Simplex
61
Forma Estándar (aumentada)
62
Tabla Inicial
63
Solución InicialVariable Entrante y Saliente
Mayor contribución
64
Instrucciones
65
Nueva Tabla
66
Segunda Iteración
67
Tabla resultante
!Cumple la prueba de optimalidad!
68
Un Problema de Minimización (Penalización M)
MIN Z 2 X1 8 X2 sa 1) 5 X1 10 X2
150 2) X1 ? 20 3) X2 ?14 X1 ? 0
69
Forma estándar
Restricciones 1) Ya es una igualdad 5
x1 10x2 150 2) Tiene variable de holgura x1
x4 20 3) Tiene una variable de
exceso x2 - x6 14 Resumen 5 x1 10x2
150 x1 x4
20 x2
- x6 14
No es posible determinar un grupo de variables
básicas !!
70
Forma estándar
En el ejemplo anterior (maximización) todas las
restricciones tenían variables de holgura las que
se consideraban como variables básicas, pero no
es así en este caso, por lo tanto hay que que
agregar variables artificiales (X3 y X5)
asociadas a un costo muy alto (M) para asegurarse
que al final sean variables externas y no
participen en la solución, para las restricciones
1) y 3). Estas variables artificiales participan
en la función objetivo multiplicadas por el
coeficiente M.
71
Modelo Estándar(Aumentado)
72
Tabla Inicial
Las variables básicas son X3, X4 y X5
73
Iteración 1
Entra X2 y sale X5
74
Iteración 2
Entra X6 y sale X3
75
Iteración 3
Entra X1 y sale X6
76
Situación Final
La solución es óptima (todos los elementos de la
última fila son cero o positivos).
77
4 Análisis de sensibilidad
Sensibilidad implica preguntarse qué sucedería
sí A) Cambia un coeficiente del lado derecho de
las restricciones B) Cambia uno de los
coeficientes de la función objetivo
78
4.1 Interpretación Gráfica
79
Ejemplo
Recordando el problema de Protac. Max Z 5.000 E
4.000 F sa 10 E 15 F 150 20 E 10 F
160 30 E 10 F 135 E - 3 F 0
E F 5 E 0 y F 0
80
Cambios en los términos independientesLa
solución era

• E 4,5
• F 7
• y Z 50.500
• Supongamos
• Que se dispone de una hora adicional en el
  departamento A (151 horas)
• Que se dispone de una menos en el departamento A
  (149 horas)
• Lo anterior pero para el departamento B

81
(No Transcript)
82
Trazado de la gráfica
Caso a) 10 E 15 F 151 gt E 151/10 y
F 151/15 Esta recta queda un poco desplazada a
la derecha. Su pendiente no cambia, por tanto el
punto C se ha trasladado al punto C. La solución
se mantiene en la intersección de las rectas 10 E
15 F 151 20 E 10 F 160
83
C
84
Trazado de la gráfica
Caso b ) 10 E 15 F 149 gt E 149/10
y F 149/15 Esta recta queda un poco desplazada
a la izquierda. Su pendiente no cambia, por tanto
el punto C se ha trasladado al punto C. La
solución se mantiene en la intersección de las
rectas 10 E 15 F 149 20 E 10 F
160
85
C
86
Trazado de la gráfica
87
La solución ahora es

• Departamento A (1 lado derecho)
• E 4,45 F 7,1 y Z 50.650
• E 4,55 F 7,1 y Z 50.350
• Departamento B (1 lado derecho)
• c1) E 4,575 F 6,95 y Z 50.675
• c2) E 4,425 F 7,05 y Z 50.325

88
Diferencia de Z

• Departamento A (1 lado derecho)
• Z 50.500 y Z 50.650 ?Z 150
• Z 50.500 y Z 50.350 ?Z -150
• Departamento B (1 lado derecho)
• c1) Z 50.500 y Z 50.675 ?Z 175
• c2) Z 50.500 y Z 50.325 ?Z -175

89
Definición
Precio dual, valor marginal o precio sombra es el
cambio incremental en los beneficios por cambio
unitario en el término independiente de una
restricción
90
B) Cambios unitarios en los coeficientes de la
función objetivo
Coeficiente de E 5001 Z 50.504,5
E 4999 Z 50.495,5 Coeficiente
de F 4001 Z 50.507
F 3999 Z 50.493
91
1. 4. 2 Interpretación de la Tabla Simplex

• Información que se puede obtener de la tabla
  simplex
• La solución óptima
• El estado de los recursos
• Los precios duales
• Sensibilidad de la solución óptima a cambios de
  disponibilidad de recursos, ganancia marginal
  (coef. de la FO) y uso de recursos.

92
Tabla resultante Solución Óptima
93
Solución óptima (para el problema de maximización)

• Variable de Valor
• decisión óptimo Decisión
• X1 3 1/3 Producir 3,333 ton pintura exterior
• X2 1 1/3 Producir 1,333 ton pintura interior
• Z 12 2/3 Ganancia resultante unidades

94
Estado de los Recursos

• Clasificación de las restricciones escasa,
  abundante ya sea que la solución óptima consuma
  o no la cantidad disponible del recurso.
• Se determina a partir de las variables de
  holgura
• X3 0 Escasa Materia Prima A
• X4 0 Escasa Materia Prima B
• X5 3 Abundante Límite en exceso para X1 sobre
  X2
• X6 2/3 Abundante Límite en la demanda de X1

95
Precio Dual (Valor unitario de un recurso)

• y1 1/3 miles de unid mon/ton adicional materia
  prima A
• y2 1 1/3 miles de unid mon/ton adicional
  materia prima B
• y3 0
• y4 0
• Esta información se obtiene de la tabla simplex
  óptima considerando los coeficientes de la fila
  de Z
• Base Solución X1 X2 X3 X4 X5 X6
• Z 12 2/3 3 2 1/3 1 1/3 0 0

96

• El mismo resultado se puede obtener de la
  ecuación de Z óptimo
• Z 12 2/3 - (1/3 X3 1 1/3 X4 0 X5 0
  X6)
• Si se cambia X3 de su nivel cero actual, Z
  cambiará a nivel de 1/3 de miles de unidad
  monetaria por tonelada. Pero un cambio en X3
  equivale a cambiar el recurso A en una cantidad
  igual
• X1 2 X2 X3 6
• Esto significa que el precio dual de la materia
  prima A es 1/3
• Para la materia prima B es 1 1/3 y para los
  recursos 3 y 4 son cero.

97
1. Cambio máximo en la disponibilidad de Recursos

• Cambiar el recurso materia prima A en la cantidad
  D1
• Esto significa que el recurso materia prima A
  será 6 D1
• Si D1 gt 0, se produce un aumento
• Si D1 lt 0, se produce una disminución

98
Cómo hacerlo?

• A la restricción inicial agregar D1 y resolver
  aplicando simplex
• El cambio sólo afecta a la solución (el segundo
  miembro), considerando que las constantes del
  segundo miembro nunca se utilizan de pivote.

99
Iteraciones sucesivas conducen a
Iteración Ecuación 0 1 2 (óptima) z 0 12 1
2 2/3 1/3 D1 1 6 D1 2 D1 4/3 2/3
D1 2 8 4 10/3-1/3 D1 3 1 5 3 - 1
D1 4 2 2 2/3 - 2/3 D1
100
Tabla Solución óptima
101
Qué hacer con toda esta información?

• Procurar que la solución siga siendo factible
• Esto significa que las variables básicas no
  deben ser negativas. Mantener la no negatividad
• 1) X2 4/3 2/3 D1 ? 0
• 2) X1 10/3 -1/3 D1 ? 0
• 3) X5 3 - D1 ? 0
• 4) X6 2/3 -2/3 D1 ? 0

102
Se consideran dos casos

• Caso 1 D1 gt0
• 1) Se satisface con cualquier valor
• 2) D1 ? 10
• 3) D1 ? 3
• 4) D1 ? 1
• En consecuencia D1 debe ser a lo más 1

103

• Caso 2 D1 lt 0
• 2), 3) y 4) se satisfacen siempre
• 1) D1? -2
• en este caso D1? -2
• Resumen -2 ? D1 ? 1
• 6 - 2 ? Materia prima A ? 61
• 4 ? Materia prima A ? 7

104

• Haciendo el mismo análisis para la materia prima
  B se tiene
• -2 ? D2 ? 4
• 8 - 2 ? Materia prima B ? 84
• 6 ? Materia prima B ? 12

105

• 2. Cambio máximo en la relación Utilidad/Costo
  marginal
• La FO nunca se utiliza como ecuación pivote, por
  lo tanto cualquier cambio en sus coeficientes la
  afectarán sólo a ella en la tabla óptima.
• Pueden ocurrir dos casos que las variables sean
  básicas o no en tabla óptima.

106

• Caso 1 Variables básicas
• Cambiar la ganancia marginal de X1 de 3 a 3 D1
• D1 puede ser positivo o negativo
• La FO tendrá la forma
• Z (3D1)X1 2X2
• Utilizando este nuevo coeficiente se llega a la
  siguiente tabla óptima

107
Los únicos cambios en los coeficientes no básicos
X3 y X4 de la ecuación de Z
108

• Estos cambios pueden determinarse de la tabla
  original, multiplicando los coeficientes no
  básicos y el segundo miembro de la fila de X1 por
  D1, y luego sumandolo a la fila Z óptimo.

109

• Para el caso de maximización

1/3 - 1/3 D1 ? 0 y 4/3 2/3 D1 ? 0
de la primera D1 ? 1 y de la segunda D1 ?
-2 -2 ? D1 ? 1
Finalmente 3-2 ? C1 ? 3 1 1
? C1 ? 4
Inténtelo para C2 !!!!!
110

• Caso 2 Variables no básicas
• Un cambio en los coeficientes objetivos pueden
  afectar sólo a los coeficientes de la ecuación de
  Z (la columna correspondiente no se utiliza como
  pivote).
• El caso en estudio no sirve porque X1 y X2 son
  básicas en la tabla óptima.

111

• Ejemplo
• Sea Z 5X1 2X2
• para las mismas restricciones del ejemplo en
  estudio.
• La tabla resultante es

112

• X2 es ahora no básica
• El objetivo es cambiar su coeficiente C2 2 a C2
  D2 y luego encontrar el intervalo.
• Al aplicar el nuevo coeficiente habrá un cambio
  en el coeficiente de 0,5 a 0,5 - D2
• En general, el cambio D del coeficiente objetivo
  original de una variable no básica conduce
  SIEMPRE al decremento en la misma cantidad del
  coeficiente objetivo en la tabla óptima.
• La tabla permanecerá óptima en tanto que 0,5 -D2
  ? 0
• esto es, D2 ? 0,5

113

• El intervalo es
• -infinito ? D2 ? 0,5 2
• -infinito ? D2 ? 2,5

114

• Ejemplo
• Resolver el siguiente PL empleando simplex y
  realizar un análisis de sensibilidad.
• MAX Z 3X1 2X2 5X3
• sa
• X1 2X2 X3 500
• 3X1 2X3 460
• X1 4X2 420
• X1 ,X2 , X3 0

115

• 1.5 Método Simplex Dual
• Cuando los problemas de PL no tienen una
  solución factible básica inicial con sólo
  holguras, se pueden resolver sin utilizar
  variables artificiales, entregando la misma
  información.
• DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL
• El dual es un problema de PL que se obtiene
  matemáticamente de un modelo primal de PL dado.
  Los problemas primal y dual están relacionados a
  tal grado que la solución de uno de ellos conduce
  en forma automática a la solución del otro.

116

• En la mayoría de los procedimientos de PL, el
  dual se define para varias formas del primal,
  dependiendo de los tipos de restricciones, de los
  signos de las variables y del sentido de la
  optimización.
• Se incluirá una definición única del problema
  dual que incluye automáticamente a todas las
  formas del primal. Se basa en el hecho de que el
  problema de PL debe calcularse en forma estándar
  antes de resolverlo mediante el método simplex o
  simplex dual, de esta manera al definir el
  problema dual mediante la forma estándar, los
  resultados serán consistentes con la información
  contenida en la tabla simplex..

117
La forma estándar general del primal se define
como
maximizar o minimizar
i 1, 2, ....., m j 1, 2, ..., n
sujeto a
xj ?0
Notar que las n variables xj, incluyen los
excesos y las holguras. El esquema se muestra en
el siguiente diagrama
118
(No Transcript)
119

• El diagrama muestra que el dual se obtiene
  simétricamente del primal de acuerdo con las
  siguientes reglas
• Para toda restricción primal hay una variable
  dual
• Para toda variable primal hay una restricción
  dual
• Los coeficientes de las restricciones de una
  variable primal forman los coeficientes del
  primer miembro de la restricción dual
  correspondiente, el coeficiente objetivo de la
  misma variable se convierte en el segundo miembro
  de las restricción dual y el segundo miembro de
  la restricción primal se convierte en el
  coeficiente objetivo de la respectiva variable
  dual
• Estas reglas indican que el problema dual tendrá
  m variables (y1, y2, ..., ym) y n restricciones,
  (correspondientes a x1, x2 ,...., xn).

120
En la tabla siguiente se muestra como determinar
los elementos restantes del problema dual
sentido de la optimización, tipo de restricciones
y el signo de las variables duales.
Función Objetivo Dual Estándar del
primal Función objetivo Restricciones
Variables Maximización Minimización ?
Irrestrictas Minimización Maximización ?
Irrestrictas
Todas las restricciones primales son ecuaciones y
todas las variables son no negativas.
121
Ejemplo 1 Primal
Maximizar Z 5 X1 12 X2 4 X3 sujeto a
X1 2 X2 X3 ? 10 2 X1 -
X2 3 X3 8 X1, X2, X3 ? 0
Primal estándar
Maximizar Z 5 X1 12 X2 4 X3 0
X4 sujeto a X1 2 X2 X3
X4 10 2 X1 - X2 3 X3 0 X4
8 X1, X2, X3
? 0
122
Dual
Minimizar w 10 y1 8 y2 sujeto a X1
y1 2 y2 ? 5 X2 2 y1 -
y2 ? 12 X3 y1 3 y2 ? 4
X4 y1 0 y2 ? 0 y1, y2
irrestricta
y1 es irrestricta, pero además está dominada por
y1 ? 0, la restricción dual asociada con X4,
entonces al eliminar la redundancia el modelo es
Minimizar w 10 y1 8 y2 sujeto a y1 2
y2 ? 5 2 y1 - y2 ? 12
y1 3 y2 ? 4 y1 ? 0,
y2 irrestricta
Dual Final
123
Unidad 2
Programación Lineal Aplicaciones
124
2.1 Modelo de Transporte
El objetivo general es encontrar el mejor plan de
distribución, es decir, la cantidad que se debe
enviar por cada una de las rutas desde los puntos
de suministro hasta los puntos de demanda. El
mejor plan es aquel que minimiza los costos
totales de envío, produzca la mayor ganancia u
optimice algún objetivo corporativo. Se debe
contar con

• Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de
  demanda en cada destino.
• ii) Costo de transporte unitario de mercadería
  desde cada fuente a cada destino.

125
2.1 Modelo de Transporte
También es necesario satisfacer ciertas
restricciones
1. No enviar más de la capacidad especificada
desde cada punto de suministro (oferta). 2.
Enviar bienes solamente por las rutas válidas. 3.
Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes
en los puntos de demanda.
126
2.1 Modelo de Transporte
Gráficamente Para m fuentes y n destinos
Esquemáticamente se podría ver como se muestra en
la siguiente figura
Destinos
Fuentes
C11, X11
1
1
d1
s1
Unidades de oferta
2
2
s2
d2
Unidades de demanda
. . .
. . .
sm
m
dn
n
Cmn, Xmn
Xij cantidad transportada desde la fuente i al
destino j
donde
Cij Costo del transporte unitario desde la
fuente i al destino j
127
Modelo general de PL que representa al modelo de
Transporte
2.1 Modelo de Transporte
minimizar
s a
i1,2,...,m
j1,2,...,n
para toda i y j
El modelo implica que al menos la oferta debe ser
igual a la demanda
128
Modelo general de PL que representa al modelo de
Transporte
2.1 Modelo de Transporte
Modelo de transporte equilibrado Oferta Demanda
i1, 2, 3,....,m
j1, 2, 3,....,n
para toda i y j
129
Aplicaciones del modelo de Transporte
2.1 Modelo de Transporte

• El Modelo de Transporte no sólo es aplicable al
  movimiento de productos, sino que también, como
  modelo se puede aplicar a otras áreas tales como
• Planificación de la Producción
• Control de Inventarios
• Control de Proveedores
• Otras

130
Ejemplo
2.1 Modelo de Transporte
RPG tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa.
Están ubicadas en Leipzig, Alemania (1)Nancy,
Francia (2) Lieja, Bélgica (3), y Tilburgo,
Holanda (4). Las máquinas ensambladoras usadas en
estas plantas se producen en Estados Unidos y se
embarcan a Europa. Llegaron a los puertos de
Amsterdan (1), Amberes (2) y El Havre (3). Los
planes de producción del tercer trimestre (julio
a septiembre) ya han sido formulados. Los
requerimientos (la demanda en destinos) de
motores diesel E-4 son los siguientes
131
2.1 Modelo de Transporte
Planta Cantidad de Motores (1)
Leipzig 400 (2) Nancy 900 (3) Lieja 200 (4)
Tilburgo 500 Total 2000
La cantidad disponible de máquinas E-4 en los
puertos(oferta en orígenes) son
Puerto Cantidad de Motores (1)
Amsterdan 500 (2) Amberes 700 (3) El
Hevre 800 Total 2000
132
Los costos () de transporte de un motor desde un
origen a un destino son
2.1 Modelo de Transporte
Al destino
Desde el origen 1 2 3 4
1 12 13 4 6
2 6 4 10 11
3 10 9 12 4
133
Construcción del modelo de PL
2.1 Modelo de Transporte
1. Variables de decisión
Xij número de motores enviados del puerto i a
la planta j i 1, 2, 3 j 1, 2, 3, 4
2. Función Objetivo
Minimizar Z 12 X11 13 X12 4X13 6X14
6X21 4X22 10X23 11X24 10X31 9X32
12X34 4X14
134
3. Restricciones
2.1 Modelo de Transporte
1) Oferta La cantidad de elementos enviados no
puede exceder la cantidad disponible
X11 X12 X13 X14 ? 500 X21 X22 X23
X24 ? 700 X31 X32 X33 X34 ?
800
2) Demanda Debe satisfacerse la demanda de cada
planta
X11 X21 X31 ? 400 X12 X22 X32 ?
900 X13 X23 X33 ? 200 X14 X24 X34 ?
500
Xij ? 0 para i1, 2, 3 j 1, 2, 3, 4
y de no negatividad
135
Solución del Modelo de Transporte
2.1 Modelo de Transporte
136
Algoritmos Específicos
2.1 Modelo de Transporte

• 2.1.1 Regla de la esquina noroeste (MEN)
• 2.1.2 Método por aproximación de Vogel (MAV)
• 2.1.3 Método del costo mínimo (MCM)
• 2.1.4 Método del paso secuencial y
• 2.1.5 DIMO (método de distribución modificada)

137
Descripción de los algoritmos
2.1 Modelo de Transporte
La regla de la esquina noroeste, el método de
aproximación de Vogel y el método del costo
mínimo son alternativas para encontrar una
solución inicial factible. El método del escalón
y el DIMO son alternativas para proceder de una
solución inicial factible a la óptima. Por
tanto, el primer paso es encontrar una solución
inicial factible, que por definición es cualquier
distribución de ofertas que satisfaga todas las
demandas
138
Descripción de los algoritmos
2.1 Modelo de Transporte
Una vez obtenida una solución básica factible, el
algoritmo procede paso a paso para encontrar un
mejor valor para la función objetivo. La solución
óptima es una solución factible de costo
mínimo Para aplicar los algoritmos, primero hay
que construir una tabla de transporte.
139
Tabla Inicial
2.1 Modelo de Transporte
140
Tabla Inicial del Ejemplo
2.1 Modelo de Transporte
141
2.1.1 Regla de la esquina Noroeste
2.1 Modelo de Transporte
Se inicia el proceso desde la esquina izquierda
superior Se ubican tantas unidades como sea
posible en la ruta Cantidad de Unidades
Mínimo(disponibilidad, demanda) Las siguientes
asignaciones se hacen o bien recorriendo hacia la
derecha o bien hacia abajo. Las demandas se
satisfacen recorriendo sucesivamente de izquierda
a derecha y las ofertas se destinan recorriendo
de arriba hacia abajo.
142
Primera asignación
2.1 Modelo de Transporte
143
Hasta cuarta asignación
2.1 Modelo de Transporte
144
Esquina Noroeste Solución final factible
2.1 Modelo de Transporte
Valor FO 400121001370041009200125004
14.200
145
2.1.2 Método de aproximación de Vogel (MAV)
2.1 Modelo de Transporte
MAV usa información de costos mediante el
concepto de costo de oportunidad para determinar
una solución inicial factible. Seleccionar en una
fila la ruta más barata y la que le sigue. Hacer
su diferencia (penalidad), que es el costo
adicional por enviar una unidad desde el origen
actual al segundo destino y no al primero. En
nuestro caso, para el puerto1, C13 y C14
Penalidad 6 - 4 MAV asigna un costo de
penalidad por no usar la mejor ruta en esta fila.
146
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
Lo anterior se repite para cada fila y cada
columna, esto es, determinar todas las
penalidades Los pasos iterativos de MAV son los
siguientes 1. Identificar la fila o columna con
la máxima penalidad. 2.Colocar la máxima
asignación posible a la ruta no usada que tenga
menor costo en la fila o columna seleccionada en
el punto 1 (los empates se resuelven
arbitrariamente) 3. Reajustar la oferta y demanda
en vista de esta asignación. 4. Eliminar la
columna en la que haya quedado una demanda 0 (o
la fila con oferta 0), de consideraciones
posteriores. 5. Calcular los nuevos costos de
penalidad.
147
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
El MAV continúa aplicando este proceso en forma
sucesiva hasta que se haya obtenido una solución
factible. Los resultados obtenidos se muestran
en las siguientes tablas
148
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
Paso 0 Cálculo de penalidades
Paso 1 Identificar máxima penalidad (fila o
columna)
Calculadas todas las penalidades, la mayor
corresponde a la columna 3 (penalidad 6)
149
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Asignación de unidades (MIN(oferta,demanda
)) Paso 3Reajuste de oferta y demanda
150
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
Paso 4 Eliminar columna (fila) con demanda
(oferta) 0
151
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
Paso 5 Calcular los nuevos costos de penalidad
152
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Transporte
Repitiendo los pasos anteriores, finalmente se
llega a la siguiente solución
Es solución factible? m n - 1 6? SI
Costo 2004300670044001020092004
12.000
153
2.1.3. Método del Costo Mínimo
2.1 Modelo de Transporte
Fundamento
Asignar la mayor cantidad de unidades a una ruta
disponible de costo mínimo
Algoritmo

1. Dada una tabla de transporte
2. Asignar la mayor cantidad de unidades a la
   variable (ruta) con el menor costo unitario de
   toda la tabla.
3. Tachar la fila o columna satisfecha.
4. Ajustar oferta y demanda de todas las filas y
   columnas
5. Si hay más de una fila o columna no tachada
   repetir los puntos 2, 3 y 4

154
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Ejemplo Aplicar MCM a la tabla de transporte
Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3
Paso 2
Unidades a asignar MIN(200,400) 200
155
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 3 Tachar fila o columna (columna 3)
Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)
Paso 4
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar.
Ir a paso 2
Paso 5
156
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Ruta de costo menor -gt 3_4 (ó
2_2) Unidades MIN(500,800) 500
Paso 3 Tachar columna 4
Paso 4 Tachar ajustar fila 3 y columna 4
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar.
Ir a paso 2
Paso 5
157
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Ruta de costo menor -gt 2_2 Unidades
MIN(700,900) 300
Paso 3 Tachar fila2
Paso 4 Tachar ajustar fila 2 y columna 2
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar.
Ir a paso 2
Paso 5
158
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Ruta de costo menor -gt 3_2 Unidades
MIN(200,300) 200
Paso 3 Tachar columna 2
Paso 4 Tachar ajustar fila 3 y columna 2
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar.
Ir a paso 2
Paso 5
159
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Ruta de costo menor -gt 3_1 Unidades
MIN(400,100) 100
Paso 3 Tachar fila 3
Paso 4 Tachar ajustar fila 3 y columna 1
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar.
Ir a paso 2
Paso 5
160
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Ruta de costo menor -gt 1_1 Unidades
MIN(300,300) 300
Paso 3 Tachar fila 1 ó columna 1 (sólo una de
ellas)
Paso 4 Tachar ajustar fila 1 y columna 1
Queda sólo una fila sin tachar. Terminar
Paso 5
161
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Transporte
Es solución factible? m n - 1 6? SI
Costo 30012200470041001020095004
12.000
Comparación de los resultados
Método Rutas Costo MEN 6 14.200
MAV 6 12.000 MCM 6 12.000
Conclusión
Los tres métodos entregan soluciones básicas
factibles, pero ninguno asegura que la solución
sea óptima.
162
2.1.4. Método de Pasos Secuenciales
2.1 Modelo de Transporte
Fundamento
Este método comienza con una solución inicial
factible. En cada paso se intenta enviar
artículos por una ruta que no se haya usado en la
solución factible actual, en tanto se elimina una
ruta usada actualmente. En cada cambio de ruta
debe cumplirse que 1. La solución siga siendo
factible y 2. Que mejore el valor de la función
objetivo El procedimiento termina cuando no hay
cambio de rutas que mejoren el valor de la
función.
163
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Algoritmo
Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para
crear una trayectoria única del paso secuencial.
Usar estas trayectorias para calcular el costo
marginal de introducir a la solución cada ruta no
usada. Si todos los costos marginales son iguales
o mayores que cero, terminar se tendrá la
solución óptima. Si no, elegir la celda que tenga
el costo marginal más negativo (empates se
resuelven arbitrariamente) Usando la trayectoria
del paso secuencial, determine el máximo número
de artículos que se pueden asignar a la ruta
elegida en el punto 2 y ajustar la distribución
adecuadamente. Regrese al paso 1
1 2 3 4
164
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 1
Algoritmo
a) Ponga un signo en la celda de interés no
ocupada b) Ponga un signo - en una celda usada de
la misma fila c) Ponga un en una celda usada de
la misma columna El proceso continúa alternando
los signos y - tanto en las filas como en las
columnas hasta que se obtenga una sucesión de
celdas (trayectoria) que satisfagan dos
condiciones 1. Hay un signo en la celda
desocupada original de interés, y 2. Cualquier
fila o columna que tenga un signo debe
tener también un signo - y viceversa.
165
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 1
Algoritmo
Solución básica factible obtenida aplicando el
método de la Esquina Noroeste
166
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 1
Algoritmo
Trayectoria 1 C13-C12C32-C33
167
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 1
Algoritmo
Costos de las Trayectorias
1 (4)-(13)(9)-(12) -12 2
(6)-(13)(9)-(4) -2 3 (6)-(4)(13)-(12)
3 4 (10)-(4)(9)-(12) 3 5
(11)-(4)(9)-(4) 12 6
(10)-(9)(13)-(12) 2
168
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2
Algoritmo
1 (4)-(13)(9)-(12) -12 2
(6)-(13)(9)-(4) -2 3 (6)-(4)(13)-(12)
3 4 (10)-(4)(9)-(12) 3 5
(11)-(4)(9)-(4) 2 6
(10)-(9)(13)-(12) 2
La solución factible NO es óptima !! Se
selecciona la trayectoria 1 (costo marginal más
negativo)
169
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 3 (Generación de la nueva tabla)
Algoritmo
Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta
elegida?
170
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 3 (Generación de la nueva tabla)
Algoritmo
Costo 13.000
171
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 4
Algoritmo
Volver al Paso 1 Para cada trayectoria evaluar
costo marginal
172
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Algoritmo
Paso 2 Elección de CMg menor
La celda más negativa es c 31 (-10) y la
trayectoria es C31 C33 C13 C11
173
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Algoritmo
Paso 3 (Generación de la nueva tabla)
Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta
elegida?
174
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 3 (Generación de la nueva tabla)
Algoritmo
Costo 12.000
175
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 4
Algoritmo
Volver al Paso 1 Para cada trayectoria evaluar
costo marginal
176
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
2.1 Modelo de Transporte
Algoritmo
Paso 2 Determinar costos marginales
Todas rutas son no negativas (positivas o
cero) Solución factible óptima!!!
12.000 Compare esta solución con la obtenida con
MAV y MCM ...?
177
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Algoritmo
1. Usar la solución actual (NE, MAV o MCM) y las
siguientes operaciones (a) y (b) para determinar
el costo marginal de enviar material para cada
una de las rutas no usadas. Asociar a cada fila
un índice ui y a cada columna un índice vj a)
Hacer u1 0. Encuéntrese los índices de las
filas u2, ..., um y los índices de las columnas
v1, ...., vn tales que cij ui vj para cada
celda usada. b) Sea eij cij - (uivj) para cada
celda no usada eij será el costo marginal de
introducir la celda (ruta) i, j a la
solución. Los pasos 2 a 4 son los mismos que en
el método secuencial.
178
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Aplicar el algoritmo al problema en estudio y
comparar resultados obtenidos con los métodos
anteriores Comentar resultados Qué explica que
existan dos soluciones óptimas factibles?
179
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Aplicación
vj
ui
Paso 0 Asociar índices
180
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Paso1.a) Solucionar la ecuación Existen 6
ecuaciones y siete variables entonces se hace u1
0 (puede ser cualquiera) y se determina el
resto de los índices v1 12 v2 13 u2
- 9 u3 -4 v3 16 v4 8 Paso 1.b)
Calcular los costos marginales para cada celda no
usada. eij cij - (ui vj)
181
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Costos marginales para las celdas no usadas. eij
cij - (ui vj)
1) e13 c13 - (u1 v3) 4 - (0 16)
-12 2) e14 c14 - (u1 v4) 6 - (0 8)
-2 3) e21 c21 - (u2 v1) 6 - (-9 13)
2 4) e23 c23 - (u2 v3) 10 - (-9 16)
3 5) e24 c24 - (u2 v4) 11 - (-9 8)
12 6) e31 c31 - (u3 v1) 10 - (-4 12)
2
182
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Prueba de Optimalidad. Hay costos
negativos por lo tanto no es óptima La ruta de
reasignación es C13 -C33 C32 -C12 (más
negativo, -12)
183
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 3 Asignación de unidades a la ruta
elegida. Unidades disponibles a mover Disminuir
1 unidad C12 100 Disminuir 1 unidad
C33 200
184
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Vuelta al Paso 1
Paso1.a) Solucionar la ecuación Se hacer u1 0
y se determina el resto de los índices v1 12
v2 1 v3 4 v4 -4 u2 3 u3 8
Paso 1.b) Calcular los costos marginales para
cada celda no usada. eij cij - (ui vj)
185
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Costos marginales para las celdas no usadas. eij
cij - (ui vj)
1) e12 c12 - (u1 v2) 13 - (0 1)
12 2) e14 c14 - (u1 v4) 6 - (0 - 4)
10 3) e21 c21 - (u2 v1) 6 - (3 12)
-9 4) e23 c23 - (u2 v3) 10 - (3 4)
3 5) e24 c24 - (u2 v4) 11 - (3 - 4)
12 6) e31 c31 - (u3 v1) 10 - (8 12) -10
186
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Prueba de Optimalidad. Hay costos
negativos por lo tanto no es óptima La ruta de
reasignación es C31 -C33 C13 -C11
187
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 3 Asignación de unidades a la ruta
elegida. Unidades disponibles a mover Disminuir
1 unidad C11 400 Disminuir 1 unidad
C33 100
188
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Vuelta al Paso 1
Paso1.a) Solucionar la ecuación u1 0 y se
determina el resto de los índices v1 12 v2
11 v3 4 v4 6 u2 - 7 u3 -2 Paso
1.b) Calcular los costos marginales para cada
celda no usada. eij cij - (ui vj)
189
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Costos marginales para las celdas no usadas. eij
cij - (ui vj)
1) e12 c12 - (u1 v2) 13 - (0 11)
2 2) e14 c14 - (u1 v4) 6 - (0 6)
0 3) e21 c21 - (u2 v1) 6 - (-7 12)
1 4) e23 c23 - (u2 v3) 10 - (-7 4)
13 5) e24 c24 - (u2 v4) 11 - (-7 6)
12 6) e33 c33 - (u3 v3) 12 - (-2
4) 10
190
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
2.1 Modelo de Transporte
Paso 2 Prueba de Optimalidad. No hay costos
negativos por lo tanto es óptima VO
3001220047004100102009500412.000
Ver Transporte RPG Equilibrio
191
2.1.6. Modelo de Transporte Situaciones
Especiales
2.1 Modelo de Transporte
1. Solución en problemas de maximización de
transporte 2. El caso en que la oferta excede a
la demanda. 3. Eliminación de rutas
inaceptables. 4. Degeneración en problemas de
transporte. 5. Propiedades especiales del modelo
de transporte
192
2.1.6. Modelo de Transporte Situaciones
Especiales
2.1 Modelo de Transporte

• 1. Solución en problemas de maximización de
  transporte.
• Se utilizan los beneficios marginales en lugar de
  los costos. Se asignará unidades a la celda que
  tenga el mayor valor marginal y el procedimiento
  concluirá cuando todas las rutas tengan valores
  marginales negativos.
• b) Convertir la tabla de beneficios en una tabla
  de costo Se busca el beneficio mayor, en cada
  celda se le resta al mayor el beneficio de la
  celda. Ejemplo

193
2.1.6. Modelo de Transporte Situaciones
Especiales
2.1 Modelo de Transporte
Tabla de beneficios
Mayor 20
Tabla de costo
194
2.1.6. Modelo de Transporte Situaciones
Especiales
2.1 Modelo de Transporte
2. El caso en que la oferta excede a la
demanda. Se utiliza un destino ficticio en la
tabla de transporte. Se considera como nulo el
costo de enviar una unidad a dicho destino desde
cada una de las fuentes (orígenes). Si la
demanda es mayor que la oferta el problema no
tiene solución factible, sin embargo el
administrador podría abastecer toda la demanda
que sea posible a un costo mínimo. Se utiliza
un origen ficticio. El costo de abastecer
cualquier destino desde dicho origen será cero.
Sin embargo podría haber un cargo por orden no
cubierta.
Ver Transporte RPG (OgtD) y (OltD
195
2.1.6. Modelo de Transporte Situaciones
Especiales
2.1 Modelo de Transporte
3. Eliminación de rutas inaceptables. Se asocia a
una ruta no aceptable un costo lo suficientemente
alto para que no sea atrayente la ruta en
cuestión. El costo M Por ejemplo producir en
abril para vender en febrero del mismo
año. 4. Degeneración en problemas de transporte.
Se dice que un problema se degenera cuando hay
menos de m n - 1 rutas ocupadas. Esto puede
ocurrir cuando simultáneamente se satisface una
demanda y se agota una oferta.
Ver Transporte RPG (inaceptable)
196
2.1.6. Modelo de Transporte Situaciones
Especiales
2.1 Modelo de Transporte
5. Propiedades especiales del modelo de
transporte Todo problema de transporte es
posible resolverlo mediante algoritmos que usan
sólo la adición y la sustracción. Si todas las
ofertas y demandas tienen valores enteros en un
problema de transporte, los valores óptimos de
las variables de decisión serán también enteros.
197
Ejercicios
2.1 Modelo de Transporte
Suponer que se tienen tres fábricas M1, M2 y M3
que producen 39, 48 y 33 toneladas
respectivamente, de un cierto producto que debe
llevarse a cuatro destinos, D1, D2, D3 y D4, los
cuales requieren 40, 37, 18 y 25 toneladas. Los
costos están dados por la siguiente tabla
1
D1 D2 D3 D4
M1 2 3 1 2
M2 1 4 7 6
M3 8 9 4 5
198
2.1 Modelo de Transporte
Planificación de la producción
2
Cuánto hay que producir en cada periodo para
satisfacer la demanda al mínimo costo (tanto de
producción como de almacenaje)?. Supuesto No
existe inventario inicial ni final. Plantear el
problema usando el modelo de transporte. Encuentr
e las respuestas usando Solver.
199
Situación
2.2 Modelo de Asignación

• Asignar m tra