Sin t

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VARIABLE ALEATORIA TIPIFICADA Sea una variable
aleatoria unidimensional X, con esperanza
matemática Ex? y desviación típica ?, llamamos
variable aleatoria tipificada de X a una nueva
variable aleatoria Z tal que
Z X-? ?
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Tipificar la variable aleatoria X ventas de
cierto producto en 1000 de 1 si
0?x?1 f(x) 0 en el resto Obtener la F.
distribución y F. densidad de la nueva variable
tipificada
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TEOREMA DE CHEBYSHEV
Sea X una variable aleatoria con media ? y
varianza ?2 finita. Para cualquier kgt0 (positiva)
se verifica P X- ? ? k ? ? 1
/k2 complementario P X- ? lt k ? ? 1- 1
/k2 P? - k ? lt Xlt ? k ? ? 1- 1 /k2 Podemos
expresar en términos de probabilidad la
dispersión de los valores de la variable
alrededor de su media utilizando la varianza como
medida de dispersión y sin necesidad de conocer
la distribución
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TEOREMA DE CHEBYSHEV
El teorema de Chebyshev solamente nos facilita
el límite inferior P? - k ? lt Xlt ? k ? ?
1- 1 /k2 que la probabilidad de que una variable
aleatoria dada X asuma un valor dentro de k
desviaciones típicas de la media sea realmente
mayor que 1-1/k2 aunque no podemos decir cuanto
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TEOREMA DE CHEBYSHEV
Si en la desigualdad de Chebyshev tomamos k3
tendremos P ?X- ?? ? 3? ? 1 /32 supone que
indica que la probabilidad de que una variable
aleatoria difiera de su media en al menos tres
veces su desviación típica será menor o igual que
1/9, para cualquiera que sea la distribución de
probabilidad de la variable o en el caso
complementario, por lo menos 8/9 del total de la
masa de la distribución de probabilidad está
comprendida en el intervalo (?-3?, ?3?) P? -
3? lt Xlt ? 3? ? 1- 1 /32
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TEOREMA DE CHEBYSHEV
Ejemplo obtener cuál es la probabilidad máxima
de que una variable aleatoria difiera de su media
en al menos 2,3,4 y 5 veces la desviación
típica Si k2 P ?X- ?? ? 2? ? 1 /22 Si
k3 P ?X- ?? ? 3? ? 1 /32 Si k4 P ?X- ?? ?
4? ? 1 /42 Si k5 P ?X- ?? ? 5? ? 1 /52
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En general para cualquier ?gt0 y
suponiendo ?k? P? -? lt Xlt ? ? ? 1- ?2/ ?2
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• Sea una variable aleatoria X de tipo discreto,
  cuya distribución de probabilidad viene dada por
• X P(Xx)
• 0.03
• 0.04
• 0.07
• 0.72
• 0.07
• 0.04
• 0.03

Obtener una cota superior de las probabilidades
de los sucesos ?X- ?? ? k? para k2,3 y 4.
Compara estos valores con las probabilidades
exactas de estos sucesos
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Si la densidad de probabilidad de X está dada
por 630x4(1-x)4 para 0ltxlt1 0 resto encuentre
la probabilidad de que asuma un valor dentro de
dos desviaciones típicas de la media y compare
esta probabilidad con el límite inferior
proporcionado por el teorema de Chebyshev.
f(x)
Cuál es el valor más pequeño de k en el teorema
de Chebyshev para el que la probabilidad de que
una variable aleatoria asuma un valor entre ?-k?
y ?k? sea a) al menos 0.95 b) al menos 0.99
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El número de periódicos vendidos diariamente en
un quiosco es una variable aleatoria de media 200
y desviación típica 10. cuántos ejemplares
diarios debe encargar el quiosquero para tener
seguridad de al menos un 99 de no quedarse sin
existencias? El número de días al año que un
maestro de un pequeño colegio está de baja por
enfermedad es una variable aleatoria de la que
únicamente se conoce su media , 10, y desviación
típica, 2. Si cada uno de estos días supone a la
consejería de educación unas pérdidas de 60 ,
determinar los límites superior e inferior del
total de pérdidas anuales que suponen las bajas
de este trabajador con un grado de fiabilidad de
al menos el 95.