Movimiento en un Plano - PowerPoint PPT Presentation

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Movimiento en un Plano

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Title: vectores Author: Ignacio Cruz Encinas Last modified by: Ignacio Cruz Encinas Created Date: 6/9/2005 2:22:01 AM Document presentation format – PowerPoint PPT presentation

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Title: Movimiento en un Plano


1
Movimiento en un Plano
  • El estudio de la Física va de lo sencillo a lo
    complejo y de lo particular a lo general.
  • En este contexto, se analiza el movimiento de un
    cuerpo que se mueve ya no en un eje (recta), sino
    en dos ejes mutuamente perpendiculares que forman
    una superficie.
  • Estos ejes serán ahora nuestro sistema de
    referencia, al cual también se le conoce como

2
Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas
rectangulares
3
Localización de un punto en el plano cartesiano
  • Se hace a partir del origen del sistema, ya sea
  • Mediante la pareja de puntos coordenados (x,y)
  • Especificando la distancia, el ángulo y a partir
    de que eje y hacia donde se mide el ángulo.

y (m)
I cuadrante
II cuadrante
3
(4,3)
d
2
1
q
l l l l l l l
l l l l
x (m)
0
-2
3
4
-1
-3
-4
1
2
-1
III cuadrante
- 2
IV cuadrante
4
Como medir DISTANCIAS EN EL PLANO(Teorema de
Pitágoras)
y (m)
3
(x 2 , y 2)
( 4 , 3 )
2
d
y 2 - y 1
1
q
(x 1 , y 1)
( 0 , 0 )
l l l l l l l
l l l l
x (m)
0
-2
-3
2
3
4
-1
-4
1
-1
x 2 - x 1
- 2
5
Como medir el ANGULO
  • Se forma un triángulo rectángulo, donde el lado
    más largo se denomina hipotenusa y los lados más
    cortos catetos.
  • El lado que está junto al ángulo se denomina
    cateto adyacente
  • El cateto opuesto es el que se encuentra en el
    lado contrario al ángulo.
  • Se requiere conocer las funciones trigonométricas

6
Funciones trigonométricas
7
  • El ángulo se encuentra sacando el inverso de la
    función seleccionada
  • El sentido se estipula haciendo referencia a los
    puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa
    en función de dichos puntos como
  • Lo cual indica que el ángulo se está midiendo
    hacia el Norte a partir del Este.

8
CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO
  • Un cuerpo cambia de posición, si cambia una de
    las parejas coordenadas (x , y)
  • Eso implica que hay desplazamiento.
  • Este se calcula de la forma acostumbrada
  • Posición final Posición inicial
  • Como involucra dos variables (x , y) se utiliza
    el teorema de Pitágoras para determinar la
    magnitud del desplazamiento (que en la mayoría de
    las situaciones, no es igual a la distancia
    recorrida).
  • Veámoslo mediante un ejemplo que involucra dos
    movimientos sucesivos.

9
Ejemplo CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO
  • Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen.
    Recorre 4 m en dirección horizontal en el sentido
    del eje de las x positivo. Posteriormente se
    mueve 3 m en dirección vertical en sentido del
    eje y positivo.
  • Los cambios de posición se representan
    gráficamente en el plano cartesiano mediante
    flechas A y B.
  • La longitud de las flechas es proporcional a la
    distancia que recorre.
  • La punta de la flecha indica el sentido en el
    cual a ocurrido el movimiento.

10
Representación gráfica de CAMBIO DE POSICIÓN EN
EL PLANO
11
Vector DESPLAZAMIENTO
  • El DESPLAZAMIENTO resultante o cambio de posición
    se representa mediante la flecha C que va desde
    la posición inicial hasta la posición final.
  • Tiene las siguientes características
  • Magnitud (o longitud) 5
  • Unidad metros
  • Dirección 36.87 0
  • Sentido al Norte del Este
  • Todas las cantidades físicas que cumplan con las
    características anteriores, se les denominan
    VECTORES .

12
E s c a l a r e s
  • Son todas aquellas cantidades físicas que para
    especificarse completamente basta con dar un
    número y su unidad correspondiente.
  • Se manejan mediante las operaciones ordinarias de
    la aritmética suma, resta, multiplicación y
    división.

Cantidad física Unidades Cantidad física Unidades
Tiempo 30 s Volumen 10 cm3
Masa 20 kg Gravedad 9.81 m/s2
Distancia, longitud, profundidad, altura. 50 m Presión 760 mmHg
Temperatura 300 C Densidad 1 Kg/m3
Rapidez m/s Carga 5x10-6 Coulomb
13
V E C T O R E S
  • Son todas aquellas cantidades físicas que para
    especificarse completamente hay que proporcionar
  • un número (4)
  • una unidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb)
  • una dirección (horizontal, vertical, inclinada)
  • un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo,
    eje x positivo, eje x negativo)
  • Se representan gráficamente mediante flechas.
  • Se manejan mediante operaciones especiales
  • Suma y resta vectorial
  • Producto punto o producto escalar
  • Producto cruz o producto vectorial

14
Cantidades Vectoriales
Cantidad Magnitud Unidad Dirección Sentido
Desplazamiento 5 m Horizontal Hacia la izquierda
Fuerza 10 Newton 300 al N del E
Peso 15 Newton Vertical Hacia el centro de la Tierra
Aceleración 9.81 m/s2 Vertical Hacia el centro de la Tierra
Campo Eléctrico 12 N/C Radial Saliendo
Velocidad 11 Km/hr 600 A partir del eje x en sentido de las manecillas del reloj
Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano
15
Diferencia entre escalares y vectores
  • Para diferenciar entre escalares y vectores
    analicemos los siguientes ejemplos
  • La distancia entre dos puntos es de 5 metros (es
    un escalar).
  • Una persona recorre 5 metros de donde estaba
    inicialmente.
  • (hay un cambio de posición o desplazamiento)
  • 5 es el NÚMERO de metros y éste a su vez es la
    UNIDAD. Sin embargo no podemos localizar a la
    persona, puede estar ubicada en cualquier punto
    de una circunferencia de radio 5 metros, medidos
    a partir de donde estaba inicialmente. Tenemos
    que dar su DIRECCIÓN y SENTIDO, por ejemplo, 300
    al S del O

16
NOTACIÓN DE VECTORES
  • Se denotan (escriben) mediante letras mayúsculas
    o minúsculas, a las cuales se les pone encima una
    flechita para indicar que es un vector. Ejemplo
  • Generalmente en libros de textos o notas de clase
    donde se facilita más la escritura, se suprime la
    flechita pero se remarca la letra por ejemplo
  • A, B, C, D, E, etc. ó a, b, c, etc.
  • que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".

17
Representación, magnitud e igualdad de Vectores
  • Se representan mediante flechas.
  • Su magnitud es proporcional a la longitud de la
    flecha

Magnitud del vector A valor absoluto del vector
A A A A
A
  • Dos o más vectores son iguales si tienen la misma
    magnitud, dirección y sentido, no importa si sus
    orígenes no coincidan.

18
Operaciones con Vectores
  • Como se mencionó anteriormente, los vectores se
    manejan mediante operaciones especiales siendo
    éstas
  • SUMA VECTORIAL.- Sean A y B dos vectores, se
    define la suma vectorial como
  • A B C
  • donde C es un nuevo vector con su propia
    magnitud, dirección y sentido.
  • PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.- Sean A y B
    dos vectores, se define el producto punto entre
    los dos vectores como
  • A ? B A B cos ? A B cos ? B A cos ? C
  • donde A B cos ? C es un escalar que posee
    únicamente magnitud y unidad.
  • ? es el MENOR ÁNGULO que se forma entre los dos
    vectores. Si .


19
Operaciones con Vectores
  • 00 lt ? lt 900 A ? B gt 0
  • ? 900 A ? B 0
  • 900 lt ? lt 2700 A ? B lt 0
  • ? 2700 A ? B 0
  • 2700 lt ? lt 3600 A ? B gt 0


20
Operaciones con Vectores
  • PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
  • Sean A y B dos vectores, se define el producto
    vectorial como

A x B C
  • donde C es un nuevo vector
  • La MAGNITUD del vector C viene dada por

C C A x B A B sen ? AB sen
?AB

Donde ?AB es el menor ángulo que se forma entre
los vectores
  • La DIRECCIÓN del vector C es perpendicular tanto
    al vector A como al B
  • Su SENTIDO viene dado por la REGLA DE LA MANO
    DERECHA

21
Regla de la mano derecha
  • Con los dedos extendidos de la mano derecha y el
    pulgar perpendicular a ellos, tratar de empujar
    la punta del primer vector hacia la punta del
    segundo vector cerrando los dedos y dejando
    extendido el pulgar, el sentido en el que apunta
    este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde
    apunta el vector C o producto vectorial entre los
    dos vectores


Si el ángulo entre los dos vectores es de 900,
entonces el producto vectorial entre ellos es el
VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 900
0 Nota Los vectores A y B forman o están en un
plano, siendo el vector C perpendicular a dicho
plano, por ejemplo, es como si los vectores A y B
estuviesen en el piso, luego entonces, el vector
C estaría saliendo o entrando perpendicularmente
al piso.
22
Suma de V e c t o r e s
  • Para sumar dos o más vectores, existen dos
    métodos
  • Métodos Gráficos
  • Método del paralelogramo (es ideal para dos
    vectores)
  • Método del polígono ( Para sumar más de dos
    vectores)
  • Método Analítico

23
Método del Paralelogramo
  • Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se
    realiza de la siguiente manera
  • Se unen los orígenes de los dos vectores.
  • A partir de sus puntas o terminaciones se trazan
    paralelas a cada uno de ellos formando una
    paralelogramo.
  • La diagonal de dicho paralelogramo es el vector
    suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente
    ejemplo

24
Método del Paralelogramo
  • ejemplo

A
Resultante
A
B
B
25
Método del Polígono
  • Consiste en unir el origen del segundo vector con
    la punta del primero. Si son mas de dos vectores,
    unir el origen del tercer vector con la punta del
    segundo y así sucesivamente, el vector resultante
    es el que va desde el origen del primero hasta la
    punta del último.

D
D
Resultante
B
C
A
A
B
C
26
Propiedades de la Suma Vectorial
  • Ley conmutativa de la suma
  • Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo
    resultado, no importa el orden en que se sumen.
    Del ejemplo anterior

B
A
D
D
Resultante
C
D
B
Resultante
A
A
C
C
B
27
Propiedades de la Suma Vectorial
  • Ley asociativa de la suma
  • Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos se
    pueden asociar para obtener semi-resultantes, las
    cuales se suman a su vez para obtener el vector
    resultante. Del ejemplo anterior

B
D
B
C
A
D
C
A D
Resultante
A
C B
28
Propiedades de la Suma Vectorial
  • Multiplicación de un vector por un escalar
  • Al multiplicar un vector por un escalar, se
    obtiene un nuevo vector ( B ) que es k veces
    mayor, k veces menor o bien igual que el vector
    que le dio origen, todo depende del escalar.
    Ejemplo

k 2
B 2 F
F
k 1/2
W 1/2 F F/ 2
29
Propiedades de la Suma Vectorial
  • Negativo de un vector
  • El negativo de un vector S es aquél que tiene la
    misma magnitud y dirección que S pero sentido
    contrario.
  • El negativo de un vector S es aquél que hay que
    sumarle a S para obtener el vector nulo.
  • O bien el vector multiplicado por un escalar
    unitario negativo. Ejemplo

S
- S
S ( - S ) 0
30
Resta de Vectores
  • Se define la resta de vectores como
  • A - B A ( - B ) R
  • Para restar un vector B al vector A, se procede
    igual que en la suma con la única salvedad de que
    se toma el negativo del vector B. Ejemplo

A ( - B ) R
A
- B
B
A
31
Resta de Vectores
  • Se define la resta de vectores como
  • A - B A ( - B ) R
  • Para restar un vector B al vector A, se procede
    igual que en la suma con la única salvedad de que
    se toma el negativo del vector B. Ejemplo

A B A ( - B ) R
- B
B A - (A - B ) - R
A
B
- A
32
M E T O D O A N A L Í T I C O
  • El método analítico consiste en hablar de
    vectores con respecto a un sistema de referencia,
    en el caso del plano, éste es el plano cartesiano

y
3
A
2
l l l
1
l l l l l
l l l l l
0
x
1
2
4
3
-2
-3
-4
-1
-1
-2
l l l l
-3
33
Método analítico componentes rectangulares
  • Una vez elegido el plano, se definen las
    componentes Ax y Ay de un vector como las
    proyecciones o sombras del vector sobre los ejes
    coordenados, éstas se obtienen trazando paralelas
    a los ejes a partir de la terminación del vector.

y
3
A
A y
2
l l l
1
l l l l l
l l l l l
0
x
1
2
4
3
-2
-3
-4
-1
A x
-1
-2
l l l l
-3
34
Método analítico cálculo de las componentes
rectangulares
  • Cuando se proporciona la magnitud del vector y su
    orientación mediante el ángulo, las componentes
    rectangulares se calculan utilizando las
    funciones trigonométricas.
  • Se forma un triángulo rectángulo, en donde las
    componentes vienen siendo los catetos y la
    hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando las
    funciones trigonométricas

y
A
3
despejando la componente vertical
hipotenusa
A y
l l
cateto opuesto
q
A y A sen q
1
cateto adyacente
l l l
A x
0
4
1
-1
x
-1
despejando la componente horizontal
A x A cos q
35
Método analítico cálculo de la magnitud y ángulo
de un vector
  • Cuando se proporcionan las componentes
    rectangulares (A x , A y ) de un vector, se puede
    conocer
  • Su magnitud aplicando el teorema de Pitágoras
  • Su orientación mediante el inverso de la función
    tangente del ángulo.

A v (A x )2 ( A y )2
q tan -1
A x
36
Método analítico ubicación y orientación de un
vector
  • Cuando se proporcionan las componentes
    rectangulares (A x , A y ) de un vector, éste
    puede estar en
  • I cuadrante si Ax gt 0 y Ay gt 0
    sentido al N del E
  • II cuadrante si Ax lt 0 y Ay gt 0
    sentido al N del O
  • III cuadrante si Ax lt 0 y Ay lt 0 sentido
    al S del O
  • IV cuadrante si Ax gt 0 y Ay lt 0 sentido
    al S del E

Aplicando la igualdad de vectores
x
37
Método analítico problema de la tangente
A x y A y gt 0
A x y A y lt 0
y
N
y
A
A x lt 0
-4
E
O
q
2
A y lt 0
A y gt 0
l
q
-2
x
A
l l
0
4
-1
A x gt 0
x
-1
S
En ambos casos la función tan ? es positiva. Se
recomienda graficarlos para visualizarlos o,
analizar signos para ubicarlos en el cuadrante
respectivo. Su orientación será de acuerdo a
si Ax gt Ay mas orientado al eje X si
Ay gt Ax mas orientado al eje Y
38
Método analítico problema del ángulo y los ejes
  • El ángulo puede ser dado respecto al eje x o con
    respecto al eje y. Hay que tener cuidado al
    aplicar las funciones trigonométricas para
    calcular las componentes, ya que para la misma
    función, las componentes CAMBIAN.

y
y
A
A
2
2
q
l
l
q
l l
l l
0
4
0
-1
4
-1
x
x
-1
-1
cat. op.
cat. op.
A x

sen q

sen q
hip.
hip.
A
A x A sen q
A y A sen q
A x A cos q
A y A cos q
39
Suma de vectores método analítico
R v ( Rx)2 (Ry)2
y
B
Donde
Rx Ax Bx
B y
qB
R
Ry Ay By
R y
A
Además
A y
Ax A cos ?A
qR
qA
Ay A sen ?A
x
Bx B cos ?B
A x
B x
By B sen ?B
R x
40
Ejercicio suma de vectores
  • La magnitud del vector A es de 200 unidades y
    forma una ángulo de 300 con respecto a la
    horizontal la magnitud del vector B es de 300
    unidades y forma una ángulo de 1350 con respecto
    a la horizontal la magnitud del vector C es de
    150 unidades y forma un ángulo de 2350 con
    respecto a la horizontal. Todos los ángulos son
    medidos en sentido contrario a las manecillas del
    reloj.
  • a) Utilizando el método gráfico, encuentre
  • i ) A B C
  • ii ) B A C
  • iii ) A - B C
  • iv ) C - B A
  • b) Encuentre los puntos del i ) al iv ) del
    inciso anterior utilizando el método analítico.

41
Representación de vectores vectores unitarios
  • Para representar un vector en forma vectorial, lo
    analizaremos mediante los siguientes ejemplos
  • A A
  • Simbología incorrecta, ya que un vector no puede
    ser igual a un escalar como lo es la magnitud de
    un vector.
  • A A x A y
  • Simbología incorrecta, ya que un vector no puede
    ser igual a la suma de dos escalares como lo son
    las componentes rectangulares de un vector.
  • A A x A y
  • Simbología incorrecta, ya que la magnitud de un
    vector se determina mediante el teorema de
    Pitágoras.
  • Como se puede apreciar, aún no contamos con una
    terminología para describir a un vector en
    notación vectorial.
  • Para suplir esta falta de información, se definen
    los vectores unitarios î , j cuya magnitud
    como su propio nombre lo indica es la unidad y su
    dirección es a lo largo de los ejes coordenados,
    su sentido saliendo del origen.
  • Veámoslos en el plano.

42
Vectores unitarios
  • Para indicar que se trata de un vector unitario,
    encima de la letra se le pone un gorrito.
  • La letra î se reserva para el vector unitario en
    la dirección del eje de las x positivo
  • La letra j para el vector unitario en la
    dirección del eje de las y positivo.
  • También pueden ser escritos en negritas.
  • Se le conocen también como vectores direccionales
  • î i
  • j j
  • î j 1

Un vector se representa como A Ax i Ay j
43
Suma de Vectores método de vectores unitarios
  • Sumar los siguientes vectores
  • A 4 i 5 j
  • B 6 i 2 j
  • Solución
  • C A B (4 i 5 j ) (6 i 2 j )
  • 4 i 6 i 5 j 2 j
  • (4 6) i (5 2) j
  • 10 i 7 j
  • ó más sencillo
  • A 4 i 5 j
  • B 6 i 2 j
  • R 10 i 7 j
  • R R v10049 v149 12.2 u
  • ? tan-1 (7/10) 350
  • Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante
    se encuentra en el I cuadrante como Rx gt Ry, mas
    cargado hacia el eje x. Es decir, al N del E

Dibujar los vectores y sumarlos
y
10
5
x
5
10
44
Producto punto o producto escalar
  • El producto punto o producto escalar se definió
    como
  • A ? B A B cos ? A B cos ?
  • En función de los vectores unitarios
  • A ? B (A x i A y j) ? (B x i B y j)
  • Desarrollando
  • A?B A x B x (i?i) A x B y (i?j) A y B x
    (j?i) A y B y (j?j)
  • Aplicando la definición
  • i ? i (1) (1) cos 00 1
  • i ? j (1) (1) cos 900 0
  • j ? j (1) (1) cos 00 1
  • j ? i (1) (1) cos 900 0

45
Producto punto
  • Sustituyendo los productos punto
  • A ? B A x B x A y B y
  • Igualando ambas definiciones
  • A B cos ? A x B x A y B y
  • Despejando el ángulo
  • ? cos-1

46
Ejemplo producto punto
  • Encontrar el producto punto o producto escalar de
    los siguientes vectores
  • A 4 i 5 j análisis I cuadrante a 51.340 al N
    del E magnitud 6.4
  • B 6 i 2 j análisis I cuadrante a 17.430 al N
    del E magnitud 6.3
  • A ? B A x B x A y B y
  • 24 10
  • 34
  • El menor ángulo que forman entre si los dos
    vectores es
  • ? cos-1
  • ? cos-1
  • ? 32.90

34
v1625 v364
47
Producto cruz o producto vectorial
  • El producto cruz o producto vectorial se definió
    como
  • A x B A B sen ? A B sen ?
  • En función de los vectores unitarios
  • A x B (A x i A y j) x (B x i B y j)
  • Desarrollando
  • AxB A x B x (ixi) A x B y (ixj) A y B x
    (jxi) A y B y (jxj)
  • Aplicando la definición
  • i x i (1) (1) sen 00 0
  • i x j (1) (1) sen 900 k (aplicando la regla
    de la mano derecha)
  • j x j (1) (1) sen 00 0
  • j x i (1) (1) sen 900 -k (aplicando la regla
    de la mano derecha)

48
Producto cruz
  • Sustituyendo los productos cruz de vectores
    unitarios
  • A x B A x B y (k) A y B x (-k)
  • A x B (A x B y - A y B x ) k
  • Un nuevo vector cuya
  • Magnitud es A x B y - A y B x
  • Dirección perpendicular al plano formado por A y
    B.
  • Sentido
  • Sale del plano si A x B y - A y B x gt 0
  • Entra al plano si A x B y - A y B x gt 0

49
Producto cruz en tres dimensiones
  • El producto cruz o producto vectorial de vectores
    unitarios
  • A x B (A x i A y j A z k) x (B x i B y j
    B z k)
  • Desarrollando
  • A x B A x B x (i x i) A x B y (i x j) A x B
    z (i x k) A y B x (j x i) A y B y (j x j) A
    y B z (j x k) A z B x (k x i) A z B y (k x j)
    A z B z (k x k)
  • Aplicando la definición
  • i x i (1) (1) sen 00 0
  • i x j (1) (1) sen 900 k
  • i x k (1) (1) sen 900 - j
  • j x i (1) (1) sen 00 - k
  • j x j (1) (1) sen 900 0
  • j x k (1) (1) sen 900 i
  • k x i (1) (1) sen 00 j
  • k x j (1) (1) sen 900 - i
  • k x k (1) (1) sen 900 0

50
Producto cruz
  • Sustituyendo
  • A x B AxBy (k) AxBz (-j) AyBx (-k) AyBz
    (i) AzBx (j) AzBy (-i)
  • Reagrupando
  • A x B (AyBz - AzBy) i (AzBx - AxBz) j
    (AxBy - AyBx) k

51
Producto cruz determinantes
i j k Ax Ay Az Bx By Bz
(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az ) j
(Ax By Bx Ay )k
A x B
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