Movimiento en un Plano

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Movimiento en un Plano

• Autores
• Ignacio Cruz EncinasMario Enrique Álvarez
  RamosRoberto Pedro Duarte ZamoranoEzequiel
  Rodríguez Jáuregui
• Rogelio Gámez Corrales
• UNIVERSIDAD DE SONORA
• Departamento de Física

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DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO

• Sea r1 el vector de posición inicial que ubica a
  la partícula en el plano cartesiano, cuando éste
  está en el punto de coordenadas ( x1 , y1 ) en el
  instante de tiempo t1.
• Sea r2 el vector de posición final que ubica a la
  partícula en el plano cartesiano cuando está en
  el punto de coordenadas ( x2 , y2 ) en el
  instante de tiempo t2.
• Se define el vector A o cambio de posición como
  aquél que va desde la posición inicial de
  coordenadas ( x1 , y1 ) hasta la posición final
  de coordenadas ( x2 , y2 ). Veámoslos
  gráficamente

3
DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO
Trayectoria del cuerpo
y
(x2 , y2) en t2
y2
A
D y y2 y1
(x1 , y1) en t1
r 2
y1
r 1
D x x2 x1
x2
x1
x
4

• Donde
• D x x2 x1 es la componente del vector A en el
  eje x
• D y y2 y1 es la componente del vector A en el
  eje y
• A A v (Dx)2 (Dy)2 v(x2 - x1)2 (y2 -
  y1)2
• es la magnitud del vector A, la cual representa
  la distancia entre la posición inicial y la
  final, más no la distancia recorrida por el
  cuerpo, puesto que la trayectoria que siguió la
  partícula es diferente.
• Analizando a los vectores que tenemos en la
  figura, observamos que el vector r2 es la
  resultante de sumar los vectores r1 y A esto es
• r1 A r2

5

• Despejando al vector A (siguiendo las reglas del
  álgebra) tenemos que
• A r2 - r1
• definiendo a A como D r , tenemos que
• D r r2 - r1
• lo cual en expresiones verbales representa
• Cambio de posición o Desplazamiento Posición
  final - Posición inicial

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Características del vector desplazamiento

• Como el desplazamiento es un vector, tiene
• Magnitud,
• unidad,
• metros
• dirección
• Sentido.- De acuerdo a los puntos cardinales. Por
  lo general se hace referencia primero al punto
  hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales
  cuando los graficamos en un papel) y se continúa
  diciendo a partir de donde lo medimos (ejes
  horizontales).
• Por ejemplo
• Al Sur del Este (al S del E)
• Al Norte del Oeste (al N del O)

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VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANO

• Ya que tenemos la definición de desplazamiento o
  cambio de posición, procedamos a calcular que tan
  rápido se realizaron tales cambios.
• Como una primera aproximación, una forma de
  calcularlos es mediante el cociente de
• Dr / Dt
• cuyas unidades son m/s
• Este concepto así definido recibe el nombre de
  velocidad media. Para ver que tipo de cantidad
  física es (escalar o vectorial) analicemos el
  cociente
• D r es una cantidad vectorial
• D t es una cantidad escalar
• Y el cociente se puede expresar como
• ( 1 / D t ) ( D r )

8
Velocidad media

• lo que representa la multiplicación de un escalar
  (1/Dt) por un vector (Dr), obteniendo un nuevo
  vector que es k veces mayor, menor o igual.
• La magnitud viene dada por

donde el subíndice m indica media. Tal magnitud
representa la rapidez del vector velocidad
media. El vector velocidad media tiene la misma
dirección y sentido que el vector que le da
origen, esto es, D r
9
Velocidad media

• Con respecto a la velocidad media en el plano,
  existen dos casos importantes de analizar
• Uno de ellos es cuando la trayectoria coincide
  con la dirección del desplazamiento.
• El otro que es el más general, cuando la
  trayectoria es cualquier otra trayectoria
  diferente a la del caso anterior.
• El primer caso no presenta mayor problema. Se
  trata de un
• Movimiento rectilíneo uniforme (la magnitud de
  la velocidad media es constante, siempre en la
  misma dirección y sentido) o
• Rectilíneo uniformemente acelerado (la magnitud
  de la velocidad media es variable pero siempre
  con la misma dirección y sentido).
• En ambos casos, aunque la partícula se encuentre
  en un plano, se está moviendo a lo largo de uno
  de los ejes (línea recta), siendo el tema que se
  abordó en el movimiento unidimensional aunque no
  en forma vectorial.

10
Velocidad media

• El que se analiza ahora es el otro caso
• Cuando la partícula siga una trayectoria
  diferente a la del vector desplazamiento.
• Dicho análisis se puede subdividir en dos partes
• Analizar el problema en su forma más sencilla
• Posteriormente aumentar el grado de complejidad.
• Sencillo
• Cuando la partícula sigue una trayectoria
  curvilínea pero magnitud del vector velocidad
  media constante (misma rapidez).
• Complejo
• Aquél donde la partícula sigue una trayectoria
  curvilínea pero la magnitud del vector velocidad
  media es variable (la rapidez cambia de instante
  a instante).

11
Velocidad media

• Analizaremos el primer caso a partir de la
  siguiente ilustración. Para ello tomamos tres
  posiciones diferentes que estén sobre la
  trayectoria de la partícula.

12
Velocidad media

• La magnitud del vector v12 es
• v12 v12 (1 / D t 12) D r12
• Con misma dirección y sentido que r12
• La magnitud del vector v13 es
• v13 v13 (1 / D t 13) D r13
• Con misma dirección y sentido que r13
• Suponiendo que la rapidez es constante, es
  decir
• v12 v13 constante
• a pesar de ello, los vectores velocidad media
  son diferentes debido a que no tienen la misma
  dirección (para que dos o mas vectores sean
  iguales, deben tener la misma magnitud, unidad,
  dirección y sentido, si una de esas condiciones
  cambia, entonces son diferentes).

13
Velocidad media

• Luego entonces, nos vemos obligados a decir que
  el vector velocidad media está cambiando de
  instante a instante y el concepto de velocidad
  media es insuficiente para describir el
  movimiento de la partícula en un plano cuando su
  trayectoria es curvilínea.
• Para suplir esta deficiencia de información, se
  genera el concepto de velocidad instantánea en el
  plano.

14
Velocidad instantánea

• Analicemos nuevamente la figura con mayor detalle
  y siguiendo el siguiente procedimiento
• Elegir un punto de coordenadas (x0 , y0 ) que
  esté sobre la trayectoria de la partícula, en el
  instante de tiempo t0.
• Elegir otro punto de coordenadas (x , y ) que
  también esté sobre la trayectoria pero en un
  instante de tiempo ( t10 ), posterior a t0 , es
  decir t10 gt t0
• Calcular la velocidad media entre esos dos puntos
  para ver su dirección y sentido

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Velocidad instantánea
trayectoria

• velocidad media entre t 0 y t10
• v10 v10 (1 / t10 - t 0) D r1?10
• misma dirección que
• D r1?10

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Velocidad instantánea

• velocidad media entre t 0 y t 9
• v9 v9 (1 / t 9 - t 0) D r 1? 9
• misma dirección que
• D r1? 9

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Velocidad instantánea
y
(x8 , y8)
D r 1? 8
(x0 , y0)
trayectoria
r 8
r 1
x

• velocidad media entre t 0 y t 8
• v8 v8 (1 / t 8 - t 0) D r 1? 8
• misma dirección que
• D r1? 8

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Velocidad instantánea
y
(x7 , y7)
D r 1? 7
(x0 , y0)
r 7
trayectoria
r 1
x

• velocidad media entre t 0 y t 7
• v7 v7 (1 / t 7 - t 0) D r 1? 7
• misma dirección que
• D r1? 7

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Velocidad instantánea

• Analizando lo anterior, podemos decir que
• Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la
  partícula.
• Encontramos vectores velocidades medias
  diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).
• v10 ? v9 ? v9 ? v7
• El intervalo de tiempo es cada vez menor
• (t 7 - t 0 ) lt (t 8 - t 0 ) lt (t 9 - t 0 ) lt (t
  10 - t 0 )
• Nos estamos acercando al punto de coordenadas ( x
  0 , y 0 ) en el instante de tiempo t 0.

20
Velocidad instantánea

• Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de
  acercarnos mas al instante de tiempo t 0
  eligiendo otro instante de tiempo menor ( t 6 ).
• Elegir el mismo punto de coordenadas (x 0 , y 0 )
  en t 0 y otro punto que también esté sobre la
  trayectoria pero en un instante de tiempo t 6
  anterior a t 7.
• Calcular la velocidad media entre este nuevo par
  de posiciones para ver su dirección y sentido.
• Comparar las velocidades medias obtenidas, así
  como los respectivos intervalos de tiempo.

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Velocidad instantánea
y
(x6 , y6)
Dr 1?6
(x0 , y0)
trayectoria
r 6
r 1
x

• velocidad media entre t 0 y t6
• v6 v6 (1 / t6 - t 0) D r1?6
• misma dirección que
• D r1?6

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Velocidad instantánea

• Para abreviar, se sigue repitiendo el mismo
  procedimiento una infinidad de veces, de tal
  manera que las parejas de puntos (x0 ,y0) y (x ,
  y ) estén tan cerca uno del otro que
  prácticamente estaremos trabajando con la sección
  recta de una curva.
• En dichos puntos, los vectores velocidades medias
  variarán muy poco en magnitud, dirección y en
  sentido, siendo el intervalo de tiempo tan
  pequeño como nosotros queramos (próximo a cero).
• Cuando ocurre esto, la dirección del vector
  velocidad media es tangente a la trayectoria y el
  intervalo de tiempo se dice que tiende a cero
  (pero sin hacerse cero) y prácticamente estamos
  trabajando alrededor del instante de tiempo t 0
  por lo que la velocidad media recibe el nombre de
  velocidad instantánea.
• Veámoslo en una última gráfica

23
Velocidad instantánea
y
Prolongación de D r
trayectoria
Tangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0
Dr
(x0 , y0)
(x , y)
r
r 0
x

• Velocidad instantánea
• El significado de la derivada es la tangente a la
  curva en un punto y consecuentemente en un
  instante de tiempo.

24
Velocidad instantánea

• Con dicho concepto, podemos conocer la dirección
  y el sentido del vector velocidad en cualquier
  instante de tiempo, lo único que tenemos que
  hacer es trazar la tangente a un punto sobre la
  trayectoria de la partícula. Con esto, la
  velocidad instantánea siempre será tangente a la
  trayectoria.
• Veámoslo gráficamente utilizando la misma gráfica
  con la que desarrollamos el concepto de velocidad
  instantánea y supondremos que la rapidez con la
  que se mueve la partícula es constante (la flecha
  que representa a la velocidad instantánea tendrá
  siempre la misma longitud).

25
Velocidad instantánea
y
v4
v5
v6
v3
trayectoria
v7
Vectores
v8
v2
v1 ? v2 ? v3 ? v4 ? v5 ? v6 ? v7
v1
v1 v8
Magnitudes
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
x
26
Aceleración media

• En la gráfica anterior, el vector velocidad
  cambia de dirección (aunque su magnitud sea la
  misma). Como los vectores no son iguales implica
  que existe un cambio en el vector velocidad.
• Dicho cambio viene dado por
• Dv vf vi
• que viene siendo un nuevo vector que surge de la
  diferencia de dos vectores. Como se vio
  anteriormente, también se puede expresar como
• Dv vf ( vi)
• es decir, como la suma del vector velocidad
  final mas el negativo del vector velocidad
  inicial.
• Veámoslo gráficamente

27
Aceleración media
y
v5
v4
Dv56
-v3
-v4
v6
v3
-v2
-v1
-v5
-v7
Dv78
v7
v2
Dv12
-v6
v8
v1
D v v f ( v i )
x
28
Aceleración media

• Todos los cambios de velocidad son diferentes.
• Cada cambio del vector velocidad tiene su propia
• Magnitud,
• Dirección y
• Sentido.
• Por tal motivo nos preguntamos
• Que tan rápido está cambiando de velocidad el
  cuerpo?
• Una forma de calcular dichos cambios son por
  medio del cociente
• D v / D t ( v f v i ) / ( t f t i )
• que recibe el nombre de aceleración media.
• Aceleración media a D v / D t
• Cuyas unidades son m / s2

29
Aceleración instantánea

• Para calcular la aceleración instantánea, se
  recurre al mismo procedimiento que se siguió para
  calcular la velocidad instantánea.
• Aceleración instantánea a
• Existen dos casos especiales cuando la
  aceleración media es igual a la aceleración
  instantánea, es decir, el vector aceleración
  tiene la misma magnitud, unidad, dirección y
  sentido.
• Tales casos son
• Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y
• Movimiento circular uniforme.

30
Movimiento de Proyectiles

• El movimiento de proyectiles o tiro parabólico se
  refiere a aquellos cuerpos que al ser lanzados
  cerca de la superficie terrestre describen una
  trayectoria parabólica bajo las siguientes
  condiciones
• Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no
  presente resistencia al objeto lanzado, ya que
  con resistencia del aire la trayectoria tomaría
  otras formas.

31
Movimiento de Proyectiles

• Que el lanzamiento no sea muy elevado, de tal
  manera que la aceleración pueda considerarse
  constante. En estos casos, la aceleración es la
  aceleración de la gravedad, y g varía con la
  altura.

• Que el lanzamiento no sea de muy largo alcance,
  de tal manera que la superficie de la tierra
  pueda considerarse plana. Por ejemplo, en
  lanzamientos transcontinentales la trayectoria
  toma formas de elipses.

32
Movimiento de Proyectiles

• Con las anteriores restricciones tenemos los
  siguientes ejemplos (entre otros muchos) de
  cuerpos que describen una trayectoria parabólica
• Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.
• Una pelota que rueda sobre una superficie
  horizontal alta y que cae al suelo.
• La bala de un cañón al ser disparada con un
  ángulo de elevación.
• El primer ejemplo es de los considerados casos
  generales ya que la pelota es golpeada desde una
  cierta altura, saliendo con un ángulo de
  elevación diferente de cero y cae en tierra.
• El segundo ejemplo es un caso particular que es
  conocido como tiro horizontal, donde el objeto
  sale con un ángulo de cero grados con respecto a
  la horizontal.
• El tercer ejemplo también es considerado un caso
  especial (Blancos y Alcances) y es cuando un
  objeto sale de un nivel ( por ej. suelo) y llega
  a ese mismo nivel (suelo).

33
Movimiento de Proyectiles

• Para entrar en materia, diremos que el movimiento
  de proyectiles o tiro parabólico es un movimiento
  resultante o compuesto de dos movimientos
• Uno horizontal y uniforme
• y el otro
• Vertical y uniformemente acelerado,
• ambos movimientos son a ángulos rectos y su
  combinación produce el movimiento resultante.
• Los movimientos que se dan a ángulos rectos son
  independientes entre sí.
• La presencia de uno (el horizontal) no influye o
  altera al otro (al vertical) y viceversa, el
  vertical no influye o altera al horizontal.
• Para demostrar lo anterior, realicemos el
  siguiente experimento

34
Movimiento de Proyectiles

• Se lanza una pelota con una velocidad inicial
  sobre una mesa alta y sin rozamiento (no hay
  resistencia al objeto lanzado), si consideramos
  que dicha mesa es infinitamente larga, entonces
  la pelota se movería en movimiento rectilíneo
  uniforme, es decir, siempre tendrá la misma
  velocidad recorriendo distancias iguales en
  iguales intervalos sucesivos de tiempo. Lo
  anterior se ilustra en la siguiente figura

D
D
D
t
D
t
D
t
t
t
D
D
D
D
D
x
x
x
x
x
Movimiento horizontal si la mesa es infinita y
no presenta resistencia al objeto lanzado, éste
se seguirá moviendo con la misma velocidad
inicial con la que fue lanzado. La velocidad en
el eje x será siempre la misma v0x vx
constante. El cuerpo recorre distancias iguales
en iguales intervalos de tiempo. Ver Simulación
35
Movimiento de Proyectiles

• Como complemento al experimento, ahora dejemos
  caer la pelota desde el borde de la mesa y
  analicemos el movimiento. Dicho movimiento será
  de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias
  cada vez mayores para los mismos intervalos de
  tiempo, es decir la magnitud de la velocidad cada
  vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente
  figura

Movimiento vertical es uniformemente acelerado.
En los mismos intervalos de tiempo, el cuerpo
recorre cada vez mayor distancia, es decir, la
magnitud de su velocidad vertical vy se va
incrementando. Se considera que cuando va en el
aire, no hay oposición al objeto que se deja caer
(caída libre, sin resistencia de ninguna índole)
Ver simulación
36
Movimiento de Proyectiles

• Ahora combinemos ambos movimientos, pero en el
  caso del movimiento horizontal, ya no
  consideraremos una mesa infinita sino que ésta es
  corta, alta y sin fricción. En todo caso, como no
  hay resistencia al objeto lanzado
  horizontalmente, éste tenderá a continuar
  moviéndose de la misma forma en el eje x, es
  decir uniformemente.
• Adicionalmente, recordemos que las velocidades
  son vectores que se pueden sumar para obtener la
  resultante.
• La combinación de ambos movimientos se ilustra
  en la siguiente figura

37
Movimiento de Proyectiles

D
D
D
D
D
t
t
t
t
t
D
D
D
D
D
x
x
x
x
x
Ver simulación
38
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles

• Antes de ver las ecuaciones de movimiento,
  debemos recordar lo relativo a la descomposición
  de vectores en sus componentes rectangulares

V0
v0y V0sen ?0
?0
v0x V0cos ?0
Para las ecuaciones, recordemos que los
movimientos son independientes, teniendo en
consecuencia uno horizontal y uniforme y otro
vertical y uniformemente acelerado, siendo las
mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos
movimientos, con la salvedad de que trabajamos en
un plano por lo que se agrega a las velocidades
el subíndice x o y dependiendo si la velocidad es
horizontal o vertical respectivamente.
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Ecuaciones de movimiento de Proyectiles

• MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)
• x x0 v0x t
• v0x vx constante
• MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)
• y y0 v0y t - ½ g t2
• y y0 ½ ( vy v0y ) t
• vy v0y g t
• vy2 - v0y2 2 g ( y y0 )
• MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE
• y y0 x tan ?0 g x 2 / ( v0 cos ?0 ) 2
• Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo
  de la primera ecuación de mov. horizontal,
  sustituyéndolo en la primera del mov. vertical y
  realizando operaciones algebraicas.

40
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• Tiro Horizontal
• Este caso se da cuando se dispara un objeto
  horizontalmente desde una cierta altura. Debido a
  esto
• El ángulo inicial de salida es de cero grados.
• ?0 0
• La magnitud del Vector velocidad inicial es igual
  a la componente horizontal de la velocidad
  inicial y como el movimiento horizontal es
  uniforme, también es igual a la velocidad
  horizontal en cualquier instante de tiempo.
• V0 V0 v0x vx
• La componente del Vector velocidad inicial en el
  eje vertical es cero.
• v0y 0

41
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• Ecuaciones para Tiro Horizontal
• Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de
  movimiento generales se reducen a
• x v0 t
• y - ½ g t2
• y ½ ( vy ) t
• vy g t
• vy2 2 g y
• El tiempo que tarda en caer el cuerpo se
  encuentra despejando el tiempo de la segunda
  ecuación
• t (- 2y / g)½ donde y lt 0

V0 v0x v0y 0
x
y lt 0
y -
42
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• BLANCOS Y ALCANCES
• Este caso se refiere exclusivamente cuando el
  proyectil sale disparado con un ángulo de
  inclinación desde un nivel y llega nuevamente a
  ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y
  llega a tierra).
• Debido a lo anterior, tenemos que
• v0x V0cos ?0
• v0y V0sen ?0
• y y0 0
• Los aspectos principales a considerar son
• Tiempo total de vuelo.
• Alcance horizontal máximo que alcanza el
  proyectil.
• Altura máxima que alcanza el proyectil en su
  recorrido.

vx v0x vy 0
ymax
V0
?0
Xmax R
43
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• BLANCOS Y ALCANCES
• TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T )
• Se encuentra a partir de la condición y y0 0
  y de la primera ecuación general para el
  movimiento vertical
• y y0 v0y t - ½ g t2
• 0 0 v0y t - ½ g t2
• Despejando el tiempo
• t 2 v0y / g
• O bien
• t T (2 V0sen ?0 ) / g

44
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• BLANCOS Y ALCANCES
• ALCANCE HORIZONTAL ( x xmax. R )
• Se obtiene considerando que la máxima distancia
  horizontal recorrida se da cuando t es el tiempo
  total.
• Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de
  movimiento horizontal con x0 0
• x v0x tT
• x v0x (2 v0y / g)
• Sustituyendo las componentes rectangulares de la
  velocidad inicial
• x V0 cos ?0 (2 v0 sen ?0 / g)
• x V02 (2cos ?0 sen ?0 ) / g
• Usando la identidad trigonométrica
• 2 cos ?0 sen ?0 sen 2 ?0
• Se tiene que el alcance máximo viene dado por
• x (V02 sen 2 ?0 ) / g

45
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• BLANCOS Y ALCANCES
• ALTURA MÁXIMA ( y ymax. )
• Se obtiene considerando que la componente
  vertical de la velocidad es cero.
• vy 0
• Es decir en el punto donde se alcanza la altura
  máxima
• La componente de la velocidad en el eje vertical
  se hace cero, ya que en caso contrario el cuerpo
  todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente
  hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor
  hasta hacerse nula.
• La componente horizontal es la que hace que el
  cuerpo avance y como es uniforme, en dicho punto
  es tangente a la parábola.
• Sustituyendo la condición anterior en la
  ecuación
• vy2 - v0y2 2 g ( y y0 )
• v0y2 2 g ( ymax )
• ymax v0y2 / 2 g
• ymax (v0 sen ?0)2 / 2 g

46
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• BLANCOS Y ALCANCES
• Analizando las expresiones de blancos y alcances,
  observamos que todas ellas dependen de
• La velocidad inicial V0
• El ángulo de disparo ?0
• El valor de la gravedad g
• En el caso del tiempo total, si mantenemos
  constante a la velocidad inicial V0 y variamos
  el ángulo de disparo ?0 tendremos que para mayor
  ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto
  en caer.
• Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma
  velocidad pero a mayor ángulo, mayor altura
  alcanzará.
• Lo anterior se puede observar en la siguiente
  ilustración

47
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles
y
tgt tgt t
t
q gt q gt q




t
misma
V
0

q
t

q
q

x
48
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• En el caso del alcance horizontal, de la misma
  figura anterior, se puede observar que hay un
  ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo
  es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir
  de la expresión
• x (V02 sen 2 ?0 ) / g
• y puesto que V0 y g son constantes, entonces el
  alcance depende de ?0 , además considerando que
  en blancos y alcances, el ángulo varía de
• 00 lt ? lt 900
• la función seno tiene el siguiente
  comportamiento
• 0 sen ?0 1
• siendo su máximo valor la unidad.
  Consecuentemente de la expresión para el alcance
  máximo tenemos que

49
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• sen 2 ?0 1
• resolviendo para el ángulo
• 2 ?0 sen-1 ( 1 )
• ?0 ½ sen-1 ( 1 )
• ?0 ½ (900 )
• ?0 450
• Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente
  ilustración

50
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• sen 2 ?0 1
• resolviendo para el ángulo
• 2 ?0 sen-1 ( 1 )
• ?0 ½ sen-1 ( 1 )
• ?0 ½ (900 )
• ?0 450
• Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente
  ilustración

51
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles
A partir de los 450
450 400 850 subo 400 450 - 400 50 bajo
400 450 200 650 subo 200 450 - 200 250
bajo 200
mismo alcance
y
mismo alcance
850
450
250
650
50
x
Misma V0
52
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles

• NOTA.- No debe de olvidarse que las ecuaciones
  encontradas para tiro horizontal y blancos y
  alcances, son exclusivamente para casos
  especiales, no se pueden aplicar indistintamente
  a cualquier problema, en todo caso, al resolver
  un problema se deben de aplicar las ecuaciones
  generales de tiro parabólico ya que las de casos
  especiales se dedujeron de ellas al considerar
  ciertas condiciones iniciales y finales como son
• v0y 0 para tiro horizontal
• y y0 0 para alcance máximo
• vy 0 para altura máxima.

53
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles