O Efeito Casimir e a Constante Cosmol

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O Efeito Casimir e a Constante Cosmológica

• Rafael Bán Jacobsen
• Horacio Dottori (orientador)
• IF - UFRGS

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Método Seicho No Ie de Apresentação
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Equações de Friedmann (1922)
As Equações de Friedmann são um conjunto de
equações em cosmologia física que governam a
expansão métrica do espaço em modelos homogêneos
e isotrópicos do Universo dentro do contexto da
Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas
por Alexander Friedman em 1922 a partir das
equações de campo de Einstein.

• Bases da Cosmologia
• Crença na RG
• Homogeneidade cósmica
• Isotropia cósmica
• Universalidade das leis físicas

Alexander Friedmann (1888-1925)
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Equações de Friedmann (1922)

• G é a constante gravitacional
• c é a velocidade da luz
• a é o fator de escala do Universo (hoje, a 1,
  por definição)
• K é a curvatura gaussiana
• ? (densidade de matéria e radiação total) e p
  (pressão) são funções de a
• O parâmetro de Hubble, H, é a velocidade de
  expansão do universo
• ? é a constante cosmológica
• Com condições de contorno apropriadas, podemos
  resolver essas 2 equações (mais a EoS p p(?))
  para obtermos ?(t), p(t) e a(t) modelo
  cosmológico!

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Equações de Friedmann (1922)
Relações importantes

• Parâmetro de densidade
• Parâmetro cosmológico
• Parâmetro de curvatura

As proporções dessas 3 quantidades definem
diferentes modelos cosmológicos
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Equações de Friedmann (1922)
Utilizando o fato de que ?e/c², a primeira das
equações de Friedmann pode ser escrita como
Ainda, se definirmos
a equação fica escrita na forma
Onde etotal é a densidade de energia total do
universo, incluindo matéria, radiação, constante
cosmológica...
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Equações de Friedmann (1922)
Resultado importante densidade crítica ec É a
densidade total de matéria e energia (de todos os
tipos possíveis) que é necessária para que o
nosso universo seja exatamente plano (curvatura
nula). Se a sua densidade for um pouco maior, o
universo será fechado (curvatura positiva). Se a
sua densidade for um pouco menor, o universo será
aberto (curvatura negativa).
Para
(parâmetro de Hubble atualmente medido)
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A Constante Cosmológica ? (1917)
As equações de Friedmann, sem o termo de ?,
descrevem um universo preenchido por matéria
não-relativística e alguma radiação. Tal universo
não pode ser estático e deve colapsar
gravitacionalmente.
GRAVIDADE ATRAÇÃO FATAL!
Foi exatamente para impedir esse colapso e
forçar um universo estático que Einstein
introduziu ? nas equações. Vejamos como a
constante cosmológica opera...
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(No Transcript)
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A Constante Cosmológica ? (1917)
Para um universo de densidade ?, o potencial
gravitacional é dado pela equação de Poisson
A aceleração a em um ponto qualquer do espaço
pode ser encontrada tomando o gradiente desse
potencial
Em um universo estático, a deve ser nulo em todos
os pontos do espaço. Logo, o potencial f deve ser
constante no espaço. Porém, se f é constante,
então
Ou seja o único universo estático possível é
aquele sem matéria alguma!
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A Constante Cosmológica ? (1917)
Como Einstein resolveu o problema? Em termos
newtonianos, o que ele fez foi equivalente a
reescrever a equação de Poisson na forma
Com a introdução de ? nas equações, podemos ter
um universo estático se
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(No Transcript)
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Origem Física de ??
Como ? deve existir mesmo em um espaço livre de
matéria e radiação, uma candidata natural para
explicar a origem física de ? é a energia do
vácuo quântico.
Ponto de vista clássico Nothing can come
from nothing. (Rei Lear, Ato I, Cena I)
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Origem Física de ??
Ponto de vista quântico Princípio da incerteza
de Heisenberg permite que pares
partícula-antipartícula apareçam espontaneamnete
e se aniquilem em um vácuo outrossim vazio. A
energia total e o tempo de vida dessas partículas
devem satisfazer a relação ?E ?t h
Assim como existe uma densidade de energia ?c2
associada às partículas reais, existe uma
densidade de energia do vácuo evac associada com
os pares virtuais partícula-antipartícula.
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Origem Física de ??
Estimando a evac
Comprimento de Planck
Massa de Planck
Energia de Planck
Tomando como valor natural para a densidade de
energia do vácuo o valor da densidade de energia
de Planck, temos
Esse é um valor 124 ordens de grandeza maior do
que a densidade crítica do universo!
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(No Transcript)
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O Universo em Expansão (1929)
Em 1929, analisando a luz de galáxias distantes e
verificando que esta sofria um deslocamento para
o vermelho, Edwin Hubble demonstrou que as
galáxias se afastam em grande velocidade e que
essa velocidade aumenta com a distância. A
relação entre a velocidade e a distância da Terra
é conhecida como a Lei de Hubble. A razão entre
os dois valores é conhecida como Constante de
Hubble (H 70 km/s/Mpc).
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? O maior erro de Einstein?
Com a descoberta de Hubble, Einstein abandonou a
constante cosmológica, mais tarde referindo-se a
ela como o seu maior erro (na verdade, foi
Gamow quem disse que Einstein disse...).
O Memorial Albert Einstein, na National Academy
of Sciences (Washington) cadê o ??
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? O maior erro de Einstein?
Mas parece que nem o próprio Einstein estava tão
certo de seu erro. Em 1932, ele escreveu a
respeito da constante cosmológica Increase in
precision data will enable us in the future to
fix its sign and determine its value.
As palavras de Einstein foram um brilhante
vaticínio...
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Expansão Acelerada (1998)

• Em 1998, foi construído o primeiro diagrama de
  Hubble utilizando-se supernovas do tipo Ia, cuja
  magnitude (brilho intrínseco) é bem conhecida.
• Como são muito brilhantes, podem ser observadas
  a distâncias cosmológicas.
• O diagrama mostrou que a expansão do universo
  está se acelerando.
• Resultado encontrado por Perlmutter et al. e
  rapidamente confirmado por Riess et al.

Eixo horizontal desvio para o vermelho (z) Eixo
vertical diferença entre magnitudes aparente (m)
absoluta (M), que se relaciona com a distância
por
As linhas mostram as predições para modelos
cosmológicos com diferentes valores dos
parâmetros de densidade ?m e ??. Os pontos
correspondentes aos dados observacionais estão
dominantemente acima da linha para um universo
com ?0. No painel inferior, tendo-se suprimido o
efeito da lei do inverso do quadrado, é mostrada
mais claramente a diferença entre os modelos,
evidenciando por que um modelo com ?gt0 é
favorecido.
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Modelo Cosmológico Padrão

• Observações mostram que a densidade do nosso
  universo está hoje muito próxima da densidade
  crítica (OK - 0.014 - 0.017)
• Resultados das SN Ia apontam para um universo
  dominado por uma constante cosmológica (Om 0.3
  e O? 0.7)

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Modelo Cosmológico Padrão
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Energia Escura

• Nosso universo é composto 70 de algo que não
  sabemos o que é.
• Esse algo deve existir mesmo na ausência de
  matéria e radiação e se comporta como uma força
  anti-gravitacional, acelerando a expansão do
  cosmos (o lado negro da força!).
• Esse algo pode ser descrito em termos de uma
  constante cosmológica, cujo valor, porém, é
  muitíssimo menor do que a abundante energia do
  vácuo quântico.

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Dificuldades do Modelo Padrão

• Problema do horizonte universo parece o mesmo
  em lados opostos do céu (horizontes opostos)
  embora não tenha havido tempo, desde o Big Bang,
  para a luz (ou qualquer outra coisa) viajar
  através do universo e voltar. Sendo assim como os
  horizontes opostos sabem como manter-se
  simetricamente um em cada lado?
• Problema da planicidade as equações de
  Friedmann mostram que
• Om,? - 1 K/(a² H²). Durante a maior parte de
  vida do nosso universo, o termo a² H² diminui,
  o que implicaria um valor maior do que 1 para
  Om,? , mas as observações, como vimos, sugerem
  Om,? 1 (ou muito perto disso). Como explicar a
  contradição?
• Problema da abundância dos monopolos magnéticos
  Os monopolos magnético são previstos pelos
  modelos de unificação das forças fundamentais
  forte, fraca e eletromagnética (GUTS). Esses
  modelos prevêem a existência de uma quantidade
  abundante dessas partículas, que seriam
  produzidas nos primeiros estágios do universo
  primitivo. Como essas partículas não são
  observadas, deve-se incorporar um mecanismo que
  elimine sua disseminação no universo.

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Inflação (1981)
A teoria inflacionária propõe uma solução para
esses problemas!
Os problemas da cosmologia do Big Bang consistem
no fato de que o Universo sempre exibiu uma
expansão desacelerada. Se assumirmos a
existência de um estágio no Universo primitivo
com uma expansão acelerada, então da/dt ( aH)
aumenta durante a inflação. Então o raio comóvel
de Hubble, (aH)-1, diminui na fase inflacionária.
Essa propriedade é o ponto chave para
resolvermos os quebra-cabeças cosmológicos do
modelo cosmológico padrão do Big Bang.
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Inflação (1981)
Solução do problema da planicidade como o termo
a²H² na equação Om,? - 1 K/(a² H²) aumenta
durante a inflação, Om,? se aproxima rapidamente
de um. Após o fim do período inflacionário, a
evolução do universo é seguida pela fase de Big
Bang convencional e Om,? 1 começa a aumentar.
A despeito disso, contanto que a expansão
inflacionária ocorra suficientemente e torne Om,?
muito próximo de um, Om,? permanece da ordem de
um mesmo na época presente.
A época da inflação "esticou" o Universo tão
violentamente que o Universo é na verdade plano
(ou, na pior das hipóteses, muito perto disso).
Qualquer curvatura que o Universo pode ter tido
antes da inflação foi destruída pela enorme
expansão, fazendo com que o Universo ficasse
plano.
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Inflação (1981)
Solução do problema do horizonte o problema de
horizonte é resolvido porque a inflação trouxe
regiões que já tinham tido tempo de se comunicar
para posições bem distantes umas das outras, fora
de comunicação. O Universo durante a época da
inflação expandiu muito mais rapidamente do que a
velocidade da luz. Logo, regiões que antes da
inflação poderiam ter estado muito próximas,
foram levadas para pontos afastados (a
relatividade restringe a velocidade da matéria e
energia como sendo sempre menor que a da luz, mas
não restringe a velocidade do Universo como um
todo). As propriedades de duas regiões opostas no
Universo atual podem então ser as mesmas porque
estas regiões estavam em contato antes da
inflação.
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Inflação (1981)
Solução do problema dos monopolos magnéticos se
monopolos magnéticos foram criados antes ou
durante a inflação, ao final do processo de
crescimento exponencial eles devem ter sido
diluídos a um nível indetectável. Densidade
de monopolos no início da inflação 1082
m-3 Densidade de monopolos no fim da inflação 5
x 10-49 m-3 15 pc-3 Densidade de monopolos
hoje (após expansão adicional) 1 x 10-61 Mpc-3
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Inflação (1981)
Como a inflação funciona? A energia que promove
a rápida expansão inflacionária vemd e um campo
escalar que deve surgir como parte de uma quebra
espontânea de simetria na dinâmica de uma
possível teoria unificada das interações. Esse
campo é chamado de inflaton. Em uma métrica
associada ao crescimento exponencial, dada
por sua equação de movimento é e a equação de
Einstein com o campo escalar fica
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Inflação (1981)
O potencial do inflaton
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Mudando de assunto...
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Efeito Casimir (1948)
Tirando fatias da abundante energia do vácuo
quântico!
O Efeito Casimir, em sua forma mais simples,
aparece na interação de um par de placas planas e
condutoras, eletricamente neutras, devido a
perturbações no vácuo do campo eletromagnético. É
um efeito puramente quântico (não há força entre
as placas de acordo com a eletrodinâmica
clássica). Portanto, é apenas o vácuo, isto é, o
estado fundamental da eletrodinâmica quântica que
faz com que as placas se atraiam mutuamente.
d 1 µm
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Efeito Casimir (1948)
Característica única da força de Casimir é sua
forte dependência na forma do sistema físico
considerado, variando de atrativa a repulsiva,
dependendo, basicamente, da forma dos campos e
das condições de contorno (geometria, topologia e
dimensionalidade). Exemplos
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Efeito Casimir Campo Espinorial em Sacola
Energia de ponto zero para um campo espinorial
(spin ½) massivo, confinado em uma região
tridimensional esférica de raio R, e portanto
limitada por uma superfície casca esférica
(bidimensaional). Esta é a chamada
sacola. Condição de contorno o campo se anula
exatamente na sacola. Método utilizar
coordenadas esféricas usuais (r,?,f) para
resolver a equação
com o hamiltoniano
e a condição de contorno
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Efeito Casimir Campo Espinorial em Sacola
A energia do sistema consiste de 2 partes 1)
Sistema clássico consistindo de uma superfície
esférica (sacola) com raio R, com energia
Onde V 4/3 p R3 é o volume do espaço contido e
subjacente à sacola S 4pR2 é a superfície da
sacola p é a pressão s é a tensão superficial F,
k e h não possuem nomes especiais
Parâmetros que determinam a energia. Parâmetros
livres k e s
2) Campo espinorial f que obedece à equação de
Dirac e as condições de sacola na superfície. O
campo quântico tem energia de ponto zero dada
por
com s0.
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Efeito Casimir Campo Espinorial em Sacola
Energia do sistema para uma escolha específica de
renormalização

• Propriedades
• Energia alta (positiva) para raio pequeno
• Energia negativa para raios intermediários
• Energia positiva novamente (mas bastante menor)
  para raios grandes
• Energia tende a zero no limite R ?8

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Energia do Vácuo x ?
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Motivação
A energia do vácuo é um fenômeno quântico que
não se importa nem um pouco com a expansão do
universo e permanece independente do tempo à
medida que o universo se expande ou
contrai. (Barbara Ryden, Introduction to
Cosmology)
Será mesmo?
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Motivação
Uma diferença é fundamental entre a inflação e a
atual expansão acelerada a escala de energia
envolvida nos dois processos. Todavia, parece
haver uma conexão conceitual entre as duas
coisas. A inflação foi um mecanismo que
homogeneizou e planificou e limpou o cenário no
universo no início dos tempos. Se nada diferente
ocorresse após o fim do processo inflacionário,
essa faxina teria um tempo de duração limitado.
A energia escura parece estar desempenhando esse
mesmo papel agora, mantendo a homogeneidade, a
planicidade e a isotropia que, possivelmente, não
se manteriam indefinidamente após o final do
período inflacionário. Assim, as duas coisas
parecem estar conceitualmente relacionadas. (Paul
Steinhardt)
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Motivação
O dinamismo é a característica que os cosmólogos
consideram atraente na quintessência. O maior
desafio para qualquer teoria da energia escura é
explicar a densidade inferida do universo (...).
Para explicar a quantidade de energia escura
atual, o valor da constante cosmológica
precisaria ter sido perfeitamente ajustado no
momento da criação do universo para que tivesse
assim o valor apropriado algo que faz a
constante cosmológica parecer um fator
arbitrário. Em contraste, a quintessência
interage com a matéria e evolui com o tempo, de
modo que pode ajustar-se naturalmente para
alcançar o valor observado hoje. (Paul
Steinhardt)
E que tal se a quintessência interagir com a
geometria?
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Um Modelo Dinâmico para ?
? dependente de a (fator de escala) de acordo com
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Um Modelo Dinâmico para ?

• Neste modelo (um toy model), o nosso universo
  é representado pela sacola em si (um objeto de 2
  dimensões).
• Assim, nosso universo se comporta como uma bolha
  em expansão em um background com uma dimensão
  espacial a mais.
• No caso de um universo tridimensional, o
  background teria 4 dimensões espaciais.
• Esse background é habitado por um campo
  espinorial massivo que se anula perfeitamente no
  nosso universo.

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Vantagens do Modelo

• Explicar a inflação primordial do universo e a
  atual expansão acelerada através de um mesmo
  mecanismo.
• Tal mecanismo é algo bastante palpável (Efeito
  Casimir) pode ser (e já foi!) medido em
  laboratório.
• Apresenta uma previsão testável a atual
  expansão acelerada é um fenômeno transiente.
• O campo responsável pela energia é identicamente
  nulo em todo o nosso universo.
• A constante cosmológica não é constante, mas sim
  uma quantidade dinâmica, o que pode soar menos
  artificial (ou antrópico) é um modelo
  quintessencial.

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Críticas ao Modelo
1) O universo apresentado no modelo tem apenas 2
dimensões! Resposta Temos que começar em algum
ponto! Introduzir uma terceira dimensão não é tão
complicado assim e tampouco deve comprometer as
propriedades gerais apresentadas.
2) O modelo apela para uma dimensão
extra! Resposta É verdade, mas, mesmo assim,
nem tem tantas dimensões ocultas quanto outras
teorias disponíveis no mercado...
3) O campo responsável pela energia é
identicamente nulo em todo o nosso universo.
Sendo assim, não há como medi-lo
diretamente! Resposta Correto. Porém, as
implicações da existência de tal campo devem ser
suficientes para nos convencer de sua
plausibilidade tanto quanto as implicações do
modelo inflacionário são capazes de nos convencer
da plausibilidade do inflaton.
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Críticas ao Modelo
4) Mas por que o nosso universo deveria ser o
único nesse background com uma dimensão
extra? Resposta Não deveria! A palavra
universo foi originalmente concebida para
englobar tudo que existe. Porém, novos modelos
físicos apontam para a possibilidade de
universos bolha, sendo o nosso apenas um entre
muitos (ou até infinitos). São as chamadas
teorias de multiverso. Outros universos podem ter
condições físicas muito diferentes das nossas, e
é provável que nunca nosso universo tenha contato
com os outros. Um pensamento para exercitar a
humildade Nós não apenas ocupamos uma posição
desprivilegiada em nosso universo como podemos
também estar em um universo desprivilegiado no
multiverso!
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O conceito de Multiverso tem suas raízes na
moderna Cosmologia e na Teoria Quântica e engloba
várias idéias da Teoria da Relatividade de modo
que pode ser possível a existência de inúmeros
Universos onde todas as probabilidades quânticas
de eventos ocorrem. Simplesmente há espaço
suficiente para acoplar outros Universos numa
estrutura dimensional maior o chamado Multiverso.
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(No Transcript)
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There are more things in Heaven and Earth,
Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Hamlet, Ato I, Cena
V
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Bibliografia Básica

• Cosmologia básica
• Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, Addison
  Wesley (2003)

2) Quase tudo sobre a constante
cosmológica Carroll Press Annu. Ver. Astron.
Astrophys. 1992. 30 499-542 http//nedwww.ipac.ca
ltech.edu/level5/Carroll/frames.html

• 3) Quase tudo sobre Efeito Casimir
• K. Milton. The Casimir Effect Physical
  Manifestations of Zero Point Energy.
  arXivhep-th/9901011v1
• Bordag, Mohideen, Mostepanenko. New Developments
  in the Casimir Effect.
• arXivquant-ph/0106045v1

• 4) Efeito Casimir em geometrias esféricas
• Cognola, Elizalde, Kirsten. Casimir Energies for
  Spherically Symmetric Cavities.
• arXivhep-th/9906228v2
• Elizalde, Bordag, Kirsten. Casimir energy in the
  MIT bag model.
• arXivhep-th/9707083v1