Groupe identification 26 Septembre 2002

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Groupe identification 26 Septembre 2002
T. RAISSI, N. RAMDANI et Y.CANDAU Centre
dEtude et de Recherche en Thermique, Energétique
et Systèmes Université Paris XII-Val de Marne,
Créteil.
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Plan

• - Introduction
• Rappel sur le développement de Taylor
• (pour les intervalles)
• Application à lestimation détat pour les
• systèmes continus
• Estimation de paramètres
• Conclusions et perspectives

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Estimation détat cas discret
x ?IRn vecteur détat à estimer
y ? IRm vecteur des mesures (sortie)
Deux types destimateur
Estimateur causal (on na que les mesures des
instants précédents)
Estimateur non causal ( on a toutes les mesures)
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Estimateur causal (Jaulin et al. 2001)
On attribue un domaine a priori pour létat à
chaque instant, puis on fait une propagation dans
le sens direct on trouve lensemble des
valeurs de létat qui sont cohérentes avec les
mesures
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Algorithme State_estimation(Jaulin et al., 2001)
Entrée x(0) Pour k 1 à N, la mesure
y(k) est disponible x(k) f(x(k-1)) ?
g-1(y(k)) Sortie x(1), x(2) x(N)
Cest un estimateur à deux étapes prédiction et
correction
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Systèmes continus
Calcul Symbolique
Solution explicite
Inversion ensembliste (SIVIA, CSP,)
Généralement, PAS de solution EXPLICITE pour les
systèmes non-linéaires
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Systèmes continus suite

Pour estimer létat à des instants définis, il
faut intégrer numériquement léquation détat
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Outils Mathématiques(Développement de Taylor
Rappel)
Si ? IRn IRm ? CK dans un voisinage D
dun vecteur de réels a Alors ? x ? D,
?(x) ?(a) ?(i)(a) rK(x)
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Application à lintégration de léquation détat



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Méthode récursive pour calculer les coefficients
de Taylor



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Développement de Taylor(version Intervalles)



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Intégration des équations détat


?
Calcul dune solution a priori contenant de
manière garantie la solution exacte Théorème du
point fixe lopérateur de Picard Lindelöf
(Nedialkov, 1997)
Tel que xj f(w)0,h ? w
Trouver w
?
Pour faire le développement de Taylor
(intervalle) on remplace chaque occurrence de x
par un intervalle x
?
-
1
k

0
i
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Valeur Moyenne


? IRn IR, une fonction dérivable
dans un domaine a
? x, y ? a, ? (y) ? ? (x) ?(a)(a x)
forme moyenne
i-ème coefficient de Taylor avec la forme
moyenne
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Taylor forme moyenne(Nedialkov et Al. 1997)
Développement de Taylor pour létat x avec la
forme moyenne pour les coefficients de Taylor

Cest une méthode directe pour intégrer une
équation différentielle
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Algorithme de la méthode directe


Entrées x0, h pour j 1 à N, calculer
Sorties x1, x2,, xN
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Inconvénient surestimation


Vj1 Sj(Vj - )
Sj(Sj-1(Vj-1 - )
xj1


Une grande surestimation introduite à chaque pas
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Méthode de la valeur moyenne étendue(Rihm, 1994)


Initialisation x0, p0, A0 I
Pour j 1 à N, calculer

• Un encadrement à priori pour la solution
• 2)

Sorties x1, x2, , xN
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Application à lestimation détat


Deux étapes à chaque pas Prédiction et
Correction

• Algorithme
• Entrées x0 , p0, A I
• Pour j 1 à N
• Etape de prédiction calculer xj1 par
  Intégration de f avec la Méthode de la valeur
  moyenne étendue
• Etape de correction
• xj1 xj1 ? g-1(yj1)
• Sorties x1, x2, , xN

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Exemple (Lotka-Volterra)


x(t0) 49, 51?49, 51 h 0.005
Bruit numérique de 5 de la mesure
Modèle de Taylor dordre 4 Nombre de pas N 1400
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Résultats


Prédiction assez bonne
Les mesures permettent de réduire le phénomène
denveloppement
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Estimation de paramètres



y g(x(t), p) x(t0) x0
Estimation des paramètres p trouver lensemble
des paramètres tel que le système précédent
possède une solution
IP p ? IRnp ? t ? IR, g(x(t,p)) ? y(t)
Trouver lensemble des paramètres qui sont
cohérents avec les mesures et avec létat prédit
Soit param_estimation_test un test qui peut
prendre trois valeurs vrai, faux, indéterminé
Vrai Si g(x,p) ? y
Faux Si g(x,p) ? y ? Indéterminé sinon
param_estimation_test
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Algorithme Parameter estimation( SIVIA, Jaulin
et al. 1993)


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Conclusions

• Résolution des équations différentielles à
  laide du développement
• de Taylor
• Application à lestimation détat dans le cas
  des systèmes continus
• des résultats relativement corrects si on
  fait attention au phénomène
• de surestimation.
• Faisabilité de lestimation de paramètres sans
  discrétisation de
• léquation détat grâce à une intégration
  numérique garantie de
• léquation détat

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Perspectives

• On propose de réaliser un estimateur non causal
  pour réduire leffet
• de surestimation en utilisant des techniques
  de propagation de
• contraintes
• Appliquer ces algorithmes pour lestimation de
  paramètres
• thermiques