UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

• Medición de la desigualdad
• Rafael Salas
• Febrero de 2009

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Referencia básica

• Peter Lambert (2001), The distribution and
  redistribution of Income, 3rd. Edition,
  Manchester University Press.
• Secciones 2.1, 2.2 y 2.3
• Referencias adicionales
• Cowell, F.A. (1995). Measuring Inequality (2nd
  edition). Hemel Hempstead Prentice
  Hall/Harvester Wheatsheaf. Capítulos 1 y 2.
• Jenkins, S. 1988 Calculating income distribution
  indices from micro data. National Tax Journal,
  41, 139-142.
• Kakwani, N.C. 1986 Analysing Redistribution
  Policies A Study Using Australian Data. CUP,
  Capítulo 4.

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Introducción

• Partimos de las f. de densidad f(x)
• Típicamente modaltmedianaltmedia
• Pastel tamañomedia repartodesigualdad

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Introducción

• Partimos de distribuciones tabuladas
• España 2001 panel hogares de la UE
• Rentas menores de 3000 euros 48 hogares (2,10)
  que reciben el 0,4 de la renta total.
• Rentas menores de 6000 euros 497 (24,85) que
  reciben el 10,20 de la renta total
• Con menos de 9000 euros 40,50 hogares con el
  26,18

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Datos USA

• Datos USA
• DeNavas-Walt, C., Proctor, B. D. and Lee,
  C. H. (2005)
• Income, poverty, and health insurance
  coverage in the United States 2004. Current
  Population Reports P60-229, U.S. Census Bureau,
  U.S. Government Printing Office, Washington, DC.

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Datos USA
under 5,000 5,000 -9,999 10,000 -14,999 15,000 -24,999 25,000 -34,999 35,000 -49,999 50,000 -74,999 75,000 -99,999 100,000 and over
1967 5.1 8.5 7.6 14.7 16 21.9 17.3 5.2 3.7
1974 2.7 7.7 7.8 14.4 14.3 19 20.7 7.9 5.5
1984 3 7.2 7.9 14.1 13.5 17 19.4 9.6 8.4
1994 3.1 6.6 7.4 13.8 12.7 15.8 18.2 10.7 11.7
2004 3.5 5.2 6.7 12.9 11.9 14.8 18.3 11 15.7
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Representamos la distribución
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Distribución mundial

• Función densidad relativa Bourguignon y Morrison
  2002

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Cuantiles

• Dibujamos la distribución por cuantiles. Va a
  tener sus ventajas.

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Rentas medias por grupos de población ordenados
1974
1er 20 9,324
2º 20 23,176
3er 20 37,353
4º 20 53,944
5º 20 95,576
Total 43,875
2004
10,264
26,241
44,455
70,085
151,593
60,528
Increm.
10.1
13.2
19.0
29.9
58.6
38.0
Detalle
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Diferencias en el crecimiento
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Introducción

• Dibujamos esta información en la parada o
  desfile de los enanos Pen, J. 1974
• Se trata de la inversa de la Función de
  distribución

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Parada de los enanos
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Introducción

• Dibujamos la curva de Lorenz

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Curva de Lorenz
La curva de Lorenz se define como la relación
entre la proporción acumulada de individuos con
una renta menor o igual que una determinada
cantidad y la proporción acumulada de renta de
éstos individuos
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Curva de Lorenz
Veámoslo con el ejemplo
20
50
20
55
75
55
100
100
100
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Representamos esto...
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En caso de máxima desigualdad...
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Así pues, cualquier distribución de renta cuya
curva de Lorenz esté más cercana a la diagonal ...
Es más igualitaria
Sin embargo tendremos dificultades para comparar
dos distribuciones cuando...
Sus dos curvas de Lorenz se cortan
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C. Lorenz

• Si la curva de Lorenz de una distribución A va
  por encima de la de una distribución B (A?B)
• Para todo conjunto de individuos más pobres p, en
  A reciben más proporción de renta total que en B
  (hay inequívocamente menos desigualdad) y para
  todo conjunto 1-p de individuos más ricos, en A
  reciben menos proporción de renta que en B
  (inequívocamente menos desigualdad).
• Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las
  curvas de Lorenz.

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Medidas de desigualdad

• I. Gini se define como dos veces el área entre la
  curva de Lorenz y la diagonal principal (línea de
  máxima igualdad). Está acotado entre 0 y 1.
  GA/(AB)2A, en el gráfico siguiente
• I. Schulz se define como la máxima distancia
  entre la curva de Lorenz y la línea de máxima
  igualdad (S) en el gráfico.

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Representamos esto...
S
A
B
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C. Lorenz

• Una transferencia progresiva, de un rico a un
  pobre (sin que se produzca reordenación entre
  ambos desplaza la curva de Lorenz hacia arriba.
• Y a revés, si la curva de Lorenz de una
  distribución A va por encima de la de una
  distribución B (A?B)
• Entonces A se puede replicar desde B a partir de
  una secuencia de transferencias progresivas.
  Dasgupta et al. JET (1973), Fields y Frei (1978).

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C. Lorenz

• Partimos de la versión discreta p j/N
• Entonces

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C. Lorenz

• Partimos de la versión contínua p F(y)
• Entonces

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C. Lorenz

• TEOREMA
• Pendiente de la curva de Lorenz L(p)y/?
• DEMOSTRACIÓN
• IMPLICACIONES
• Entonces L(p) es creciente y convexa.
• La pendiente en el percentil de la media es 1.
• El índice de Schulz es

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C. Lorenz

• El índice de Gini es
• o alternativamente
• que coincide con 1-2B2A del gráfico anterior

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Ejercicio

• Dibujar la curva de Lorenz para 2001 de los
  hogares españoles y computar el índice de Gini.

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I. Gini

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I.Gini
Si agrupado x1, k1 veces,., xn, kn veces
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C. Concentración

• Partimos de la versión discreta p j/N
• Entonces ordenamos T por la variable X (renta
  antes de impuestos)
• El porcentaje del impuesto total que paga el j/N
  porcentaje más pobre.

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C. Concentración

• Partimos de la versión contínua p j/N
• Entonces ordenamos T por la variable X (renta
  antes de impuestos)
• El porcentaje del impuesto total que paga el p
  porcentaje más pobre.

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C. Concentración

• No es la curva de Lorenz ni tiene sus
  propiedades, aunque la curva de concentración
  coincide con la Lorenz en el caso
• Aunque genéricamente

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C. Concentración

• Un impuesto es progresivo si
• Relación importante si hacemos YX-T y ttipo
  medio

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C. Concentración

• De otra forma
• Definimos el coeficiente de concentración de T

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C. Concentración

• Definimos el coeficiente de concentración de T y
  el de X-T análogamente
• Entonces índice de progresividad de Kakwani
• Veremos su relación con el índice de
  redistribución

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• Medición desigualdad
• Rafael Salas
• Febrero de 2009