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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An lisis Econ mico I Teor a de juegos: Tema 2 Rafael Salas febrero de 2006 Teor a de juegos ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An


1
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I
  • Teoría de juegos
  • Tema 2
  • Rafael Salas
  • febrero de 2006

2
Teoría de juegos
  • Cómo individuos racionales toman decisiones
    cuando son interdependientes
  • Individualismo
  • Racionalismo
  • Interdependencia
  • Tipos de juegos
  • estáticos (simultáneos), dinámicos.
  • con información perfecta, con incertidumbre, con
    información incompleta.
  • estrictamente competitivos (intereses
    contrapuestos), no competitivos (intereses
    comunes). Conflicto-cooperación.
  • juegos de suma cero

3
Elementos del juego
  • Jugadores 1,...,n
  • ngt1
  • la naturaleza, en juegos de azar, un jugador más
  • en numerosas ocasiones n2
  • Acciones A1,...,An y donde Aiai / ai?Ai
  • decisiones que puede tomar cada jugador en un
    momento dado
  • Estrategias S1,...,Sn y donde Sisi / si?Si
  • plan completo de acciones de cada jugador
  • Perfil de estrategias
  • un conjunto de estrategias, una por cada jugador
    (s1,...,sn) ? S donde s1?S1,..., sn?Sn
  • existen S1xS2x...xSn perfiles posibles

4
Elementos del juego (2)
  • Resultados del juego
  • modos en que puede acabar el juego
  • tiene consecuencias para cada jugador
  • Pagos o función de ganancias
  • representan los beneficios o utilidad al acabar
    el juego
  • uno para cada jugador para perfil de estrategias
    ui(s)
  • definidos sobre todo s(s1,...,sn) ? S
  • uiS?R
  • existen tantos pagos posibles para cada jugador,
    como elementos en SS1xS2x...xSn
  • pueden ser magnituder ordinales (utilidad) o
    cardinales (utilidad esperada, beneficios)

5
Representación del juego
  • Forma estratégica o normal
  • Forma extensiva

6
Representación del juego (1)
  • Forma estratégica o normal
  • G1,...,n S1,...,Sn U1,...,Un
  • Gráficamente
  • mediante una tabla con una entrada para cada
    jugador, donde aparecen todas las estrategias y
    los pagos correspondientes a todas los perfiles
    de estrategias posibles.
  • Ejemplos (juegos simultáneos)
  • 1. Batalla de los sexos
  • 2. Pares o nones (ó juego de las monedas)
  • 3. Juegos con preferencia idénticas
  • 4. Dilema de los presos
  • 5. Halcón-paloma

7
1. La batalla de los sexos
JUG 2
B
O
4 , 1
0 , 0
B
JUG 1
1 , 4
-1 , -1
O
.
8
Elementos del juego 1
  • Conjunto de jugadores
  • N1,2 ó n2
  • Conjunto de acciones de los jugadores 1 y 2
  • A1 B,O y A2 B,O
  • Conjunto de estrategias de los jugadores 1 y 2
  • S1 B,O y S2 B,O
  • Hay 4 perfiles de estrategias
  • (B,B), (B,O), (O,B) y (O,O)
  • Los pagos de los jugadores 1 y 2
  • u1(B,B)4, u1(B,O)0, u1(O,B)-1, u1(O,O)1
  • u2(B,B)1, u2(B,O)0, u2(O,B)-1, u2(O,O)4

9
Estructura del juego 1
  • u1(B,B) gt u1(O,O) gt u1(B,O) gt u1(O,B)
  • u2(O,O) gt u2(B,B) gt u2(B,O) gt u2(O,B)
  • No es un juego estrictamente competitivo. Ni de
    preferencias idénticas. Juego parcialmente
    competitivo
  • Región de ganancias cooperativas (existe margen
    para la negociación)
  • SOLUCIÓN La veremos una vez definamos conceptos
    de equilibrio adecuados. Se trata de predecir lo
    que los individuos racionales van a hacer,
    descentralizadamente.
  • Muchos juegos en economía responden a este patrón
    (dos departamentos de una empresa utilizando
    mismos programas informáticos o diferentes)

10
2. El juego de las monedas
JUG 2
CA
CR
1 , -1
-1 , 1
CA
JUG 1
1 , -1
-1 , 1
CR
.
11
Estructura del juego 2
  • u1(CA,CA) u1(CR,CR) gt u1(CA,CR) u1(CR,CA)
  • u2(CR,CA) u2(CA,CR) gt u2(CR,CR) u2(CA,CA)
  • Es un juego estrictamente competitivo
    (preferencias opuestas).
  • No existe margen para la negociación.
  • Juego de suma cero.
  • No son muy interesantes desde el punto de vista
    económico, aunque tienen propiedades matemáticas
    interesantes.

12
3. Preferencias idénticas
JUG 2
IZQ
DCHA
1 , 1
-1 , -1
IZQ
JUG 1
1 , 1
-1 , -1
DCHA
.
13
Estructura del juego 3
  • u1(I,I) u1(D,D) gt u1(I,D) u1(D,I)
  • u2(I,I) u2(D,D) gt u2(I,D) u2(D,I)
  • Es un juego con preferencias idénticas. Fácil
    ponerse de acuerdo y cooperar. No existe
    conflicto.
  • No son muy interesantes desde el punto de vista
    económico.
  • Los individuos cooperaran. Los interesantes son
    los parcialmente competitivos, donde hay margen
    para la negociación.

14
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CO
2 , 2
0 , 4
CA
JUG 1
1 , 1
4 , 0
CO
.
15
Estructura del juego 4
  • u1(CO,CA) gt u1(CA,CA) gt u1(CO,CO) gt u1(CA,CO)
  • u2(CA,CO) gt u2(CA,CA) gt u2(CO,CO) gt u2(CO,CA)
  • Juego parcialmente competitivo
  • Región de ganancias cooperativas (existe
    incentivos para cooperar)
  • SOLUCIÓN La veremos una vez definamos conceptos
    de equilibrio adecuados. Veremos como la solución
    es no cooperar (ineficiencia).
  • Muchos juegos en economía tienen esta estructura
    y esta solución
  • Oligopolios
  • Pesca
  • Aranceles
  • Carrera armamentista

16
4bis. Oligopolio
JUG 2
A
B
1000 , 1000
-200 , 1200
A
JUG 1
600 , 600
1200 , -200
B
.
17
Ejemplo 5 Halcón-paloma
JUG 2
H
P
2-k , 2-k
4 , 0
H
JUG 1
2 , 2
0 , 4
P
.
18
Estructura del juego 5
  • Si klt2 Dilema de los presos
  • u1(P,H) gt u1(P,P) gt u1(H,H) gt u1(H,P)
  • u2(H,P) gt u2(P,P) gt u2(H,H) gt u2(P,H)
  • Si kgt2 Juego diferente
  • u1(P,H) gt u1(P,P) gt u1(H,P) gt u1(H,H)
  • u2(H,P) gt u2(P,P) gt u2(H,P) gt u2(H,H)

19
Ejemplo 5bis ciervo-liebre
JUG 2
C
L
2
1
2
C
0
JUG 1
0
1
L
1
1
.
20
Ejemplo 5bis ciervo-liebre
JUG 2
C
L
2
1
2
C
0
JUG 1
0
1/2
L
1
1/2
.
21
Representación en forma extensiva (1)
  • Forma extensiva
  • Se resalta la secuencia y el tipo de información
    disponible.
  • Se añade información sobre
  • El momento en que cada jugador toma la decisión
  • El conjunto de información disponible en cada
    momento
  • Se representa mediante un árbol, que se compone
    de
  • Un conjunto de nodos (vértice)
  • Ramas (aristas)
  • No hay ciclos

22
Representación en forma extensiva (2)
  • Elementos (de dominio público)
  • Jugadores
  • Nodo inicial (raíz) donde aparece la primera
    decisón.
  • Si los juegos son finitos, terminan en nodos
    terminales (donde aparecen los pagos de cada
    jugador)
  • Los nodos intermedios son nodos de decisión. De
    ellos salen ramas que representan las acciones o
    las decisiones de los jugadores en ese punto del
    juego.
  • Si hay incertidumbre, los nodos que configuran
    una jugada de azar son nodos de incertidumbre,
    donde mueve de la naturaleza. De ellos salen
    ramas que representan sucesos posibles con sus
    probabilidades.
  • En este caso los pagos son pagos o utilidades
    esperadas.

23
Representación en forma extensiva (3)
  • Elementos (de dominio público)
  • Conjuntos de información todo lo que conoce el
    jugador a la hora de decidir.
  • En los juegos con información perfecta se conoce
    todo el desarrollo del juego hasta ese momento.
    El jugador sabe en el nodo que se encuentra. El
    conjunto de información se compone de un solo
    nodo.
  • En los juegos con información imperfecta puede
    que un jugador no conozca en todo el desarrollo
    del juego en qué nodo se encuentre. El conjunto
    de información se compone de más de un nodo.
  • Esta característica es la que define información
    imperfecta más que si hay incertidumbre, como
    veremos con los ejemplo siguientes.

24
Representación en forma extensiva (4)
  • Elementos (de dominio público)
  • Estrategias puras Es un plan contingente
    completo. Es un conjunto de acciones para cada
    conjunto de información.
  • Jugadas (o Partida) Una secuencia de aristas que
    van desde el nodo inicial al final. La
    representamos entre corchetes.
  • Todo esto es de conocimiento común.
  • Veamos algunos ejemplos clarificadores...
  • En general, se tratan de juegos dinámicos. Pero
    los juegos estáticos también pueden representarse
    en forma extensiva.
  • ...Y los juegos dinámicos también se pueden
    representar en forma estratégica o normal. Hay
    que evitar esa confusión.
  • Veamos...

25
Ejemplo 6
?
1
d
i
?
?
2
2
D
I
D
I
M
?
?
?
?
2
?
I
(1, -1)
(-1, 1)
(1, -1)
(1, -1)
D
?
?
1
(1, -1)
i
d
?
?
(-1, 1)
(1, -1)
26
Ejemplo 6 elementos (1)
  • Juego dinámico con 2 jugadores, de suma cero
  • Información perfecta, sin jugadas de azar
  • 5 conjuntos de información (C.I.) con un nodo de
    decisión cada uno
  • Acciones asociadas a cada C.I.
  • C.I 1 (nodo inicial) El jugador 1 tiene dos
    acciones posibles i,d
  • C.I. 2 El jugador 2 tiene dos acciones posibles
    I,D
  • C.I. 3 El jugador 2 tiene tres acciones posibles
    I,M,D
  • C.I. 4 El jugador 2 tiene dos acciones posibles
    I,D
  • C.I. 5 El jugador 1 tiene dos acciones posibles
    i,d

27
Ejemplo 6 elementos (2)
  • Estrategias puras
  • 4 para el jugador 1
    ii,id,di,dd
  • 12 para el jugador 2
    III,IID,
    IMI,IMD,IDI,IDD,DII,DID,DMI,DMD,DDI,DDD
  • Jugadas ejemplo d,I,I,d
  • Perfil de estrategias ejemplo (di, IID)
  • Representación en forma estratégica...

28
Ejemplo 7
  • 7. Suponga el siguiente juego de dos jugadores.
    El jugador 1 escoge, primero, una carta alta (a)
    o baja (b), con igual probabilidad. Tras verla,
    puede pasar (P), en cuyo caso pierde el euro o no
    pasar (NP). Si no pasa, el jugador 2 la ve y
    tiene dos opciones pasar (P), en cuyo el jugador
    1 retira su euro, o apostar un euro (A). El
    jugador con la carta más alta gana y se llevan el
    dinero de la mesa.
  • Represente el juego en forma extensiva.

.
29
Práctica
  • 7. El jugador 1 elige primero una acción entre
    L,M,R. Después el jugador 2 la observa si es
    L o no y escoge a continuación entre l,r
  • Tirole, p. 638
  • 8. El jugador 1 elige primero entre I,D.
    Después el jugador 2 escoge entre I,D al
    observar I ó D . Después el jugador 3
    observa D,D o no observa nada y escoge entre
    I,D
  • Gibbons, p. 121
  • 9. Represente el juego de las tres en raya.
  • Binmore, p. 28 Mas-Collel et al., p. 220

.
30
Práctica
  • 10. Suponga el siguiente juego de dos jugadores
    que ponen 1 euro en la mesa. El jugador 1 escoge,
    primero, una carta alta (a) o baja (b), con igual
    probabilidad. Tras verla, puede pasar (P), en
    cuyo caso pierde el euro o apostar otro euro (A).
    Si apuesta, el jugador 2, que no la ve, tiene dos
    opciones pasar (P), en cuyo caso pierde el euro,
    o apostar otro euro (A). Si la carta es alta gana
    el jugador 1 y si es baja gana el jugador 2. El
    que gane se llevan el dinero de la mesa.
  • Represente el juego en forma extensiva y
    estratégica
  • Se trata de un juego estático o dinámico y de
    información perfecta o imperfecta?
  • Ricart, ejemplo 4

.
31
Práctica
  • 7.1bis. Suponga el siguiente juego de dos
    jugadores que ponen 1 euro en la mesa. El jugador
    1 escoge, primero, una carta alta (a) o baja (b),
    con igual probabilidad. Tras verla, puede pasar
    (P), en cuyo caso pierde el euro o seguir (S). Si
    sigue, el jugador 2, que no la ve, tiene dos
    opciones pasar (P), en cuyo caso pierde el euro,
    o ver (V). Si la carta es alta gana el jugador 1
    y si es baja gana el jugador 2. El que gane se
    lleva el dinero de la mesa.
  • Represente el juego en forma extensiva y
    estratégica
  • Se trata de un juego estático o dinámico y de
    información perfecta o imperfecta?
  • Es otra variante del juego 7 y 7.1.

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Fundamentos del Análisis Económico I
  • Teoría de juegos
  • Tema 2
  • Rafael Salas
  • febrero de 2006
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