Instation

1
Instationäre, Inkompressible Navier Stokes
Gleichungen
Seminar FEM für die Strömungsmechanik Prof. M.
Griebel Dr. M. A. Schweitzer L. M. Köhler
02.02.2007
2
Lösungsansätze zu Instationären, Inkompressiblen
Navier-Stokes Gleichungen mit der Finiten
Elemente Methode Gliederung und Zielsetzung
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
1. Kapitel Lösbarkeit 1.1 Formulierung des
Problems, Vorbemerkungen, Definition schwacher
Lösungen 1.2 Existenz schwacher Lösungen 1.3
Eindeutigkeit schwacher Lösungen 1.4 Regularität
schwacher Lösungen
2. Kapitel Numerische Lösung, Diskretisierung
2.1 Linien Methode, O-Schema (Rothe
Methode) 2.2 Raum-Zeit Finite Elemente
(discontinuous Galerkin method) 2.3
Transport-Diffusions Algorithmus 2.4
Zusammenfassung, Ausblick, Quellen
Ziel Lösung durch Nutzung bisher verwendeter
Methoden!
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3
1.1 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Erhaltung der Masse
Da 0 ?V(t) ?(x,t)dx ergibt sich in jedem Punkt
für ?(x,t) (Dichte) ??/?t div(?v) 0
in O x (0, 8)
Erhaltung des Impulses
Die zeitlichen Änderung des Impulses ergibt
punktweise ?/?t(?v) div(?v?v) ?f div T
in O x (0, 8)
Konstitutive Gleichungen
Unter vers. Voraussetzungen an den
Spannungstensor T T 2?D(v) µdiv(v)I pI
(Zustandsgleichung)
Allgemeine Navier-Stokes
??/?t div(?v) 0 ?/?t(?v) div(?v?v) ?f
2? ?(v) (? µ) ? div(v) ?p
Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit,
konstanter Dichte und Temperatur, stationärer
Bewegung, diverser Skalierungen Linearisierung
konnten die allgemeinen Navier-Stokes
Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert
werden.
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4
1.1 Entwicklung einer Lösungsstrategie
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Stokes Gleichung
-?u grad p f in O div u 0 in O u 0
auf ?O
Konforme Elemente (nicht konforme)
Xh? X, Mh? M bezeichnen zu ?h gehörige Finite
Element Räume (Xh,Mh) stabil (inf-sup Bedingung
unabhängig von h erfüllt) ? diskrete
Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig lösbar
Mehrgitter für Stokes
Sequenz von Räumen (Xh,Mh) mit Transferoperatoren
Ph, Rh Xh ? X2h und Glättern Sh.
Mehrgitterlöser für Stokes
Stationäre, inkompressible Navier-Stokes

• ??u ?p (u ? ?)u f in O
• div u 0 in O
  
• u 0 auf ?O

Sequenz von Stokes Problemen
Heute
Instationäre, inkompressible Navier-Stokes
Gleichungen
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5
1.1 Die Instationären, Inkompressiblen Navier -
Stokes GleichungenFormulierung, Herleitung,
Bedeutung
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
?u/?t - ??u ?p (u ? ?)u f in O x (0, T)
div u 0 in O x (0, T)
u 0 auf ?O x (0, T)
u(.,0) u0 in O
(1)
Annahmen
Anwendung

• Vernachlässigung der
• Energiegleichung
• ? konstant
• p wird durch p / ? ersetzt
• ? ? / ? (dynamische Viskosität)

• Luftströmungen unterhalb der
• Schallgeschwindigkeit
• Wasserströmungen
• Flüssige Metalle (konst. Temp.)
• Nicht bei Überschall / heißer Luft

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6
1.1 Vorbemerkungen Definition Schwacher Lösungen
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
V u ? H01(O)n div u 0
Notationen
H u ? L2(O)n div u 0 in O, u ? n 0 auf
?O
a(u,v) ?O ?u ?v (bilinear,
koerziv)
Bilinearformen
b(v,p) ?O p divv (bilinear)
N(u,v,w) ?O (u ? ?)v ? w (trilinear,
N(u,v,v) 0, N(u,v,w) -N(u,w,v))
Ist f eine Fkt. auf (0,T) mit Werten in X, so
heißt f schwach stetig in t0, wenn ? Folgen
(tm)m?N ? (0,T) mit limm?8 tm t0 und jedes ? ?
X L(X,R) gilt limm?8 ltf(.,
tm),?gtX ltf(., t0),?gtX
Schwach Stetig
Seien T gt 0, u0 ? H, f ? L2((0,T),V) und u ?
L8((0,T),L2(O)n) ? L2((0,T),V). Ferner sei u im
L2 - Sinne schwach stetig auf 0,T. Dann heißt u
eine schwache Lösung von (1), wenn ? v ?
C1((0,T),L2(O)n) ? C0(0,T,V) mit v(.,T) 0
gilt -?0,T (u, ?v/?t) ??0,T a(u,v)
?0,T N(u,u,v) ?0,T (f,v) (u0,v(.,0))
Schwache Lösung
(2)
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1.2 Existenz Schwacher Lösungen
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher
Lösungen. Dann besitzt (1) mindestens eine
schwache Lösung u. Außerdem gilt ?u/?t ?
L1((0,T),V).
Beweis
V ? H01 (O)n abgeschlossen, somit separabel ? V
clos(Um?N span wj 0j m) u0,m bezeichne
die L2 Projektion von u0 auf Vm wj 0 j
m, betrachte ?0 i m (wi,wj) gi,m(t) ? ?0
i m a(wi,wj) gi,m(t) ?0 i,j m N(wi,wl,wj)
gi,m(t) (f,wj) für 0 j m ?0 i m
gi,m(0)wi u0,m
(für bel., aber feste m ?
N) (3) Erfüllt die Voraussetzungen von
Picard-Lindelöf, besitzt daher eine eindeutige
max. Lsg. (g0,m(t),,gm,m(t)) auf max. 0,tm mit
0 lt tm T um ?0 i m gi,m(t) wi Ist
tm lt T ? lim t?tm um(.,t)0 8
(3)
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8
1.2 Existenz Schwacher Lösungen - Beweis
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Beweis
In (3) multipliziere die j-te Gleichung mit
gj,m(t) und summiere über j auf ? (?um/?t, um)
?a(um,um) (f, um) ? u ? V,
w ? H01(O)n ? d/dt um(.,t)02
2?um(.,t)12 2(f, um (.,t))
2f-1
um(.,t)1
1/? f-12 ? um(.,t)12 ?
? s ? 0,tm um(.,s)02 ??0,s
um(.,t)12 dt 1/? ?0,s f(.,t)-12 dt
u002 ? lim sup t ? tm um(.,t)0 lt 8
und daher tm T. (um)m?N ? beschränkter
Teilmenge von L8((0,T),H) ? L2((0,T),V). Also ?
u ? L8((0,T),H) ? L2((0,T),V), gegen welches eine
Teilfolge (um) schwach in L2((0,T),V),
schwach- in L8((0,T),H) stark in L2((0,T),H)
konvergiert. Diese Konvergenz einer Teilfolge
(um) reicht aus um in (3) den Grenzübergang m ?
8 bei festem j zu vollziehen. Daher erfüllt u die
Bed. (2) ? wj. Da Um?NVm dicht in V,folgt die
Behauptung.
QED.
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1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Lemma
Für alle n ? 2,3 und alle f ? H01(O) gilt f
L4(O) 2(n 1) / 4 f 0 (4 n) / 4 f
1n / 4
Eindeutigkeitssatz
i) Sei n 2. Dann besitzen die instationären
Navier - Stokes Gleichungen (1) genau eine
schwache Lösung. Außerdem gilt ?u/?t ?
L2((0,T),V), u ? C(0,T,H) und u(.,t) ? u0 in H
für t? 0. ii) Sei n 3. Dann gilt für jede
schwache Lösung der instationären Navier - Stokes
Gleichungen (1) u ? L8/3((0,T),L4(O)3), ?u/?t ?
L4/3((0,T),V). Es gibt höchstens eine schwache
Lösung in L2((0,T),V) ? L8((0,T),H) ? L8((0,T),
L4(O)3). Eine solche Lösung ist automatisch in
C(0,T,H) und erfüllt u(.,t) ? u0 in H für t? 0.
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1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen Beweis (1)
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Beweisskizze allgemeine Bemerkungen ad i)
Definiere Operatoren A, B auf L2((0,T),V) ?
L8((0,T),H) ltAu, vgt a(u,v)
ltB(u), vgt N(u,u,v) Dann gilt (s.
Existenzsatz) ? u (schwache Lösung von (1))
?u/?t - ?Au B(u) f f.ü. in V u(.,t)
? u0 in H
für t ? 0. ad i) Regularität B(u)V
supv?V, v1 N(u,u,v) u2L4(O) v2 u0
u1 u ? L2((0,T),V) ? L8((0,T),L2(O)2) ? Au,
B(u) ? L2((0,T),V) ?u/?t ? L2((0,T),V)
Eindeutigkeit sei w u1 u2 da w ?
L2((0,T),V) und ?w/?t ? L2((0,T),V) ? d/dt w
(.,t)02 2?w(.,t)12 2(?w/?t , w) 2?
a(w,w)
2?w(.,t)12 1/? u1(.,t)12
w(.,t)02 ? d/dt ( w (.,t)02 exp
(-1/??0,t u1(.,s)12 ds)) 0 , da
w(.,0) 0 ? QED.
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1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen Beweis (2)
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Beweisskizze ad ii)
Regularität B(u)V u2L4(O) 2
u01/2 u13/2 u ? L2((0,T),V) ?
L8((0,T),L2(O)3) ? Au ? L2((0,T),V), B(u) ?
L4/3((0,T),V) somit ?u/?t ? L4/3((0,T),V).
Daher auch u ? L8/3((0,T),L4(O)3).
Eindeutigkeit sei w u1 u2 unter
bekannten Regularitätsannahmen ? d/dt w
(.,t)02 2?w(.,t)12 -2N(w,u1,w) 2N(w, w,
u1) 2 wL4(O) w1 u1L4(O)
4 w01/4 w17/4 u1L4(O) Youngsche
Ungleichung ab 7/8 a8/7 1/8 b8 ? a,b
? R für a (16/7 ?)7/8 w17/4 b 4
(16/7 ?)7/8 w01/4 u1L4(O) ? d/dt w
(.,t)02 2?w(.,t)12 2?w(.,t)12 1/7 (7/
4?)7 w (.,t) 02 u18L4(O) ? d/dt w
(.,t)02 1/7 (7/ 4?)7 w (.,t) 02
u18L4(O) Wegen u1 ? L8/3((0,T),L4(O)3) folgt
w 0. ? QED.
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1.4 Regularität Schwacher Lösungen
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Regularitätssatz
i) Sei n 2 und f, ?f/?t ? L2((0,T),V), f(.,0)
? H und u0 ? H2(O)2 ? V. Dann gilt für
die eindeutige schwache Lösung der instationären
Navier-Stokes Gleichungen ?u/?t ? L2((0,T),V) ?
L8((0,T),H). Ist zusätzlich ?O ? C2 und f ?
L8((0,T),H), so ist u ? L8((0,T),H2(O)2). ii) Sei
n 3 und f ? L8((0,T),H), ?f/?t ? L1((0,T),H)
und u0 ? H2(O)3 ? V. Definiere d1
f(.,0)0 ? u02 u022
d2 fL8((0,T),V) Falls ?
-2d2 ?-3(1 d12) (u002 ? -1 T d2)exp
(?0,T ?/?t f(.,s)0 ds)) hinreichend klein
ist, besitzen die instationären Navier-Stokes
Gleichungen eine eindeutige schwache Lösung, und
es gilt ?u/?t ? L2((0,T),V) ? L8((0,T),H).
Ist zusätzlich ?O ? C8, so ist u ?
L8((0,T),H2(O)3).
(ohne Beweis)
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1.4 Druck
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Bemerkung 1
Die Regularitätsaussagen des vorausgehenden
Satzes für ?u/?t sind zu schwach, um eine
Fehlerabschätzung der Ordnung 2 oder höher für
Zeitdiskretisierungen der instationären
Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten.
Bemerkung 2
u sei schwache Lösung, definiere U(t)
?0,t u(.,s)ds b(t) ?0,t B(u(.,s))ds
F(t) ?0,t f(.,s)ds
U, b, F ? C(0,T,V) Mit (2) folgt ?
a(U, v) ltg, vgt
? v ? V Mit g F b
u(.,t) u0 ?
C(0,T,V) Es ? q(.,t) ? L2(O) ?q(.,t) g
??U ?q ? C(0,T,H-1(O)), q ?
C(0,T,L2(O)) Dies läßt sich im
Distributionssinn bzgl. t ableiten, für p
?q/?t erhält man ?p f B(u) ?u/?t ??u
Nun folgt p ? L2((0,T), L2(O)) somit ist p der
gesuchte Druck in (1).
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1.X Das Millenium Problem
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen

• Betrachte (1), eine schwache Lösung für (1) ist
  nur dann physikalisch sinnvoll,
• wenn gilt
• i) p, u ? O x 0,8)
• ?Rn u(x, t)2 lt C ? t 0

Das Millenium Problem Sei ? gt 0 und n 3. Sei
u0(x) ein glattes, divergenzfreies Vektorfeld,
welches die Bedingung () erfüllt. Nehme an, daß
f(x,t) identisch null ist. Dann existieren
glatte Funktionen p(x,t), ui(x,t) auf R x 0,8)
welche (1) erfüllen und physikalisch
sinnvoll sind. () ?au0(x) / ?x CaK(1
x)-K auf Rn, für irgendwelche a, K
Anmerkung In zwei Dimensionen sind diese
Probleme schon seit längerem gelöst. Im
drei dimensionale Fall weiß man allerdings, dass
wenn man die Forderung 0,8) aufgibt und für
kleine T auf 0,T) übergeht, dann existieren
Lösungen. Unter günstigen Annahmen läßt sich
auch die Existenz von schwachen Lösungen zeigen.
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2. Diskretisierung der Zeit, Grenzen der Technik
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Bsp. (i, j, k) ? i, j, k double (i, j, k, p)
? i, j, k, p double 24
Gigabyte 32 Terabyte
1m3 x 1min
1m3
Diskretisierung
109
1012
der
1000
Zeit
1000
1000
Uniformes Gitter zur Approximation eines
Kubikmeters mit einer Schrittweite von 1mm
Diskretisierung der Zeit in 1000
Schritte Komplexität 1012
Lösung durch trade-off zwischen Rechenzeit
Speicherkapazität (num. Lösungsstrategie)
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2. Aufgabenstellung Numerische
Lösungsstrategien
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Problem
Durch Einbeziehung der Zeit in die
inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen erhöht
sich die Dimension, eine schwache Lösung wird
nun auf O x (0, T) gesucht für O ? Rn, n ? 2,3.
Es sind nun ?u/?t und (u ? ?)u stabil zu
diskretisieren, bzw. zu linearisieren.
Strategie 1
Linien Methode Es wird O diskretisiert und ein
AWP aufgestellt. Dieses AWP wird schließlich
über jedem Zeitschritt betrachtet.
Strategie 2
Raum Zeit Finite Elemente Orts- Zeitvariable
werden gleichzeitig diskretisiert.
Insbesondere
Transport-Diffusions Algorithmus Linearisierung
Diskretisierung erfolgen gewissermaßen in einem
Schritt.
Ziel
Einbeziehung der bekannten konformen Methode!
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2.1 Linien Methode Diskretisierung des Ortes
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Vorbem.
?h sei affin äquivalente, zulässige, reguläre
Unterteilung von O, weiterhin seien (Xh, Mh)
stabile Paare zugehöriger Finite Element Räume.
Setze Vh uh ? Xh ? X ? H01(O)n ?O ph div uh
0 ? ph ? Mh
Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung
(2) Finde uh ? L2(0,T,Vh), so daß ? vh ?
C1(0,T,Vh) gilt -?0,T (uh, ?vh/?t) ??0,T
a(uh,vh) ?0,T N(uh,uh,vh) ?0,T (f,vh)
(u0,vh(.,0)).
Schritt 1
(4)
Schritt 2
Sei uh ? C1((0,T),Vh) ? C(0,T,Vh), dann ist (4)
bzgl. t partiell integrierbar (4) ? Finde uh ?
C1((0,T),Vh) ? C(0,T,Vh) mit
uh(.,0) u0,h (?uh/?t, vh) 2?a(uh,
vh) N(uh,uh,vh) (f, vh) ? vh ? Vh, t ?
(0,T)
(4)
Bem.
Beachte die unrealistisch starken
Regularitätsvoraussetzungen!
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2.1 Linien Methode Aufstellung des gewöhnlichen
AWP
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Definiere Operatoren Ah, Bh Vh ? Vh durch (Ah
uh, vh) a(uh, vh) (Bh(uh), vh)
N(uh,uh,vh), So lässt sich (4) umschreiben als
gewöhnliches nicht lineares AWP uh Fh(uh) f
? Ah uh Bh(uh) uh(.,0) u0,h
Schritt 3
(5)
Schritt 4

• Dieses AWP lässt sich mit den üblichen Methoden
  bewältigen.
• Ah hat Kondition O(h-2)
• Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die
  CFL-Bedingung t ch2
• für eine Zeitschrittweite t eingehalten
  werden.

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2.1 O-Schema Diskretisierung der Zeit
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
O-Schema allgemeine Form eines linearen
Einschrittverfahrens
Für (5) ergibt sich bei konstanter
Zeitschrittweite t uh0 u0,h 1/t (uhn1 uhn)
O (f n 1 ? Ah uhn 1 Bh(uhn 1) (1
- O) (f n ? Ah uhn Bh(uhn) bzw. uh0
u0,h uhn 1 tO ? Ah uh n 1 tO Bh(uhn 1) gn
1 uhn tO f n 1 t(1
O) (f n ? Ah uhn Bh(uhn)
Die Näherung uhn 1 für uh(.,(n1) t) ist also
Lösung der diskreten stationären Navier-Stokes
Gleichung (uhn 1,) tO ? a(uhn 1, vh) tO
N(uhn 1, uhn 1, vh) (gn 1,vh)
? vh ? Vh Dieses Problem ist z.B. durch
Fixpunktiteration, das Newton-Verfahren zu lösen.
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20
2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Schritt 1
Unterteile 0,T durch 0 t1 lt t2 lt lt tNt lt
tNt1 T setze für 1 j Nt Jj tj,
tj1, tj tj1 tj ? tj sei ?h affin
äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilungen
von O. Vj sei der Raum der diskret
divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder.
Setze für 1 j Nt O ? 0,1 1/tj-1 (t
tj-1) für tj-1 t tj ?j(t) 1/tj
(tj1 t) für tj t tj1 0
sonst bj(t) 4/tj2 (t tj)(tj1
t) ?jO(t) ?j(t) 3/2 (O 1/2) (bj(t)
bj-1(t))
Vorbem.
Bem.
Die Funktionen bj und ?j sind die stetigen,
stückweise linearen, nodalen Basisfunktionen zur
Unterteilung von 0,T. Mit der Simpsonregel
?tj-1,tj ?jO(t)dt (1 O) tj-1
?tj,tj1 ?jO(t)dt O tj
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21
2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Vorbem.
Stk,-1(Vh(t)) span ? tj(t) tµ vj(x) 0 µ
k, 1 j Nt, vj ? Vj StO1,0(Vh(t))span
?jO(t) vj(x) 1 j Nt, vj ?
Vj StOk,0(Vh(t)) StO1,0(Vh(t))
? span bj(t) tµ wj(x) 0 µ k 2, 1
j Nt, wj ? Vj Stk,-1(Vh(t)) besteht also aus
in t unstetigen Funktionen, welche
stückweise Polynome vom Grad k mit
Koeffizienten in Vj sind. Funktionen in
StOk,0(Vh(t)) sind global stetig, verschwinden
zur Zeit T Und sind stückweise Polynome vom Grad
k mit Koeffizienten in Vj.
Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung
lautet Finde u h,t ? Stk,-1(Vh(t)), so dass ?
vh,t ? StOk,0(Vh(t)) gilt -?0,T (uh,t,
?vh,t/?t) ??0,T a(uh,t,vh,t) ?0,T
N(uh,t,uh,t,vh,t) ?0,T (f, vh,t)
(u0,vh,t(.,0))
Schritt 2
(6)
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22
2.2 Rückführung auf das O-Schema
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Schritt 1
(6) ? ?j (uh,t(.,tj 0) uh,t(.,tj 0),
vh,t(.,tj)) ?tj,tj1 (uh,t,?vh,t/?t)
??tj,tj1 a(uh,t,vh,t) ?tj,tj1
N(uh,t,uh,t,vh,t) ?j ?tj,tj1 (f,vh,t)
1 j Nt
(7)
k 0, uhj u h,t auf Jj für 1 j Nt
vh,t ?jO(t)vj ? uh0 uh,0 und (uhj uhj1,
vj) Otj? a(uhj,vj) Otj N(uhj,uhj,vj) (1
O)tj1? a(uhj1, vj) (1 O)tj1 N(uh j1,uh
j1,vj) ?tj1,tj1 ?jO(t) (f, vj) Otj (f
j, vj) (1 O)tj1(f j1, vj)
Schritt 2
In Operatorschreibweise uh0 uh,0 uhj
Otj?Ahuhj OtjBh(uhj) uhj1 tjO f j
tj1(1 O) (f j1 ?Ahuhj1 Bh(uhj1)
Schritt 3
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23
2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante
der Linien Methode. Die wesentliche Idee ist die
Rückführung des konvektiven Terms (u ? ?)u und
der partiellen Ableitung ?u/?t auf die
Materialableitung. Das Charak- teristikenverfahren
nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten.
Bem.
Vorbem.
?h sei affin äquivalente, zulässige, reguläre
Unterteilung von O, weiterhin seinen (Xh, Mh)
stabile Paare zugehöriger Finite Element Räume
für Geschwindigkeit Druck, Vh sei der Raum der
diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder. X
h sei Lagrangerscher Finite Element Raum, d.h. ?
nodale Basis (Gitterpunkte xi). Aus dem
Transport-Theorem folgt, daß ?u/?t (u ? ?)u die
totale zeitliche Ableitung entlang den
Trajektorien ist, somit den Transport entlang den
Charakteristiken beschreibt. Die Näherung uhn1
für uh(.,tn1) ergibt sich aus uhn für uh(.,tn)
wie folgt
Seminar Finite Elemente für strömungsmechanische
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24
2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Transport Schritt Löse für jeden Gitterpunkt xi
das gewöhnliche AWP d/dt yi(t) uhn(yi(t))
für tn lt t lt tn1 yi(tn1) xi
Schritt 1
Schritt 2
Diffusions Schritt Löse das diskrete Analogon
des Stokes Problems 1/(tn1 tn) (un1 -
u(y(tn),tn) - ??un1 ?pn1 f(.,tn1) in
O div un1 0 in O
un1 0 auf
?O Es wird also der Term ?/?t uh(xi,tn1)
(uh(xi,tn1)??)uh(xi,tn1) durch den folgenden
Differenzenquotienten approximiert 1/(tn1
tn) (uh(xi,tn1) - uh(yi(tn),tn)
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25
2.4 Vergleich der verschiedenen Lösungswege
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Merkmale
Vorteile / Nachteile
Linien Methode

• Komplexität O(h-3)
• Semidiskret
• Zeitpunktbetrachtung
• Nichtlineares AWP

Geringe Komplexität Fehleranalyse schwierig
starke Regularität benötigt m Stokes Prob. /
Zeitschritt
Raum Zeit Finite Elemente

• Komplexität O(1/?t h-3)
• Diskretisierung in Ort Zeit
• Komplette Historie
• Nichtlineares AWP

Fehleranalyse leicht (relativ) Sehr hohe
Komplexität
Transport- Diffusions Algorithmus

• Komplexität O(h-3)
• Diskretisierung in Ort Zeit
• Zeitpunktbetrachtung
• Lineares AWP

Stabil (große Reynoldszahlen) Geringe
Komplexität Ein Stokes Prob. / Zeitschritt
Aufwendige Implementierung
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Probleme
Lukas Köhler
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2.4 Zusammenfassung, Ausblick
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
?u/?t - ??u ?p (u ? ?)u f in O x (0, T)
div u 0 in O x (0, T)
u 0 auf ?O x (0, T)
u(.,0) u0 in O
1. Verstehen der verschiedenen Herausforderungen
durch die Zeitabhängigkeit der instationären
Gleichungen
2. Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw.
realitätsfernen Voraussetzungen an die
Regularität (worst case)
3. Entwicklung numerischer Lösungsstrategien
durch Varieren der Reihenfolge der zu
diskretisierenden Variabeln
Können jetzt die bekannten Methoden nutzen!
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2.4 Quellen Referenzen
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen

• Skript Numerische Strömungsmechanik,
• Prof. Dr. R. Verfürth, Ruhr-Universität Bochum
• Lineare Funktionalanalysis,
• Prof. H. W. Alt, Springer
• 3. Finite Elemente,
• Prof. Dr. D. Braess, Springer
• Dissertation Zeitabhängige gewichtete a
  posteriori-Fehlerschätzer
• Dr. M. Metscher, Rheinische Friedrich-Wilhelms
  Universität Bonn
• Numerik partieller Differentialgleichungen,
• Prof. Dr. P. Knabner, Prof. L. Angermann,
  Springer

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Backup 1 Transport Theorem
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes
Gleichungen
Transport Theorem
Sei f O x (0, 8) ? R hinreichend oft
differenzierbar. Dann gilt für jedes Volumen V
in O d/dt ?V(t) f(x,t) dx ?V(t) ?/?t f(x,t)
div(fv)(x,t) dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr. M. A. Schweitzer
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