Sorgenti di traffico

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Reti di TLC Esercitazione 3
Ing. Mauro Femminella femminella_at_diei.unipg.it htt
p//conan.diei.unipg.it/Corso Reti/
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Sistemi di servizio

• Il sistema viene descritto attraverso variabili
  aleatorie quali
• k numero di utenti nel sistema
• l numero di utenti nella sola fila dattesa
• h numero di serventi contemporaneamente
  occupati
• x tempo di servizio
• s tempo di permanenza nel sistema (tempo di
  coda o di ritardo)
• w tempo di permanenza nella fila dattesa

3
Sistemi di servizio

• La variabile aleatoria k viene caratterizzata
  attraverso la sua probabilità limite

pk pkprobabilità che in un generico istante di
osservazione in regime permanente siano presenti
k utenti allinterno del sistema
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Parametri prestazionali

• Probabilità di sistema bloccato (m serventi)
• Probabilità di rifiuto
• r.s.o. ? richiesta di servizio offerto
• Probabilità di servizio bloccato (m serventi)
• Probabilità di ritardo
• r.s.a. ? richiesta di servizio attesa

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Sistemi a coda monoserverte (L?)

• La richiesta in arrivo è servita se trova il
  servente disponibile, altrimenti viene inserita
  in fila dattesa.
• Tali sistemi hanno rilevante interesse nello
  studio delle reti a pacchetto.

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Sistema a coda M/M/1/?/?

• Ipotesi
• tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione
  esponenziale negativa di parametro l (ingresso di
  Poisson)
• tempi di servizio i.i.d. con distribuzione
  esponenziale negativa di parametro m
• processi di arrivo e di servizio statisticamente
  indipendenti.
• singolo servente
• un numero comunque elevato di utenti possono
  trovare posto nella fila dattesa.
• Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante
  un processo di Markov di nascita e morte con
  spazio di stato 0,1,
• Il processo di coda K(t) è ergodico se l/µlt1

7
Evoluzione temporale
8
Frequenze di transizione di stato
per k ?0
frequenza di nascita
per k ?1
frequenza di morte
l
l
l
l
l
l
0
1
2
k
k1
. . .
m
m
m
m
m
m
9
Probabilità limite di stato (1)

• Per lequilibrio dei flussi si ha

per k?0
posto rl/m per rlt1 si ha lequazione di
congruenza
Già noto dal Teorema di Little
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Probabilità limite di stato (2)

• Quindi la probabilità di avere k utenti nel
  sistema è

per k0, 1, ...
11
Probabilità limite di stato (3)

• Il numero medio di utenti nel sistema è
• Il tempo di permanenza medio è (Teorema di
  Little)

12
Probabilità limite di stato (3)
La distribuzione è di tipo geometrico con
parametro r
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Parametri prestazionali

• In condizioni di equilibrio statistico
  lintensità media di traffico smaltito As
  coincide con lintensità di traffico offerto Ao
• La probabilità di servizio bloccato Sr coincide
  con la probabilità di ritardo Pr

r prob. che il servente sia occupato la
percentuale temporale di occupazione del servente
la prob. che una richiesta in arrivo sia
costretta ad attendere in coda
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Distribuzioni in equilibrio statistico

• l lunghezza della fila dattesanumero di utenti
  nella fila dattesa
• hnumero di serventi impegnati
• il numero medio di utenti allinterno del sistema
  è quindi

15
Tempi di attesa

• Si assume la disciplina di coda di tipo FIFO, la
  distribuzione del tempo di attesa e
• Detto inoltre wr l r-percentile del tempo di
  attesa (cioè quel valore che non è superato per
  una percentuale di tempo uguale a r)

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Tempi di coda (1)

• La distribuzione del tempo di coda è
• detto inoltre sr il percentile r del tempo di
  coda

17
Tempi di coda (2)
18
Tempi di coda (3)
Al crescere dellintensità di traffico il tempo
di coda tende allinfinito
19
Modellizzazione di un multiplatore a pacchetto

• Ipotesi
• I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti
  sono rappresentabili mediante processi di Poisson
• I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono
  indipendenti tra loro
• Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione
  esponenziale negativa e sono indipendenti tra
  loro
• Il processo di ingresso complessivo è
  indipendente dal processo di servizio

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Sistemi a coda multiservente

• La richiesta in arrivo è servita subito se trova
  almeno una risorsa (servente) disponibile,
  altrimenti è rifiutata.
• Tali sistemi hanno rilevante interesse nello
  studio delle reti telefoniche.

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Modelli per sistemi di commutazione telefonici

• Le sorgenti di traffico telefonico presentano
  richieste di connessione (tentativi di chiamata).
• Il servente del sistema di commutazione (indicato
  con il termine generico di giunzione) esplica le
  funzioni necessarie a supportare la chiamata.
• Si indica con il termine congestione la
  condizione in cui si trova il sistema di
  commutazione quando, al presentarsi di un
  tentativo di chiamata, non è in grado di
  effettuare la connessione.

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Sistema a coda M/M/m/0/?

• Ipotesi
• tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione
  esponenziale negativa (l)
• tempi di servizio i.i.d. con distribuzione
  esponenziale negativa (m)
• processi di arrivo e di servizio statisticamente
  indipendenti.
• m serventi, statisticamente identici ed
  indipendenti
• capacità nulla della fila dattesa.
• Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante
  un processo di Markov di nascita e morte con
  spazio di stato 0,, m.
• Il processo di coda K(t) è ergodico per ogni
  valore positivo di l e µ (coda a perdita)

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Evoluzione temporale

• Il numero di utenti nel sistema coincide con il
  numero di serventi contemporaneamente occupati

ingresso
3
2
servizio
1
K(t)
3
2
1
0
t
24
Frequenze di transizione di stato

• lkl per 0?k ? m-1 frequenza di nascita
• mkkm per 1 ? k ? m frequenza di morte

l
l
l
l
l
0
1
2
m-1
m
. . .
m
2m
3m
mm
(m-1)m
25
Probabilità limite di stato

• Per l equilibrio dei flussi si ha (come nel caso
  M/M/1)
• per 1 ? k ? m
• inoltre da cui
• posto A0l/m traffico offerto al sistema, risulta

26
Probabilità di congestione di chiamata

• Nel caso di processo di ingresso di Poisson, dato
  che la probabilità di r.s.o. é indipendente dallo
  stato, si ha
• Nel caso di sistema a coda M/M/m/

FORMULA B DI ERLANG
27
Formula B di Erlang

• Lespressione della probabilità di sistema
  bloccato e di rifiuto per un sistema a coda M/M/m
  a perdita in senso stretto é denominata anche
  funzione di Erlang del 1 tipo di ordine m e di
  argomento Ao
• Gode inoltre della proprietà di calcolo di tipo
  ricorsivo, infatti
• con il primo elemento pari a

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Formula B di Erlang

• La grande importanza della formula B di Erlang
  risiede anche nel fatto che essa risulta valida
  qualsiasi sia la distribuzione dei tempi di
  servizio (ferma restando lipotesi di i.i.d).
• In condizioni di equilibrio statistico la
  distribuzione del numero di utenti nel sistema è
  funzione del solo tempo medio di servizio 1/m e
  non della distribuzione del tempo di servizio
  stesso

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Parametri prestazionali

• Intensità media di traffico smaltito As, che
  rappresenta il numero medio di serventi
  contemporaneamente occupati, dipende da Ao e dal
  numero di serventi m
• Intensità media di traffico rifiutato
• Coefficiente di utilizzazione del servente

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Probabilità di rifiuto in funzione di m

• La probabilità di rifiuto, a parità di A0,
  decresce al crescere del numero di serventi m

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Dimensionamento di m in funzione di Pp

• La probabilità di rifiuto è, a parità di m, una
  funzione monotona crescente di A0

32
Probabilità di rifiuto in funzione di A0
33
r in funzione di A0 (1)
Numero di serventi (scala logaritmica)
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r in funzione di A0 (2)

• A parità di congestione di chiamata, sistemi con
  elevato numero di serventi presentano, in
  condizioni di equilibrio statistico, un
  rendimento MIGLIORE rispetto a sistemi con pochi
  serventi.

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Esempio numerico 1

• Traffico offerto ad una linea telefonica Ao100
  Erl
• Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di
  circuiti in modo tale che la probabilità di
  rifiuto rimanga sotto l1
• Si supponga ora di ripartire tale traffico
  uniformemente su n fasci con n2, 4, 10 ,25, 50,
  100
• Si può notare come allaumentare di n aumenta il
  numero di fasci necessari e diminuisce il r di
  ogni singolo fascio

m117
36
B di Erlang dimensionamento del sistema

• Dimensionamento del sistema stimato il traffico
  offerto A0 e fissato il valore massimo per la
  probabilità di congestione di chiamata Pmax,
  determinare m
• trovare il più piccolo valore di m tale per cui
• tale valore può essere facilmente determinato per
  tentativi a partire da m1
• il valore effettivo della congestione di chiamata
  potrà risultare inferiore a Pmax

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B di Erlang valutazione delle prestazioni

• Valutazione delle prestazioni dato il numero dei
  serventi ed il traffico offerto, determinare la
  probabilità di di congestione di chiamata
• Va notato che solitamente è noto il traffico
  smaltito As e il numero di serventi m da cui si
  può stimare A0 attraverso la relazione seguente
• Una volta calcolato A0 si calcola la probabilità
  di congestione di chiamata

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Esempio numerico 2 (1)

• Si consideri un centralino telefonico automatico
  (PABX) di una grande azienda. Il centralino è
  collegato alla rete telefonica nazionale (RTN)
  tramite un certo numero di linee bidirezionali.
• Si consideri inoltre che
• nellora di punta gli utenti attestati al
  centralino formulano mediamente 140 chiamate
  dirette verso la RTN
• nellora di punta il numero di chiamate
  provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti
  del PABX è mediamente 180
• il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti
  è Poissoniano
• la distribuzione di probabilità delle durate
  delle conversazioni è di tipo esponenziale
  negativo con valor medio pari a 3 minuti
• la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si
  possono inserire linee solo a gruppi di 4
• il PABX è del tipo a perdita pura.
• Si determini il numero di linee necessario a
  garantire un servizio con congestione di chiamata
  non superiore all1.
• Calcolare inoltre la frequenza massima delle
  chiamate consentita nellora di punta.

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Esempio numerico 2 (2)

• Il PABX può essere modellato con un sistema a
  coda del tipo M/M/m in cui m è il numero di linee
  tra PABX e RTN
• Si calcola il traffico globale offerto. Questo è
  pari alla somma del traffico uscente
• e del traffico entrante
• quindi

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Esempio numerico 2 (3)

• Per calcolare il numero di linee necessario a
  garantire una probabilità di congestione di
  chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più
  piccolo m tale per cui
• Si ottiene in tal caso m25
• A causa del vincolo sulla modularità il numero di
  linee da inserire sarà pari quindi a m28
• Dato tale numero di linee la congestione di
  chiamata sarà notevolmente inferiore a quella
  richiesta infatti

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Esempio numerico 2 (4)

• Per determinare la frequenza massima delle
  chiamate consentita nellora di punta si calcola
  prima il valore di A0,max tale per cui
• da cui si ricava A0,max 18.64
• per cui

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Esempio numerico 3 (1)

• Si consideri il PABX dellesempio 1 dimensionato
  con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla
  Rete Telefonica Nazionale.
• A distanza di tempo dalla sua installazione si
  vuole valutare la qualità di servizio offerta
  sapendo che a seguito di una campagna di misure
  si è riscontrato, nellora di punta, un valore di
  intensità media di traffico smaltito pari a circa
  20.42 Erl.

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Esempio numerico 3 (2)

• Dato il traffico smaltito misurato si può
  ricavare il traffico offerto al sistema
  risolvendo lequazione
• da cui si ha
• Per quanto riguarda il valore di congestione di
  chiamata, si ha
• Il PABX non è più in grado di rispettare il
  vincolo sul grado di servizio. Le prestazioni
  sono variate, ad esempio, per un leggero
  incremento dellutenza. Bisognerà quindi
  ridimensionare il numero di linee per riportare
  la probabilità di rifiuto sotto la soglia dello
  0.01