Hulgateooria

1
Hulgateooria

• 3. detsember 2015. a.

2
Matemaatikuid, hulgateoreetikuid

• Georg Cantor
• John Venn
• George Boole
• Augustus DeMorgan

3
Georg Cantor 1845 -1918

• hulgateooria rajaja
• esialgu hulgateooriat ei tunnustatud, sest oli
  täiesti erinev
• tänapäeval kasutavad hulgateooriat enamus
  matemaatika harudest

4
John Venn 1834-1923

• uuris loogikat ja tõenäosusteooriat
• mõtles välja lihtsa viisi hulgateooria tehete
  graafiliseks kujutamiseks (Venni diagrammid)

5
Mis on hulk?

• Hulgateooria põhimõiste
• Hulga all mõistetakse objektide kogumit.
• Hulki tähistatakse suurte tähtedega A B C ... .
• Hulka moodustavaid objekte nimetatakse hulga
  elementideks
• Hulga elemente tähistatakse väikeste tähtedega a
  b c

6
Hulk võib olla
lõplik koosneb lõplikust arvust elementidest A 1, 3, 5, 12
lõpmatu sisaldab lõpmatult palju elemente N 1, 2, 3, 4,
tühi ei sisalda mitte ühtegi elementi tähistatakse ?
7
Hulkade esitamine

• loetelu
• A kevad suvi sügis talv
• eeskiri
• X x x on positiivne arv
• kõikide selliste x-de hulk, mille korral x on
  positiivne arv
• Hulga elemendid asetatakse loogeliste sulgude
  sisse
•  

8
Venni diagramm

• Kasutatakse hulkade graafiliseks kujutamiseks

• eraldiseisvad hulgad A ja B
• hulkadel C ja D on ühiseid elemente

A
B
D
C
9
Elemendi kuuluvus hulka

• Elemendi kuuluvust hulka märgitakse sümboliga ?
  (kuulub hulka) ja mitte-kuuluvust sümboliga ? (ei
  kuulu hulka)

• Kui on antud hulk
• S a e i o u õ ä ö ü, siis
• a?S t?S
• o?S v?S

10
Hulkadevahelised seosed

• hulkade võrdsus
• osahulk
• hulkade ühisosa
• hulkade ühend

11
Hulkade võrdsus

• Ühtedest ja samadest elementidest koosnevaid
  hulki nimetatakse võrdseteks
• Hulkade võrdsuse tähistamiseks kasutatakse
  sümbolit
• On hulgad
• X0 1 2 3 4
• Y4 3 2 1 0
• Nendel hulkadel on ühed ja samad elemendid,
  seega X Y

12
Osahulk

• Kui ühe hulga iga element kuulub teise hulka,
  siis nimetatakse esimest hulka teise osahulgaks
• On hulgad
• A3 5 8
• B2 3 4 5 8
• C2 3 7
• Et hulga A iga element kuulub ka hulka B, siis
  hulk A on hulga B osahulk A?B.
• Et hulga C iga element ei kuulu hulka B, siis
  hulk C ei ole hulga B osahulk C?B.

K
L
13
Hulkade ühisosa

• Kahe hulga kõigi ühiste elementide hulka
  nimetatakse nende hulkade ühisosaks
• On hulgad
• B 2 3 4 5 8
• C2 3 7
• Hulkade C ja B ühisosa on hulk, kus on kõik hulga
  B elemendid, mis kuuluvad ka hulka C
• C ? B 2 3
• Kui element 2 on hulkade B ja C ühine element,
  siis kirjutatakse 2?B ? 2?C
• sümbol ? tähendab sidesõna ja

14
Hulkade ühend

• Kõigi elementide hulka, mis kuuluvad vähemalt
  ühte kahest hulgast, nimetatakse nende hulkade
  ühendiks
• On hulgad
• B 2 3 4 5 8
• C 2 3 7
• Hulkade B ja C ühend on hulk, kus on kõik hulga B
  elemendid ja lisaks veel hulgast C need
  elemendid, mida hulgas B ei ole
• B ? C2 3 4 5 7 8
• Kui element 7 kuulub vähemalt ühte hulkadest B
  või C, siis kirjutatakse 7?B V 7?C
• sümbol V tähendab sidesõna või

15

• Ühendi ja ühisosa moodustamisel on omadusi, mis
  on samalaadsed arvude liitmise ja korrutamise
  omadustega
• Seepärast nimetatakse ühendi ja ühisosa
  moodustamist ka teheteks hulkadega

16
Jäta meelde sümbolid

• ? - element kuulub hulka
• ? - element ei kuulu hulka
• ? - tühihulk
• A ? B hulk A on hulga B osahulk
• C ? B hulk C ei ole hulga B osahulk
• A ? B hulkade A ja B ühisosa
• A ? B hulkade A ja B ühend
• ? - sidesõna ja
• V sidesõna või

17
Arvuhulgad
18
Naturaalarvude hulk

• Naturaalarvud on tekkinud esemete loendamise
  vajadusest
• Naturaalarvud on 1 2 3 n 1 n n 1
• Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N

19
Naturaalarvude hulga omadused

• Igale naturaalarvule järgneb vahetult üks
  naturaalarv
• Naturaalarvude hulk on lõpmatu
• Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja
  korrutamise suhtes
• hulk on kinnine mingi tehte suhtes, kui selle
  hulga liikmetega tehtud tehte tulemus kuulub
  samasse hulka
• Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja
  jagamise suhtes

20
Täisarvud

• Naturaalarvude hulga N täiendamisel arvuga 0 ja
  arvude 1 2 3 n 1 n n 1
  vastandarvudega saame täisarvude hulga
• Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z
• Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse Z
• Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse Z
• Z 0 1 2 3

21
Täisarvude hulga omadused

• Täisarvude hulk on järjestatud
• Täisarvude hulgas ei ole suurimat ja vähimat arvu
• Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise
  ja korrutamise suhtes

22
Ratsionaalarvud

• Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis on
  esitatav kahe täisarvu jagatisena
• a/b, (b ? 0)
• Kõik täis- ja murdarvud kokku moodustavad
  arvuhulga, mida nimetatakse ratsionaalarvude
  hulgaks
• Ratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega Q

23
Arvuhulgad

• N ? Z ? Q

rr
Ratsionaalarvud
Täisarvud
Naturaalarvud
24
Irratsionaalarvude hulk

• Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise
  kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks
• Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I
• Näited ? e
• arv e, nn Euleri arv Šveitsi matemaatiku Leonhard
  Euleri auks
• e 2,71828182845904523536

25
Reaalarvude hulk

• Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude
  hulk I moodustavad reaalarvude hulga
• Reaalarvude hulka tähistatakse tähega R
• Def. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe
  numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks

26
Reaalarvude hulga omadused

• Reaalarvude hulk on pidev
• Reaalarvude hulk on järjestatud, s.t. iga kahe
  erineva reaalarvu a ja b korral on õige üks
  väidetest kas a ? b või b ? a
• Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise,
  korrutamise ja jagamise suhtes