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L

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Title: Fundamentos da Computa o Author: Jorge Muniz Barreto Last modified by: Laboratorio Centro Tecnologico Created Date: 3/24/1999 5:53:52 PM – PowerPoint PPT presentation

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Transcript and Presenter's Notes

Title: L


1
Lógica Lógicas Clássicas Lógicas Não-Clássicas
Prof. Dr. Jorge M. Barreto - UFSC-INE
2
Súmula
  • Introdução e Histórico
  • Lógicas Clássicas
  • Cálculo das Proposições
  • Cálculo dos Predicados
  • Sintaxe
  • Semântica
  • Regras de Inferência
  • Árvore de Refutação
  • Prova Automática de Teoremas
  • Lógicas Não-Clássicas
  • Lógica Modal, Lógicas Multivalores, Lógica
    Temporal

3
Introdução e Histórico
  • Introdução
  • É dificil dar uma definição precisa de Lógica.
  • Logic is the systematic study of the structure
    of propositions and of the general conditions of
    valid inference by a method which abstracts from
    the content or matter of the propositions and
    deals only with their logical form Encyclopaedia
    Brittanica
  • Importância como teoria matemática.
  • Adequada como método de representação de
    conhecimento.
  • É SISTEMA FORMAL SIMPLES QUE APRESENTA UMA
    TEORIA SEMÂNTICA INTERESSANTE DO PONTO DE VISTA
    DA REPRESENTAÇÃO DO CONHECIMENTO.
  • Ainda hoje grande parte da pesquisa em IA está
    ligada direta ou indiretamente à Lógica.

4
Introdução e Histórico
  • Histórico
  • Longa história de mais de 23 séculos.
  • Aristóteles, na Grécia Antiga, sistematizou e
    codificou os fundamentos da lógica. Silogismo é
    um discurso no qual, tendo-se afirmado algumas
    coisas, algo além destas coisas se tornam
    necessariamente verdade. Aristóteles, Primeira
    Analítica, Livro I, 24a
  • Em 1847, George Boole propôs uma linguagem formal
    que permite a realização de inferências.
  • Lógica Moderna ( 1879), Gottlob Frege publicou a
    1a. versão do Cálculo de Predicados.
  • Russel e o Positivismo - Lógica como base para
    todas as outras ciências.
  • David Hilbert, Guiseppe Peano, Georg Cantor,
    Ernst Zermelo, Leopold Lowenheim e Thoralf Skolem.

5
Introdução e Histórico
  • Histórico
  • Um sistema lógico como sistema formal, consiste
    em um conjunto de fórmulas e um conjunto de
    regras de inferência.
  • As fórmulas são sentenças pertencentes a uma
    linguagem formal cuja sintaxe é dada.
  • A parte de lógica que estuda os valores de
    verdade é chamada teoria de modelos.
  • Uma regra de inferência é uma regra sintática que
    quando aplicada repetidamente a uma ou mais
    fórmulas verdadeiras gera apenas novas fórmulas
    verdadeiras.
  • A seqüência de fórmulas geradas através da
    aplicação de regras de inferência sobre um
    conjunto de inicial de fórmulas é chamada de
    prova.
  • A parte de lógica que estuda as provas é chamada
    teoria de provas.

6
Introdução e Histórico
  • Histórico
  • Gödel e Herbrand na década de 30 mostraram que
    toda e qualquer fórmula verdadeira pode ser
    provada.
  • Church e Turing em 1936 mostraram que não existe
    um método geral capaz de decidir, em um número
    finito de passos, se uma fórmula é verdadeira.
  • Um dos primeiros aplicações da Lógica foi a Prova
    Automática de Teoremas, a partir da segunda
    metade da década de 60.
  • A partir de Kowalsky (1973) lógica passou a ser
    estudada com método computacional para a solução
    de problemas.
  • O método explora o fato de expressões lógicas
    poderem ser colocadas em formas canônicas (apenas
    com operadores e, ou e não).

7
Introdução e Histórico
  • Histórico
  • Teoria da Resolução de Robinson - 1965.
    Transforma a expressão a ser provada para a forma
    normal conjuntiva ou forma clausal. Existe uma
    regra de inferência única, chamada regra da
    resolução. Utiliza um algoritmo de casamento de
    padrões chamado algoritmo de unificação.
  • Base para a Linguagem Prolog.
  • Recentemente Lógicas Não-Padrão ou Não-Clássicas
    tem sido cada vez mais utilizadas, não somente em
    IA. Ex Lógica Temporal tem sido utilizada em
    estudos de programas concorrentes.
  • Em IA estas lógicas vem sendo usadas para
    tratamento de imprecisão, informações incompletas
    e evolução com o tempo em que evolui o problema
    tratado por IA.

8
Lógicas Clássicas
  • Cálculo das Proposições
  • O Cálculo das Proposições se interessa pelas
    SENTENÇAS DECLARATIVAS, as PROPOSIÇÕES, que podem
    ser Verdadeiras ou Falsas.
  • No âmbito da IA, a lógica permite a representação
    de conhecimento e o processo de raciocínio para
    um sistema inteligente.
  • Como uma linguagem para representação de
    conhecimento no computador, ela deve ser definida
    em dois aspectos, A SINTAXE e a SEMÂNTICA.
  • A SINTAXE de uma linguagem descreve as possíveis
    configurações que podem constituir sentenças.
  • A SEMÂNTICA determina os fatos do mundo aos quais
    as senteças se referem., ou seja, ou sistema
    acredita na sentença correspondente.

9
Lógicas das Proposições
  • Sintaxe das Proposições
  • ltfórmulagt ltfórmula-atômicagt
    ltfórmula-complexagt
  • ltfórmula-atômicagt Verdadeiro Falso P Q
  • R ...
  • ltfórmula-complexagt (ltfórmulagt)
  • ltfórmulagt ltconectivogt ltfórmula gt
  • ? ltfórmulagt
  • ltconectivogt ? ? ? ?
  • Hoje é segunda ou terça-feira.
  • Hoje não é terça-feira.
  • Logo, Hoje é segunda-feira.
  • S V T, ? T ? S

10
Cálculo das Proposições
  • Semântica do Cálculo das Proposições
  • A semântica é definida especificando a
    interpretação dos símbolos da proposição e
    especificando o significado dos conectivos
    lógicos.
  • Uma fórmula tem uma interpretação a qual define a
    semântica da linguagem. A interpretação pode ser
    considerada um mapeamento do conjunto das
    fórmulas para um conjunto de valores de verdade,
    que na Lógica dicotômica é o conjunto
    verdadeiro,falso ou V,F.

P
Q
? P
P ? Q
P V Q
P ? Q
P ? Q
11
Cálculo das Proposições
  • Tabelas Verdade
  • Elas fornecem um teste rigoroso e completo para a
    validade ou invalidade de formas de argumento do
    cealculo das proposições. Quando existe um
    algoritmo que determina se as formas de argumento
    expressáveis em um sistema formal são válidas ou
    não, esse sistema é dito DECIDÍVEL. Desta forma,
    elas garantem a decidibilidade da lógica
    proposicional.
  • Uma forma de argumento é válida sss todas as suas
    instâncias são válidas.
  • Uma instância de argumento é válido se sua
    conclusão for verdade se suas premissas o forem.
  • Se a forma for válida, então qualquer instância
    dela sera igualmente válida. Assim a
    Tabela-Verdade serve para estabelecer a validade
    de argumentos específicos.

12
Cálculo das Proposições
  • Tabelas Verdade para Formas de Argumento
  • Tabelas-Verdade podem ser usadas, não apenas para
    definir a semântica do conectivos, mas também
    para testar a validade de sentenças.
  • Exemplo
  • A Rainha ou a Princesa comparecerá à cerimônia.
  • A Princesa não comparecerá.
  • Logo, a Rainha comparecerá.
  • R ? P, ? P ? R

P ? R
P
R
? P
R
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
13
Cálculo das Proposições
  • Regras de Inferência
  • Sejam as fórmulas f1, f2, ..., fn (n?1) e C.
    Então, toda seqüência finita de fórmulas,
    consequencia de regras de inferência tem como
    conseqüência final C, chama-se PROVA.
  • Um ARGUMENTO é uma seqüência de enunciados no
    qual um deles é a CONCLUSÃO e os demais são as
    PREMISSAS que servem para provar ou, pelo menos,
    fornecer algumas evidências para a conclusão.
  • Evita o trabalho tedioso de ficar construindo
    Tabelas-Verdade.
  • ? - ? significa que ? pode ser derivado de ?
    através do processo de inferência, onde ? e ? são
    fórmulas bem formadas.

14
Cálculo das Proposições
  • Regras de Inferência
  • REGRAS BÁSICAS

15
Cálculo das Proposições
16
Lógicas das Proposições
17
Cálculo das Proposições
18
Cálculo das Proposições
19
Cálculo das Proposições
20
Cálculo das Proposições
21
Cálculo das Proposições
22
Cálculo das Proposições
  • Regras de Inferência
  • REGRAS DERIVADAS

23
Cálculo das Proposições
24
Cálculo das Proposições
25
Cálculo das Proposições
26
Cálculo das Proposições
  • Regras de Inferência, Exemplos
  • Se há jogo na Ressacada, então viajar de avião é
    difícil.
  • Se eles chegarem no horário no aeroporto, então
    a viagem de avião não será difícil.
  • Eles, chegaram no horário.
  • Logo, não houve jogo na Ressacada.

27
Cálculo das Proposições
  • Equivalência
  • É um bicondicional que é um teorema.

28
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • São uma outra maneira de garantir a
    decidibilidade da Lógica Proposicional.
  • REGRAS PARA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO
  • 1. Inicia-se colocando-se as PREMISSAS e a
    NEGAÇÃO DA CONCLUSÃO.
  • 2. Aplica-se repetidamente uma das regras a
    seguir
  • 2.1. Negação (?) Se um ramo aberto contém uma
    fórmula e sua negação, coloca-se um X no final
    do ramo, de modo a representar um ramo fechado.
  • (um ramo termina se ele se fecha ou se as
    fórmulas que ele contém são apenas
    fórmulas-atômicas ou suas negações, tal que mais
    nehuma regra se aplica às suas fórmulas. Desta
    forma tem-se um ramo fechado, que é indicado por
    um X, enquanto o ramo aberto não é representado
    por um X.)

29
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.2. Negação Negada (? ?) Se um ramo aberto
    contém uma fórmula não ticada da forma ? ? Ø,
    tica-se ? ? Ø e escreve-se Ø no final de cada
    ramo aberto que contém ? ? Ø ticada.
  • 2.3. Conjunção (?) Se um ramo aberto contém uma
    fórmula não ticada da forma Ø ? ß, tica-se, Ø?ß e
    escreve-se Ø e ß no final de cada ramo aberto
    que contém Ø ? ß ticada.

A árvore de refutação está COMPLETA, isto é, com
todos os ramos fechados, logo, a busca de uma
refutação para o argumento de negar a conclusão
falhou, pois só encontrou contradições, e
portanto, a FORMA É VÁLIDA.
1. P ? Q 2. ? ? ? P 3. P 1 ? 4. Q 1 ? 5. ? P 2
? ? 6. X 3 ?
P ? Q
? ? P
30
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.4. Conjunção Negada (? ?) Se um ramo aberto
    contém uma fórmula não ticada da forma ? (Ø?ß),
    tica-se, ? (Ø?ß) e BIFURCA-SE o o final de cada
    ramo aberto que contém ? (Ø ? ß) ticada, no final
    do primeiro ramo se esreve ? Ø e no final do
    segundo ramo se escreve ? ß.

? (P ? Q)
? P ? ? Q
1. ? (P ? Q) 2. ? (? P ? ? Q)
?
?
3. ? P (1 ? ?) ? Q (1 ? ?)
4. ? ? P (2 ? ?) ?? ? Q (2 ? ?) ?? ? P (2
? ?) ? ? Q (2 ? ?) 5. X (3,4 ?)
Q (4? ?) P (4? ?) X
(3,4 ?)
O exemplo acima nos mostra que há dois ramos
abertos, conseqüentemente a fórmula é inválida, o
que significa que estes ramos são contra-exemplos.
31
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.5. Disjunção (v) Se um ramo aberto contém uma
    fórmula não ticada da forma Øvß, tica-se, Øvß e
    BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto que
    contém Ø v ß ticada, no final do primeiro ramo se
    esreve Ø e no final do segundo ramo se escreve ß.

? Q
P v Q, P
1. P v Q 2. P 3.
? ? Q 4.
Q (3 ? ?)
?
?
5. P (1 v) Q (1 v)
O exemplo acima nos mostra que há dois ramos
abertos, conseqüentemente a fórmula é inválida, o
que significa que estes ramos são contra-exemplos.
32
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.6. Condicional (?) Se um ramo aberto contém
    uma fórmula não ticada da forma Ø ? ß, tica-se, Ø
    ? ß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto
    que contém Ø? ß ticada, no final do primeiro ramo
    se esreve ? Ø e no final do segundo ramo se
    escreve ß.

P ? Q, Q ? R, P
R
1. P ? Q 2. Q ? R 3.
P 4. ? R
Como a árvore completa está fechada, a
refutaçao enpreendida falha e a forma é válida.
?
?
5. ? P (1 ? ) Q (1
v) 6. X (3,5 ? ) 7. ? Q (2 ? )
? R (2 ? ) 8. X (5,7 ? ) X (4,7
? )
33
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.7. Disjunção Negada (? v) Se um ramo aberto
    contém uma fórmula não ticada da forma ? (Øvß),
    tica-se, ? (Øvß) e ESCREVE-SE ? Ø e ? ß no final
    de cada ramo aberto que contém ? (Øvß) ticada.

P v Q
P ? Q
1. P ? Q 2. ? (P v Q) 3.
? P (2 ? v) 4.
? Q (2 ? v)
?
?
5. ? P (1 ? ) Q (1 ?
) 6. X (4,5 ? )
O ramo aberto indica que a forma é inválida
34
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.8. Condicional Negado (? ?) Se um ramo aberto
    contém uma fórmula não ticada da forma ?(Ø?ß),
    tica-se, ? (Ø ? ß) e ESCREVE-SE Ø e ? ß no final
    de cada ramo aberto que contém ? (Ø?ß) ticada.

? P ? ? Q
P ? Q
1. ? P ? Q 2. ? (P
? Q) 3.
P (2 ? ? ) 4. ? Q (2 ? ? )
?
?
5. ? ? ? P (1 ? ) ?
Q (1 ? ) 6. P (5 ? ? )
Os ramos abertos indica que a forma é inválida
35
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.9. Bicondicional (?) Se um ramo aberto contém
    uma fórmula não ticada da forma Ø ? ß, tica-se, Ø
    ? ß e BIFURCA-SE o o final de cada ramo aberto
    que contém Ø ? ß ticada, no final do primeiro
    ramo se esreve Ø e ß e no final do segundo ramo
    se escreve ? Ø e ? ß.

? Q
P ? Q, ? P
36
Cálculo das Proposições
  • Árvores de Refutação
  • 2.10. Bicondicional Negado (? ?) Se um ramo
    aberto contém uma fórmula não ticada da forma ?
    (Ø ? ß), tica-se, ? (Ø ? ß) e BIFURCA-SE o o
    final de cada ramo aberto que contém ? (Ø ? ß)
    ticada, no final do primeiro ramo se esreve Ø e
    ?ß e no final do segundo ramo se escreve ? Ø e
    ß.

P, P ? Q
P ? Q
As Tabelas-Verdade garantem a decidibilidade da
lógica proposicional, porém elas são enfadonhas e
ineficazes(NP-COMPLETAS) para um número muito
grande de fórmulas-atômicas. Já as árvores de
refutação fornecem um algoritmo mais eficaz para
executar as mesmas tarefas.
37
Pucha! Ainda bem que acabou!
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