Equa

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Equações diferenciais ordinárias
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Problemática

• Equações diferencias aparecem em modelos que
  descrevem quantitativamente fenômenos em diversas
  áreas.
• Equações diferenciais são equações que envolvem
  derivada das funções.
• Por exemplo, num movimento uniforme, temos
  V0 é uma velocidade constante.

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Equação diferencial ordinária

• Uma equação diferencial é ordinária somente se
  ela tem uma variável independente
• Uma solução de uma equação diferencial ordinária
  é uma função de variável independente que
  satisfaça a equação

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Ordem, linearidade

• A ordem de uma equação diferencial é o grau mas
  alta de derivação da equação y0 é de terceira
  ordem.
• Uma equação diferencial é linear se a função e
  suas derivadas aparecem linearmente na equação
  xyx-y é linear, yy²yy0 não é linear.

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Solução única

• Uma equação diferencial não possui uma solução
  única. Para individualizar uma solução única
  devemos impor condições suplementares.
• Por exemplo, y(0)1 y(4)0 ....

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Problema de valor inicial, de valor de contorno

• Dada uma equação de ordem m, se a função como
  suas derivadas até ordem m-1 são especificadas
  num mesmo ponto, é um problema de valor inicial.
• Se as condições não são todas dadas num mesmo
  ponto, temos um problema de valor de contorno.

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Problema de valor inicial

• A razão maior do uso de métodos numéricos para
  encontrar solução de equações diferenciais é o
  fato que não existe sempre soluções analíticas.
• Em muitos casos a teoria garante a existencia e
  unicidade da solução, mas não produz a solução
  analítica.

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Método numérico

• PVI Estudo do caso
• Vamos considerar x1, ..., xn igualmente espaçados
  (xk1-xkh) (condição não necessária mas útil) e
  vamos calcular yiy(xi) para cada ponto usando as
  informações dos pontos anteriores.

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Método numérico

• Se para determinar yj precisamos somente de yj-1,
  o método é de passo simples. Se precisamos de
  mais valores, o método é de passo múltiplo.
• No caso de PVI, temos uma aproximação inicial
  para y(x0), o método é auto-iniciante.

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Método de Euler

• Conhecendo x0 e y0y(x0), podemos calcular
  f(x0,y0)y(x0).

• Nesse ponto, podemos aproximar a curva com a
  tangente em x0 y(x0)(x-x0)y(x0). Escolhido h
  (xk1-xk), podemos aproximar y1 com
  y1y0hf(x0,y0).
• O raciocino é repetido e assim, temos
• yk1ykhf(xk,yk)

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Método de série de Taylor

• A serie de Taylor de y em torno de xxn é
• Considerando hxn1-xn, temos
• Com erro de truncamento

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Método de série de Taylor

• Para aplicar esse método de ordem k, temos que
  calcular y, y, ..., y(k)
• yf(x,y(x)), y(x)fx(x,y(x))y(x)fy(x,y(x)),
  ..
• y
• Podemos ver a dificuldade dos cálculos. O método
  de Euler é o método de série de Taylor de ordem 1.

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Exemplo
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Método de Runge-Kutta

• A idéia do método é aproveitar as qualidades dos
  métodos de série de Taylor precisão e ao mesmo
  tempo eliminar seu maior defeito calculo de
  derivadas de f(x,y). Basicamente,
• São de passo 1
• Não exigem cálculo de derivada
• Coincide com a expressão do método de serie de
  Taylor

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Método de Runge-Kutta

• Ordem 1 o método de Euler satisfaz as
  características precedentes, ela é o método de
  Runge-Kutta de ordem 1.

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Método de Euler Aperfeiçoado

• O método de Euler aperfeiçoado usa, no lugar da
  inclinação da tangente num ponto

para aproximar o ponto seguinte, a media das
inclinações no ponto e no ponto seguinte.
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Runge-Kutta de ordem 2

• No caso de Euler aperfeiçoado, obtemos
• A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de ordem
  2 é a seguinte

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Runge-Kutta de ordem 3
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Runge-Kutta de ordem 4