PROBABILIDADES

1
PROBABILIDADES
2
CONCEPTOS BÁSICOS

1. Experimento Proceso de realizar una observación
   o una medición.
2. Experimento Aleatorio ( E ) Experimento en que
   son posibles más de un resultado, los cuales
   pueden ser indicados con anterioridad, y se puede
   repetir muchas veces bajo las mismas condiciones
3. Espacio Muestral ( S ) Conjunto de todos los
   posibles resultados de un experimento aleatorio.

3
Ejemplos de Espacio Muestral

• E1 Se lanza un dado y se cuenta el número de
  puntos que aparecen en la cara superior.
• S1 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

4
Ejemplos de Espacio Muestral

• E2 Se lanza una moneda 4 veces y se cuenta el
  número de caras obtenidas.
• S2

5
Ejemplos de Espacio Muestral

• E3 Se enciende una ampolleta y se anota el
  tiempo que transcurre hasta que se quema.
• S3

6
Ejemplos de Espacio Muestral

• E4 Se lanza una moneda dos veces, se
• registra el signo que aparece.
• S4

7
Ejemplos de Espacio Muestral

• E5 Salen artículos en una línea de producción.
  Se cuenta el número de artículos defectuosos
  producidos.
• S5
  
• n Total de artículos producidos

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Ejemplos de Espacio Muestral

• E6 Una caja contiene 10 fichas, de las cuales 3
  son verdes. Se extrae al azar una ficha después
  de otra y se cuenta el número de fichas sacadas
  de la caja , después de haber obtenido
• a.- La última ficha verde
• b.- La primera ficha verde

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SUCESO Ó EVENTO

• Sea E un Experimento y sea S un espacio
  muestral asociado a E, entonces A es un suceso si
  y solo si A se define como un conjunto de
  posibles resultados del experimento aleatorio, es
  decir un subconjunto del espacio muestral S.

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Observación 1.- Sean A y B dos suceso
asociados a un mismo experimento E , entonces
A ? B Es un nuevo suceso que ocurre si y
solo si ocurre A , ocurre B o ambos.
A ? B Es un nuevo suceso que ocurre si y solo
si ocurre A y ocurre B.
2.- Sean A1, A2,.......Ak, sucesos asociados a un
mismo experimento, entonces
A1 ? A2 ?. ? Ak Es un nuevo suceso que ocurre
si y solo si
ocurre al menos un Ai.
A1 ? A2 ?..... ? Ak Es un nuevo suceso que
ocurre si y solo si ocurren todo
los Ai a la vez.
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SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES(SME)

• Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo
  espacio muestral S, se dice A y B son sucesos
  Mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos
  a la vez. Es decir si la intersección es vacía .
• Si A ? B ? ? A y B son SME

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FRECUENCIA RELATIVA

• Sea E un experimento, y sea A un suceso
  asociado a E. Supongamos que el experimento E se
  realiza n veces, y que nA son las veces que
  ocurre el suceso A, entonces se define Frecuencia
  Relativa al suceso A como

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FRECUENCIA RELATIVA

• Propiedades
• 1.- 0 ? ƒA ? 1
• 2.- ƒA 1 Si cada vez que se realiza
  el
  experimento ocurre A.
• 3.- ƒA 0 Si A nunca ocurre.
• 4.- Sean A, B SME , entonces ƒAUB ƒA ƒB
• e.d. Si A ? B ? ? ƒAUB ƒA ƒB

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FRECUENCIA RELATIVA

• Propiedades
• 5.- Si E se repite muchas veces, digamos
• infinitas, entonces ƒA tiende a la
• probabilidad de A ( P(A) )
• ƒA P(A)
• n ?

Intuitivo
15
Probabilidad

• Definición
• Sea E un experimento y sea S un espacio muestral
  asociado a E, entonces a todo suceso A, le
  asociaremos un número P(A), que llamaremos, la
  probabilidad de que el suceso A ocurra, y que
  tiene las siguientes propiedades

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Propiedades

1. 0 ? P(A) ? 1
2. P(S) 1
3. Sean A, B SME , es decir
   A ? B ? ? P(A ? B) P(A) P(B)
4. Sean A1, A2,...Ak SME de a pares, entonces P(A1
   ?.. ? Ak) P(A1)....P(Ak) ó
   P( ?Ai ) ? P(Ai )

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Teoremas Básicos

• 1.- P(?) 0
• 2.- Si A es el suceso complementario de A,
  entonces P(A) 1 P(A)
• 3.- Si A ? B entonces P(A) ? P(B)
• 4.- Sean A y B sucesos cualesquiera, entonces
• P(A ? B) P(A) P(B) - P(A?B)

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Teoremas Básicos

• 5.- Sean A, B, C sucesos cualesquiera,
  entonces
• P(A?B?C) P(A) P(B) P(C) - P(A ?B) - P(A
  ?C) - P(B ?C) P( A ?B ? C )

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Ejercicio 1

• Sea P( A ) x
• P( B ) y
• P( A?B ) z
• Determine
• _
• 1.- P( A ? B )
• _ _
• 2.- P ( A ? B )

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Ejercicio 2

• Sea
• P(A)P(B)P ( C ) ¼ , P(A?B) P(A?C) 1/8 y
• P(B?C) 0 , Determine P(A ? B ? C)

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Espacios Muestrales Finitos

• Sea E un experimento y sea S
  s1,s2,....sk un
• espacio muestral finito, a cada suceso de la
  forma
• si si lo llamaremos suceso elemental.
• ( el formado por un solo elemento)
• Definición A cada suceso elemental si, le
• asociaremos un número pi, que llamaremos,
• la probabilidad que el suceso si ocurra
• ( piP(si) ) y que cumple con las siguientes
• condiciones

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Espacios Muestrales Finitos

• Condiciones
• 1.- pi ? 0 i 1,2,......k
• 2.- ? pi 1

23
Espacios Muestrales Finitos

• Sea A ? S un suceso cualesquiera talque
• As1 , s2 ,----, sr r ? k
• luego
• A s1 ? s2 ? ---- ? sr
• por lo tanto P(A) p1 p2 ----- pr
  Prpp. 5

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Espacios Muestrales Finitos

• Ejemplo
• Supongamos que solo son posibles 3 resultados en
  un experimento aleatorio, de tal manera que S
  s1,s2,s3. Supongamos además que la ocurrencia
  de s1, es dos veces más probable que s2, y que s2
  es dos veces más probable que s3. cuál es el
  valor de p1,p2 y p3?

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Sucesos Equiprobables

• Dos sucesos se dicen que son equiprobables si
  tienen igual probabilidad.
• Sea S s1,s2,------sk y
• sea p1,p2,....,pk sus probabilidades
  respectivas, si los sucesos elementales son
  equiprobables.

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Sucesos Equiprobables

• De igual manera si A es un suceso cualesquiera
  tal que
• A s1,s2,------sr
• Donde, p1,p2,....,pr sus probabilidades
  respectivas, y equiprobables entonces
• P(A) r / k

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Sucesos Equiprobables

• Observación
• Si S es un espacio muestral, donde sus sucesos
  elementales son equiprobables y A ??S
  entonces
• P(A) A / S r / k
• A Números de elementos que tiene A y se
• lee el cardinal de A.

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Ejemplo
Sea E se lanza un dado equilibrado y se cuenta
el número de puntos que aparecen en la cara
superior. Determine
a.- El espacio muestral b.- Sea A sale un número
par B sale el dos o el tres
Determine
_
_ P(A) , P(B) , P(A?B) , P(A?B)
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Métodos de Enumeración

• 3.- Permutación
• Si tenemos n objetos distintos, y queremos
• ordenarlos tomando r de ellos. El número de
• formas de hacer esta operación, esta dado por

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Métodos de Enumeración

• 4.- Combinación
• Si tenemos n objetos y queremos escoger r de
  ellos
• sin que nos importe el orden. El número de
  maneras
• de hacer esta operación, esta dado por

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Métodos de Enumeración

• Observación
• 1.- n! Se lee n-factorial, y esta dado por
• n! n x (n-1) x (n-2) x ......x 3 x 2
  x1
• n x (n-1)!
• 2.- 0! 1

Ejemplo 5! 5 x 4 x 3 x 2 x 1 120
5 x 4! 120
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Tarea Nº__

• 1.- Demostrar
• a.-
• b.-

2.- Si en una oficina de 15 persona 8 son
mujeres, y se eligen al azar 4 para un trabajo.
Cual es la probabilidad de que a.- dos sean
mujeres? b.- al menos dos sean mujeres?
33

• Ejemplo
• Se lanza una moneda dos veces, se registra el
• signo que aparece determine
• 1.- El espacio muestral S.
• 2.- La probabilidad de que salga a lo menos un
  sello.
• 3.- La probabilidad de que salgan más caras que
  sello.

34
Probabilidad Condicional

• Supongamos que tenemos 100 artículos, 20 de
  ellos defectuosos. Se escogen al azar 2, uno
  después del otro, y se definen los siguientes
  eventos
• A el primer artículo es defectuoso
  B el segundo artículo es defectuoso.
• Determinar la probabilidad de A y B cuando el
  experimento se realiza
  a.- con reposición
  b.- sin reposición.

35
Probabilidad Condicional

• Notación
• P(B/A) Probabilidad de B dado que ocurrió el
  suceso A.
• En nuestro caso
• 
  P(B/A) y
  P(B/A)

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Probabilidad Condicional

• Ejemplo Se lanza un dado dos veces, el evento
  se anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el
  resultado del lanzamiento i ( i 1,2)
• 1.- Determine El espacio muestral S
• Si se definen A (X1 , X2) / X1 X2 8
  
  
  B (X1 , X2) / X1 gt X2
• 2.- Determine
• P(A), P(B), P(A? B), P( B/A), P(A/B)

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Probabilidad Condicional

• Definición

38
Ejemplo
Supongamos que en una oficina hay 100
computadores personales, 40 conectados a
Internet, de los cuales solo14 tienen lector
de disco compacto (CD), el total de
computadores con (CD) es de 30. Se extrae
uno del total de computadores al azar determine
la probabilidad de que
1.- este conectado a Internet. 2.- tenga lector
de CD y este conectado a Internet 3.- si esta
conectado a Internet, no tenga lector de CD. 4.-
si se extraen al azar 4 computadores, cuál es
la probabilidad de que al menos dos
tengan CD ?
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Desarrollo Sea A El computador esta conectado
a Internet. B El computador tiene
lector de CD.
Luego tenemos A A
Total B B
Total
Luego 1.- P(A) 2.- P(A???????
3.- P( B/A)
40
Ejemplo 2 De una caja que originalmente
contiene 2 fichas azules y una ficha blanca, se
extraen tres al azar, en cada extracción, se
saca una, se registra el color y luego se
devuelve a la caja junto con dos fichas del
mismo color. Calcule la probabilidad de
que a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al
menos una ficha blanca. b.- Solo dos fichas
sean blancas. c.- Al menos dos fichas sean
azules.
41
Definición Sean B1,B2,......Bk sucesos
asociados a un espacio muestral S. Si se
cumplen las siguientes condiciones i.- Bi??j
? ? i ? j 1,2,...,k ii.- ? Bi
S iii.- P( Bi ) ? 0 ? i i
1,2,...,k Entonces diremos que B1,B2,....Bk
forman una Partición del espacio muestral S
42
Sea A un suceso asociado a un espacio muestral S
y si B1,B2,....Bk una partición de S Luego A
(A??1) ? (A???) ? ........... ? (A???) aún cuando
algún A?? i ? ? i i 1,2,...,k por lo
tanto P(A) P((A??1) ? (A???) ? ..... ?
(A???)) nos queda P(A) P(A??1)
P(A??2).................... P (A?Bk)
Como
Luego tenemos
Esto se conoce como, Teorema de Probabilidad
Total
43
El Teorema de Probabilidad Total también se
puede Escribir como
44
Ejemplo Cierto artículo es manufacturado por
tres fábricas F1, F2, F3. Se sabe que la F1,
produce el doble de artículos que F2 y que esta y
F3, producen el mismo número de
artículos. También se sabe que el 2 de los
artículos producidos por las dos primeras (F1 y
F2), son defectuosos, mientras que el 4 de los
producidos por F3, es defectuoso. Se ponen todos
los artículos juntos, de las tres fábricas
Determine

• Cuál es la probabilidad de que el artículo
  escogido sea defectuoso?

• Si el artículo escogido es defectuoso, Cuál es
  la probabilidad de
• que sea de F1 ?

45
Generalizando tenemos
Sea E un experimento, S un espacio muestral,
B1.Bk. una partición de S. Entonces
Esto se conoce como Teorema de Bayes
46
Sucesos Independientes
Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio
muestral S Diremos que son Independientes, cuando
la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del
otro.
A y B son sucesos Independientes, si y solo si
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Sucesos Independientes

• Ejemplo Se lanza un dado dos veces, el evento
  se anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el
  resultado del lanzamiento i ( i 1,2)
• Si se definen A (X1 , X2) / X1 es par
  
  
  B (X1 , X2) / X2 es 4 o 5
• 2.- Determine
• P(A), P(B), P(A? B), P( B/A), P(A/B)

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Definición
Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio
muestral S Diremos que son Independientes si y
solo si
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Ejercicio
Suponga que 192 de 960 trabajos en una
universidad son de alta prioridad de éstos, 128
son propuestos por estudiantes. y 64 por el
cuerpo docente. Del total, 640 trabajos son de
los estudiantes y 320 de docentes. Si se
selecciona un trabajo al azar. Determine  
a.-La probabilidad de que sea de alta prioridad,
dado que sabemos que fue propuesto por un
estudiante.  b.- La probabilidad de que sea de
alta prioridad y propuesto por un
estudiantes. c.- Es Independiente que el trabajo
sea de alta prioridad, con que sea
propuesto por un estudiante?
50
F I N
Nos vemos en Variables Aleatorias