Ap

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Apêndice
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Variáveis aleatórias
Valor esperado
A variável aleatória Y assume os valores Y1,
Y2,...,Yk com probabilidades dadas pela função de
probabilidade
O valor esperado de Y, denotado por E(Y), é
definida por
Propriedades
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Variância
A variância de uma função linear de Y
com a e c constantes.
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Covariância
A covariância de Y e Z é representada por ?(Y,Z)
e definida por
Funções de variáveis aleatórias
Seja Y1, Y2,...,Yn n variáveis aleatórias.
Considere a função
Onde ai são constantes. Para n2 temos
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Se as variáveis aleatórias Yi são independentes,
nós temos
Caso especial
Quando os Yi são variáveis aleatórias
independentes, a covariância de duas funções
lineares,
é dada por
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Distribuição normal de probabilidade e outras
relacionadas
Distribuição normal de probabilidades
A função densidade para a variável aleatória Y é
Onde ? e ? são os dois parâmetros da distribuição
normal e exp(a)ea. A média e a variância de uma
variável aleatória normal Y é
Função linear de variável aleatória normal
propriedade
Se Y é uma variável aleatória normal, a variável
transformada YacY (a e c constantes) tem
distribuição normal, com média acE(Y) e
variância c2?2(Y).
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Combinação linear de variáveis aleatórias normais
independentes. Seja Y1,...,Yn n variáveis
aleatórias normais independentes. Temos Quando
Y1,...,Yn são variáveis aleatórias normais
independentes, a combinação linear
a1Y1a2Y2...anYn é normalmente distribuída com
média
e variância
Distribuição ?2 (Qui-Quadrado)
Seja z1, z2,...,zv, v variáveis aleatórias
normais padrão. Definimos a variável aleatória
qui-quadrado como
A distribuição de qui-quadrado tem 1 parâmetro,
v, o qual é chamado de graus de liberdade. A
média da distribuição de ?2 com v graus de
liberdade é
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Distribuição t (Student)
Seja z e ?2(v) variáveis aleatórias independentes
(normal padrão e qui-quadrado, respectivamente).
Definimos a variável aleatória t como segue
A distribuição t tem apenas um parâmetro, os
graus de liberdade v. A média da distribuição t
com v graus de liberdade é
Distribuição F
Sejam ?2(v1) e ?2(v2) duas variáveis aleatórias
?2 independentes. Definimos uma variável
aleatória F como
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A distribuição F tem dois parâmetros, os graus de
liberdade do numerador (v1) e os graus de
liberdade do denominador (v2).
Existe a relação entre as variáveis aleatórias t
e F
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Estimação
Propriedades dos estimadores
1) Um estimador do parâmetro ? é não
tendencioso se
2) Um estimador do parâmetro ? é um
estimador consistente se
3) um estimador é um estimador suficiente
de ? se a função de probabilidade conjunta
condicional das observações amostrais, dado ,
não depende do parâmetro ?
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Um estimador é um estimador de variância
mínima de ? se para qualquer outro estimador