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Probabilidade

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Probabilidade Modelo matem tico para incerteza Desenvolvimento relativamente recente Cardano (s culo XVI) Pascal (s culo XVII) Peter Bernstein, Against the Gods – PowerPoint PPT presentation

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Title: Probabilidade


1
Probabilidade
  • Modelo matemático para incerteza
  • Desenvolvimento relativamente recente
  • Cardano (século XVI)
  • Pascal (século XVII)
  • Peter Bernstein, Against the Gods

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Primeira Tentativa
  • Espaço amostral (W) resultados possíveis para um
    experimento aleatório.
  • Probabilidade número não negativo atribuído a
    cada um destes resultados, de modo que a soma
    seja 1 (intuição frequência a longo prazo)

3
Primeira Tentativa
  • Adequado para o caso discreto
  • w1, w2, ...
  • p1 p2 ... 1
  • Para cada A ? W , P(A) ?wi ? A P(wi)

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Como atribuir probabilidades?
  • Estatística estimar através de frequência
    observada
  • Explorar simetria modelos equiprováveis
  • W w1, w2, ..., wn
  • p1 p2 ... pn 1/n
  • Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

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Exemplo
  • Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a
    probabilidade de sair 2 caras?
  • Espaço amostral W 0, 1, 2, 3 (número de
    caras)
  • Probabilidade de sair 2 caras P(2) ¼.

6
Exemplo
  • Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a
    probabilidade de sair 2 caras?
  • Espaço amostral W 0, 1, 2, 3 (número de
    caras)
  • Probabilidade de sair 2 caras P(2) ¼.

7
Exemplo
  • Uma moeda honesta é lançada 3 vezes. Qual é a
    probabilidade de sair 2 caras?
  • Espaço amostral
  • W ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk
  • Probabilidade de sair 2 caras P(cck, ckc,
    kcc) 3/8.

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Observação
  • É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de
    ocorrer?
  • E kkkkkkkkkk e ckkckckckk?
  • Mega-sena 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52?
  • Nassim Taleb, Fooled by Randomness

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Caso contínuo
  • Roleta real, com números de 0 a 360.
  • Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
    316,43?
  • Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
    maior que 300?

10
Caso contínuo
  • Roleta real, com números de 0 a 360.
  • Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
    316,43?
  • zero
  • Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a
    maior que 300?
  • 1/6

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Caso contínuo
  • Probabilidade de eventos não pode ser calculada
    simplesmente somando as probabilidades associadas
    a pontos de W.
  • Necessidade de atribuir probabilidades
    diretamente aos subconjuntos de W.
  • Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da
    Medida)

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Modelo Probabilístico Revisado
  • Espaço amostral (W) conjunto de resultados
    possíveis para um experimento aleatório.
  • s-álgebra de eventos (A) subconjuntos de W aos
    quais se atribui probabilidade.
  • W ? A, A ? A ? Ac ? A , Ai ? A ? ? Ai
    ? A
  • Probabilidade (P) função definida em A
  • P(A) ? 0, P(W) 1, P(? Ai ) ?i P(Ai) (Ai
    disjuntos 2 a 2)

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Consequências
  • P(Ac) 1 P(A)
  • P(?) 0
  • An ? A ? P(An) ? P(A)
  • An ? A ? P(An) ? P(A)

14
Caso discreto
  • A todos os subconjuntos de W.
  • Probabilidades pi atribuídas aos eventos
    unitários wi (como antes)

15
Caso contínuo
  • W R
  • A menor s-álgebra que contém todos os
    intervalos (s-álgebra de Borel)
  • Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos
    intervalos da forma (?, x) (tipicamente através
    da integral de uma função de densidade)
  • Por exemplo, no caso da roleta

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Probabilidade Condicional
  • Probabilidade condicional do evento A na certeza
    do evento B
  • Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse
    o novo espaço amostral.

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Exemplo
  • Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4,
    qual é a probabilidade condicional de ter saído 1
    no primeiro lançamento?
  • W (1,1), , (6, 6)
  • A 1 no 1o (1, 1), , (1, 6)
  • B soma 4 (1, 3), (2, 2), (3, 1)
  • A?B (1, 3)

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Observação
  • De , resulta
  • P(A?B) P(B). P(A B) P(A) . P(B A)
  • A e B são independentes quando P(A?B) P(A).
    P(B)

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Exemplo
  • Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As
    bolas são retiradas sequencialmente, sem
    reposição.

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Exemplo
  • 1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca?

21
Exemplo
  • 2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca
    e a 2a preta?

22
Exemplo
  • 3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser preta?

23
Exemplo
  • 4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido
    preta sabendo que a 2a foi branca?

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Teoremas
  • Sejam B1, B2, disjuntos 2 a 2 tais que ?Bi W
  • Probabilidade Total
  • Bayes

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Exemplo
  • Em uma população, 1 das pessoas têm uma certa
    doença. Um exame para esta doença tem
    probabilidade de falso-positivo igual a 2 e de
    falso negativo igual a 1. Se uma pessoa
    escolhida ao acaso é examinada e o exame dá
    positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha
    a doença?

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Solução
  • Dados
  • P(Doente) 0.01
  • P(PositivoDoente) 0.99
  • P(PositivoDoentec) 0.02
  • Pede-se
  • P(DoentePositivo)

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Solução
P
0,99
D
0,01
0,01
P
0,99
0,02
Dc
0,98
28
Solução
P
0,99
D
0,01
0,01
P
0,99
0,02
Dc
0,98
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