Zusammenh

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Zusammenhänge von Variablen ab Nominalskalenniveau

• Benninghaus S. 168-204
• Zusammenhänge, Kontingenzen, Assoziationen,
  Korrelationen
• Es wird überprüft, ob Variablen gemeinsam
  auftreten bzw. gemeinsam variieren
• Zusammenhangsmaße haben einen Grad (Höhe) und
  eine Richtung (positiv, negativ), reichen meist
  von -1 bis 1, wobei das Vorzeichen nur ab
  Ordinalskalenniveau interpretierbar ist

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• Ziel Man will die Varianz einer abhängigen
  Variablen durch die unabhängige vorhersagen bzw.
  erklären (bei asymmetrischen Hypothesen) oder das
  gemeinsame Auftreten zweier Variablen prüfen (bei
  symmetrischen)
• Statistischer Zusammenhang bedeutet nicht
  kausaler Einfluss!
• Vorher werden eine Null-Hypothese und eine
  Alternativhypothese aufgestellt, z.B. Frauen und
  Männer unterscheiden sich nicht in der
  Sprachkompetenz Frauen sind besser in der
  Sprachkompetenz als Männer (keine
  deterministischen, sondern probabilistischen
  Hyp.)

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3 prinzipielle Verfahrensweisen

• 1. Eine statistische Assoziation besteht, wenn
  die bedingten Verteilungen verschieden sind
  (Vergleich der Spaltenprozente
  Prozentrangdifferenz, Odds Ratio)
• 2. Man schaut sich an, wie die Tabelle bei
  Unabhängigkeit der Variablen aussehen müsste,
  vergleicht dies mit den echten Daten (Chi-Quadrat
  und darauf aufbauende Maße Phi-Koeffizient,
  Cramers V, Kontingenzkoeffizient C)
• 3. PRE-Maße (proportional reduction of error)
  Man schaut sich an, wie viele Fehler man bei der
  Vorhersage der AV ohne / mit Kenntnis der UV
  macht und vergleicht das Verhältnis beider
  Fehler Lambda (nominal), Gamma (ordinal), r²,
  Eta² (Intervall)

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Praktisches Vorgehen Erstellung einer bivariaten
Tabelle

• bivariate Tabelle, Kontingenztabelle,
  Kreuztabelle
• Xj Werte der UV
• Yi Werte der AV
• fij Zellenhäufigkeiten
• nij Randhäufigkeiten
• immer die UV in die Spalten setzen!!!!

X1 X2
Y1 f11 f12 n1.
Y2 f21 f22 n2.
n.1 n.2 n..
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Praktisches Vorgehen Vergleich der
Spaltenprozente

• Man setzt f11 und f21 mit n.1 in Beziehung
  (Spaltenprozente) sowie f12 und f22 mit n.2.
• Dann werden zeilenweise die relativen
  Häufigkeiten verglichen.
• Dies ist noch keine statistische Maßzahl, nur ein
  Überblick

X1 X2
Y1 f11 f12 n1.
Y2 f21 f22 n2.
n.1 n.2 n..
6
(No Transcript)
7
Bivariate Häufigkeitsverteilung (1)
Berufliche Stellung des Vaters und höchster
allgemeinbildender Schulabschluß des Befragten
(Rohdaten bzw. Urliste) Als Beispiel dienen die
Angaben über die berufliche Stellung des Vaters
und den höchsten allgemeinbildenden Schulabschluß
des Befragten in der Befragung von Benninghaus
(1987) . Da es sich um viele Fälle (n60), aber
nur zwei Variablen handelt, werden die Rohdaten
der Einfachheit halber nicht in Form einer
Matrix, sondern in Form einer Liste der einzelnen
Variablenausprägungen angegeben. V172
Berufliche Stellung des Vaters 2, 1, 2, 1, 4, 1,
1, 3, 1, 5, 4, 2, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 5,
4, 5, 4, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 4,
2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2,
1, 2, 3, 3, 3, 3. V169 Höchster
allgemeinbildender Schulabschluß 1, 1, 1, 3, 4,
2, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 4,
3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 2,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2,
1, 1, 2, 1, 1, 1, 2.
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Bivariate Häufigkeitsverteilung (2)
Ergebnisse der SPSS-Auswertung der Datei
MABT60 Die Kreuztabelle sollte so aufgebaut
werden, dass die unabhängige Variable die Spalten
und die abhängige Variable die Zeilen der Tabelle
definiert. Durch zeilenweises Lesen der Tabelle
kann man dann erkennen, wie sich die Anteile
einzelner Ausprägungen der abhängigen Variablen
für die verschiedene Werte der unabhängigen
Variablen unterscheiden.
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Bivariate Häufigkeitsverteilung (3)
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Bivariate Häufigkeitsverteilung (4)
Statistische Graphik gestapeltes
Säulendiagramm Die einzelnen (durch einen
Zwischenraum getrennten) Säulen repräsentieren
die (diskreten) Ausprägungen der unabhängigen
Variablen. Die einzelnen Segmente jeder Säule
zeigen den prozentualen Anteil der jeweiligen
Ausprägung der abhängigen Variablen (bezogen auf
die Zahl der Befragten mit der jeweiligen
Ausprägung der unabhängigen Variablen).
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Gestapeltes Säulendiagramm
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(No Transcript)
13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
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Unterschiedlich starke Zusammenhänge
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Organisatorisches

• Weihnachtspause 24. 12. 4. 1.
• Literatur Benninghaus S. 204-232
• Restprogramm der Zusammenhangsmaße
• Chi², Phi, Cramers V, Pearsons C, Lambda,
  Korrelation und Regression, Varianzanalyse

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Zusammenhangsmaße 3 prinzipielle
Verfahrensweisen

• 1. Eine statistische Assoziation besteht, wenn
  die bedingten Verteilungen verschieden sind
  (Vergleich der Spaltenprozente
  Prozentrangdifferenz, Odds Ratio)
• 2. Man schaut sich an, wie die Tabelle bei
  Unabhängigkeit der Variablen aussehen müsste,
  vergleicht dies mit den echten Daten (Chi-Quadrat
  und darauf aufbauende Maße Phi-Koeffizient,
  Cramers V, Kontingenzkoeffizient C)
• 3. PRE-Maße (proportional reduction of error)
  Man schaut sich an, wie viele Fehler man bei der
  Vorhersage der AV ohne / mit Kenntnis der UV
  macht und vergleicht das Verhältnis beider
  Fehler Lambda (nominal), Gamma (ordinal), r²,
  Eta² (Intervall)

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Prozentrangdifferenz

• gibt an, um wie viel Prozentpunkte eine bestimmte
  Ausprägung von y bei x1 höher ist als bei x2
• z.B. um wie viele Prozentpunkte der Anteil der
  Personen, die keiner Religionsgemeinschaft
  angehören, bei Männern größer ist als bei Frauen.

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Prozentsatzdifferenz

• a b
• d 100 ( ---- - ---- )
• ac bd
• Wertebereich -100 bis 100

a b
c d
20
(No Transcript)
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Vorgesetztenfunktionen (dichotom) nach
Berufserfahrung (dichotomisiert)
Interpretation Prozentsatzdifferenz 30 aller
Beschäftigten mit eher kurzer Berufstätigkeit
(bis 25 Jahre) haben Vorgesetztenfunktionen.
50 aller Beschäftigten mit eher längerer
Berufstätigkeit (über 25 Jahre) haben
Vorgesetztenfunktionen. Die Prozentsatzdifferenz
beträgt 100(15/30 - 9/30) 20. Sie gibt an, um
wieviel Prozentpunkte der Anteil der Vorgesetzten
bei den länger Berufstätigen höher ist als der
entsprechende Anteil der kürzer Berufstätigen.
Man muss sich die Prozentsatzdifferenz selber
ausrechnen, sie wird im Computerausdruck nicht
ausgegeben. Interpretation Der Anteil der
Personen mit Vorgesetztenfunktionen ist bei den
Beschäftigten mit eher längerer Berufstätigkeit
um 20 Prozentpunkte höher als der entsprechende
Anteil bei den Beschäftigten mit eher kurzer
Berufstätigkeit.
22

• Hat die UV 3 Stufen, gibt es schon 3
  Prozentrangdifferenzen (2 voneinander
  unabhängige), auch bei mehreren Ausprägungen der
  AV wird die Lage unübersichtlich. Man kann zwar
  mehrstufige Variablen durch Zusammenfassen in
  22-Tabellen umformen, sollte dies aber nicht
  willkürlich tun, da die Ergebnisse vom
  Schnittpunkt abhängen. Für größere Tabellen gibt
  es andere Maßzahlen, s.u.

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Odds

• Odds sind Größenverhältnisse zweier Ausprägungen
  einer Variablen. Die Ausprägung wird hier nicht
  zu den Randhäufigkeiten in Beziehung gesetzt,
  sondern zu einer anderen Ausprägung.
• Beispiel Sind in einer Stichprobe 120 Frauen und
  80 Männer, ist das Verhältnis zwischen Frauen und
  Männern 120 / 80 1.5. In der Stichprobe sind
  1.5 mal so viele Frauen wie Männer.

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Odds Ratio Kreuzproduktverhältnis

• a
• --
• c
• ------
• b
• --
• d

Der Wertebereich ist 0 bis unendlich, bei
Unabhängigkeit beider Variablen ist der Wert 1.
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Vorgesetztenfunktionen (dichotom) nach
Berufserfahrung (dichotomisiert)
Interpretation Odds, Kreuzproduktverhältnis Die
Odds (Chancen), eher Vorgesetzter als kein
Vorgesetzter zu sein, betragen für die
Beschäftigten mit eher kurzer Berufstätigkeit
(bis 25 Jahre) 9 zu 21 (oder 3 zu 7 oder 1 zu
2,333). In Zahlen Odds 9/21 3/7 1/2,3333
0,4286. Die Odds (Chancen), eher Vorgesetzter
als kein Vorgesetzter zu sein, betragen für die
Beschäftigten mit eher längerer Berufstätigkeit
(über 25 Jahre) 15 zu 15 (oder 1 zu 1). In
Zahlen Odds 15/15 1. Das
Kreuzproduktverhältnis beträgt (15/15) / (9/21)
1 / 0,4286 2,3333. Es gibt also an, um welchen
Faktor die Odds der länger Berufstätigen größer
sind als die Odds der kürzer Berufstätigen. Es
wird im SPSS-Ausdruck in der Zeile "case control"
unter der Überschrift "Relative Risk Estimate"
ausgedruckt. Interpretation Die Odds
(Chancen), eher Vorgesetzter als kein
Vorgesetzter zu sein, sind für die Beschäftigten
mit eher längerer Berufstätigkeit 2,3 mal größer
als die entsprechenden Odds für die Beschäftigten
mit eher kurzer Berufstätigkeit.
26
Problem bei Prozentrangdifferenz und Odds Ratio

• werden unübersichtlich bei größeren Tabellen, da
  dann mehrere d und OR berechnet werden müssen,
  daher andere Verfahren

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Chi-Quadrat

• Prinzip Man vergleicht die Kreuztabelle mit
  einer fiktiven Tabelle, die bei Unabhängigkeit
  beider Variablen aus den Randverteilungen
  resultieren würde. Weichen beide Tabellen stark
  voneinander ab, gibt es einen Zusammenhang.

28
Chi-Quadrat
fb Zellenhäufigkeiten in der tatsächlichen
Tabelle fe bei Unabhängigkeit erwartete
Häufigkeiten, die berechnet man wie folgt
29
erwartete Häufigkeit in jeder Zelle
30
Beispiel beobachtete und erwartete Häufigkeiten
Schulbildung
niedrig
hoch

26 nein

Berufs-

34 wechsel ja

33 27
60

9 14.3 17 11.7
24 18.7 10 15.3
Zelle oben links erwartete Häufigkeit26 33 /
6014.3
31
Arbeitstabelle
i j fb fe fb-fe (fb-fe)² (fb-fe)² / fe
1 1 9 14.3 -5.3 28.09 1.96
1 2 17 11.7 5.3 2.40
2 1 24 18.7 -5.3 1.50
2 2 10 15.3 5.3 1.84
Summe 7.70
32
einfachere Formel für Chi² nur für 22-Tabellen
33
Problem des Chi²-Koeffizienten

• Chi² ist von seiner Größe her nicht zu
  interpretieren, da er nicht von 0 bis 1 reicht,
  sondern von 0 bis N. Er variiert mit der Anzahl
  der Untersuchungseinheiten (bei mehr Personen
  wird der Wert größer). Daher verschiedene
  Versuche, den Wert an der Anzahl der
  Untersuchungseinheiten zu standardisieren

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Phi-Koeffizient
(im Beispiel Phi .36) Interpretation ein
Zusammenhang von über .30 ist schon durchaus
deutlich, ein Zusammenhang von über .50 ist hoch
und einer über .80 erstaunlich, unter .10 spricht
man gar nicht von einem Zusammenhang hier gibt
es aber keine festen Grenzwerte.
35
einfachere Berechnung Phi für 22-Tabellen
im Beispiel Phi -36 nach dieser Formel hat Phi
also ein Vorzeichen und reicht von -1 bis 1
36
Problem bei Phi

• Der Wert reicht zwar von 0 bis 1 bzw. nach der
  zweiten Formel von -1 bis 1, jedoch nur bei
  22-Tabellen, sonst kann Phi größer als 1 werden,
  daher besser

37
Cramers V
V2
min (r-1, c-1) Anzahl der Zeilen oder Spalten,
je nachdem, was weniger sind, minus 1 bei
22-Tabellen ist V mit Phi identisch
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Pearsons Kontingenzkoeffizient C
Der obere Grenzwert ist kleiner als 1. Daher
berechnet man den maximal möglichen Wert (k min
r,c) und teilt C durch diesen. Damit erhält man
C korrigiert. Wertebereich 0 bis 1
39
Fazit

• Gebräuchlich sind alle Koeffizienten, also sollte
  man sie kennen. Besonders empfehlenswert ist
  Cramers V, weil er immer von 0 bis 1 reicht. V
  ist ein vorzeichenloses Zusammenhangsmaß für
  Variablen mit beliebigem Skalenniveau (ab
  nominal).

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Drittes Prinzip für Zusammenhangsmaße

• PRE-Maße (proportional reduction of error) Man
  schaut sich an, wie viele Fehler man bei der
  Vorhersage der AV ohne Kenntnis der UV macht und
  wie viele Fehler mit Kenntnis der UV. Dazu
  braucht man eine Fehlerdefinition (Anzahl falsche
  Zuordnungen in der Häufigkeitstabelle). Man
  vergleicht das Verhältnis beider Fehler. Pre-Maße
  gibt es für alle Skalenniveaus, wir behandeln das
  Maß für Nominalskalenniveau Lambda. Dieses gibt
  es für symmetrische und asymmetrische Hypothesen.
  Wir beginnen mit dem asymmetrischen Maß und einem
  Beispiel

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Hypothese Nach langer Lernzeit im Beruf steigt
das Einkommen
Lernzeit kurz mittel lang Summe
Einkommen niedrig 8 9 1 18
mittel 6 9 4 19
hoch 2 8 11 21
Summe 16 26 16 58
42
Vorgehen

• Wie viele Fehler machen wir bei der Vorhersage
  der AV nur anhand der Randverteilung? Wir sagen
  für jede Person sinnvollerweise den häufigsten
  Wert vorher (Modalwert), das ist hohes
  Einkommen, kommt 21 mal vor also machen wir
  58-21 37 Fehler.
• Wie viele Fehler bei Kenntnis der UV? Wir sagen
  für jede Person den Modalwert in ihrer Spalte (in
  Abhängigkeit von der UV) vorher, für Spalten 1
  und 2 niedrig und für die dritte hoch. Damit
  machen wir 891128 Vorhersagen richtig und
  58-28 30 falsch.
• Die proportionale Fehlerreduktion beträgt
• (E1-E2) / E1 (37-30) / 37 .19
• Interpretation Durch Kenntnis der Lernzeit
  reduzieren wir die Anzahl der Fehler bei der
  Vorhersage des Einkommens um 19 Prozent.

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Formel für Lambda, wenn in der Zeile die AV steht
(row, üblicher Fall)
((8 9 11) 21) / 58 21 .19
Wertebereich 0 bis 1
44
Formel für Lambda, wenn in der Spalte die AV
steht (column)
((9 9 11) 26) / 58 26 .09
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Kombination beider symmetrisches Lambda
((8 9 11) (9 9 11) 21 26 ) / 2
58 21 26 .14 nicht identisch mit dem
Mittelwert beider asymmetrischer Maße