Fundamentos Fsicos de Hemodinmica

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• Fundamentos Físicos de Hemodinámica
• M.Sc. Adolfo Castillo MezaDepartamento de
  Física, Informática y Matemáticas
• UPCH

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Propiedades de líquidos y gases
n
T
S
T
T
Sobre el elemento de superficie S actúan
tangencialmente las tensiones T , originando
una resultante T.
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La tensión actuante sobre la superficie será
Por otro lado
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Multiplicando escalarmente por i, j y k
sucesivamente se obtiene que
Es decir, en equilibrio, en cada punto la presión
es igual (Ley de Pascal)
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Ecuaciones de Equilibrio y Movimiento
P(x dx)
dx
La fuerza elemental que actúa sobre el elemento
de fluído es originada por la diferencia de
presiones entre los extremos
P(x)
6
Pero
Entonces
De modo que podemos definir
Fuerza por unidad de volumen
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Por analogía definimos las restantes dos
componentes
y
Fuerza que actúa sobre el líquido
Ecuación fundamental de la hidrostática
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Por III Ley de Newton, de parte del líquido
actuará una fuerza
estando el sistema en equilibrio. Si no está en
equilibrio su ecuación de movimiento será
(expresada por unidad de voumen)
ECUACION DE EULER
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Si el líquido se halla en un campo gravitacional,
en equilibrio
Por componentes
E integrando a lo largo del eje OZ
P(0) Presión atmosférica a nivel del mar
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De la ecuación de Mendeleev
tenemos
FORMULA BAROMETRICA
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Para líquidos en movimiento
Volumen 1 Volumen 2
S1
v1
S2
Se obtiene la ECUACION DE CONTINUIDAD.
v2
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En términos de energía y trabajo
S1
v1
h
donde E2- Energía mecánica total en 2 E1-
Energía mecánica total en 1 A trabajo de las
fuerzas externas que trasladan la masa de líquido
de 1 a 2
S2
h1
v2
h2
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Recordemos que E K U, de modo que
y el trabajo total, realizado por las fuerzas
originadas por la diferencia de presiones entre
los extremos del tubo, será
Trabajo parcial en 1 Trabajo parcial en 2
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Igualando ambos miembros de la ecuación de
energía
Pero
De modo que, finalmente, al dividir todos los
términos por V
Ecuación de Bernoulli
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Donde
Presión dinámica
Presión manométrica de la columna de líquido
Presión registrada en el extremo del tubo
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Si h1 ? h2
Y para un tubo curvo
Ley de Conservación de Momentum
S1
v1
F
S2
Ley de conservación de momentum, consecuencia de
la III Ley de Newton para un sistema cerrado.
F
v2
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Entonces
Fuerza que actúa sobre el punto de inflexión del
tubo.
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VISCOSIDAD
Tomemos dos placas de superficie S situadas a
una distancia h una de la otra, y asumamos que la
placa superior se mueve con velocidad vo y la
inferior permanece en reposo.
F
S
vo
h
-F
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La fuerza con la cual la placa inferior se opone
al movimiento será (por módulo) proporcional a la
velocidad relativa de desplazamiento vo, la
superficie de las placas S, e inversamente
propocional a la distancia h entre ambas. Esto
fué establecido experimentalmente por Newton.
F
S
vo
h
-F
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Es decir
Coeficiente de Rozamiento interno
Y si ambas placas se mueven con velocidades
colineales v1 y v2
Nótese que aparece una dependencia de la
velocidad respecto a la distancia entre placas
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Sea
Podemos reescribir la expresión anterior como
Y en el límite, cuando ?y ? 0
La velocidad longitudinal varía respecto al eje
perpendicular OY (altura)
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Tomemos un tubo recto donde la corriente es
estacionaria
R
S
P(x dx)
P(x)
?
dx
En este caso, tanto la superficie transversal ?
como la lateral S serán funciones de r, y la
velocidad también.
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La fuerza elemental de rozamiento (viscosidad)
actuante en función de r será
Superficie lateral S del cilindro
Y entre las bases del cilindro actuará una fuerza
elemental neta
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Como la corriente es estacionaria, quiere decir
que ?F 0, entonces
en virtud de que la corriente analizada es
estacionaria, y como consecuencia el
comportamiento de la presión es lineal respecto a
x. Aquí l es la longitud del tubo.
Además,
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Llegamos a la ecuación diferencial
1. La velocidad máxima se alcanza en r 0, en el
eje longitudinal .
Integrando con los límites respectivos
2. La distribución de velocidades respeto a r es
parabólica
r
R
X
-R
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En cuanto al gasto de líquido, es decir, masa
de líquido que atraviesa la superficie S en una
unidad de tiempo
Analice los límites del sistema circulatorio a la
luz de la relación encontrada.
Ley de Poiselle
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Número de Reynolds
Una corriente puede ser laminar, si las líneas de
velocidad de las partículas no se cruzan, o
turbulentas en caso contrario.
El tipo de carácter de la corriente está
determinado por el valor del Número de
Reynolds. Si Re ? 2000 o mayor, la corriente es
turbulenta
Diámetro del tubo
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Sistema circulatorio Efecto Fahraeus - Linqdvist

• En vasos delgados, la sangre se comporta como si
  fuera solamente plasma.

• Los eritrocitos se acumulan hacia el eje, por lo
  que la viscosidad se incrementa hacia el centro
• La gradiente de velocidad se invierte, moviéndose
  el líquido más rápido cerca de las paredes
• Al reducirse la viscosidad, la diferencia de
  presión necesaria para mantener el flujo es menor.

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Sistema circulatorio Efecto Fahraeus - Linqdvist

• En vasos más pequeños (5 - 7?m)

• Los eritrocitos copan el vaso deformándolo, el
  movimiento se produce como una oruga.

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Comparación entre el comportamiento de un líquido
ideal y la sangre

• Si bien los capilares son delgados, están
  agrupados en paralelo, lo que hace que su sección
  total sea mayor. Por Ley de Bernoulli

Curva Teórica
Presión (mm Hg)
Velocidad (cm/s)
120 80 40
50 40 30 20 10 0
Curva real
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En forma más detallada
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(No Transcript)
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Capilaridad
Tensión Superficial
Tomemos una superficie a la cual trataremos de
manetener estirada, evitando que tome su forma
natural (esférica). Para ello aplicaremos una
fuerza f tangente a la superficie y perpendicular
a la línea de separación del medio (de longitud
l)
f
l
Coeficiente de Tensión superficial ? ? ( T )
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El trabajo elemental a realizar para expandir
(sin incremento de temperatura) el área en una
longitud dx será
l
f
dx
Pero dA se va completamente en incrementar la
energía de la película en dE
Energía libre (parte de la energía que puede
transformarse en trabajo por vía isotérmica)
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Ejemplo Tomemos n gotas de 2.10-3 mm de radio
(r) y formemos una sola gota de R 2mm.
Pero Volumen 1 Volumen 2
Trabajo de compresión, S2 lt S1
Para el agua ? 73 dinas/cm.
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Presión debida a la curvatura de una superficie
libre
En un campo gravitacional, toda superficie tiende
a ser plana. En caso de encontrar un límite
físico (p.e. las paredes de un vaso) al tender a
ser plana puede ocurrir cualquiera de las
siguientes situaciones
Superficie cóncava La sobrepresión es negativa,
pues la capa superior tira de las capas
inferiores
Superficie convexa La superficie presiona sobre
las capas inferiores, sobrepresión positiva
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Veamos cuál es la magnitud de esta sobrepresión
para una superficie esférica, para lo cual
analizaremos un casquete de superficie ?S
dl
r
?
Pero es df? la que ejerce la presión sobre el
líquido
df
df?
R
Para la figura
R
?
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Entonces, para todo el contorno
La presión actuante será
La presión es inversamente proporcional al radio
de la esfera. A menor radio, mayor presión
actuante para un mismo ?
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En qué dirección cree que fluirá el aire?
En este caso, guiarse por el radio es mala idea.
El aire fluye de donde hay mayor presión a donde
hay menor presión. Por qué tenemos bronquiolos y
alveolos pulmonares en lugar de tener solamente
el pulmón como un sistema de fuelle?
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Para una superficie cualquiera, la sobrepresión
es
Para un clindro
R2
R1
?2
?1
Qué pasa en los capilares?
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• Una vez analizado el líquido, veamos que ocurre
  cuando el líquido está en contacto con un cuerpo
  sólido (las paredes del recipiente).
• En este caso extstirán dos tipos de fuerzas
• Entre las moléculas del mismo líquido
• Entre las moléculas del líquido y el sólido

1) La fuerza actuante entre las moléculas del
líquido es mayor que la fuerza actuante entre
ambos cuerpos
Posibilidades
2) Las fuerzas intermoleculares dentro del
líquido son menores que las fuerzas que actúan
entre ambos cuerpos.
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Caso 1 El líquido NO moja el sólido. La fuerza
resultante está dirigida HACIA el líquido
?
?
Esto ocurre cuando ?, el ángulo de contacto, es
mayor o igual a ? /2. Si ? ?, el líquido no
moja en absoluto.
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Caso 2 Las fuerzas de cohesión (entre las
moléculas del líquido) son menores que las de
adherencia (entre el líquido y sólido). En este
caso el líquido moja al sólido. La fuerza
resultante está dirigida hacia afuera del líquido.
?
?
Cuando el águlo de contacto ? es menor a ? /2,
el líquido moja al sólido.
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Calculemos a qué altura se elevará una columna de
líquido que moja un tubo.
R
Y la presión de la columna
r
?
En equilibrio
h
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Y en este caso, cuál será la altura?
En este caso