Le logarithme dcimal : quelques exemples introduction, utilisation

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Le logarithme décimal quelques
exemples(introduction, utilisation)
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 La fonction logarithme décimal est la seule
exigible en ST2S, elle doit donner lieu à des
activités variées dans un cadre
pluridisciplinaire. 
Dans le programme et le document daccompagnement

• On utilisera la fonction logarithme décimal pour
  résoudre des équations ou des inéquations du type
  
• ax b, ax lt b, ax gt b

• On pourra signaler que la fonction log
  transforme les produits en sommes, mais toute
  technicité sur cette notion est exclue.

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Introduire le log par lhistoire

• Exemple de texte pouvant servir de point de
  départ à létude de cette fonction Texte
  dOzanam.
•   Les logarithmes sont des nombres en proportion
  arithmétique, correspondant à dautres nombres en
  proportion géométriques, desquels ils sont
  appelés logarithmes. Comme il est libre de
  prendre telle progression que lon voudra, on
  choisira la plus commode, qui est de prendre la
  progression décimale pour la progression
  géométrique et la progression des nombres
  naturels pour larithmétique, en sorte que,
  pourtant, le premier nombre arithmétique, qui
  répond au premier géométrique, ou à lunité, soit
  0, c'est-à-dire que le logarithme de lunité soit
  O, pour rendre lusage des logarithmes plus
  facile comme vous le voyez dans cette table, où
  le logarithme de 1 est 0, de 10 est 1, de 100 est
  2, de 1000 est 3 et ainsi de suite et parce
  que, dans la pratique, on a besoin des
  logarithmes des nombres moyens 2, 3, 4, 5, etc.,
  et que ces logarithmes ne peuvent être exprimés
  quen fractions, on se servira aussi de la
  progression décimale pour la facilité du calcul,
  en ajoutant un certain nombre de zéros à chaque
  terme de la progression arithmétique, plus ou
  moins exacts, comme vous voyez ici.
• Ainsi, nous supposerons que le logarithme de 10
  est 1,000000, que le logarithme de 100 est
  2,0000000, celui de 1 000 est 3,0000000, etc., en
  suite de quoi il faut trouver les logarithmes des
  nombres moyens 2, 3, 4, 5, etc., ce que nous
  ferons après avoir expliqué la nature et les
  propriétés des logarithmes dans les propositions
  suivantes () 

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Introduction sur un exemple concret

• Le niveau dintensité sonore.
• (première partie)

Le niveau dintensité sonore N, en décibels(dB),
dun son dont lintensité sonore est I (en W.m-²)
est donnée par la relation N 10 log(I / I0
), où I0 est le seuil minimum au-dessous duquel
on ne perçoit aucun son, avec I0 10 12
Wm-² Lorsquil existe, loga est le logarithme
décimal du nombre a. En utilisant la touche
 log  de la calculatrice (ou le tableur) 1.
Calculer la valeur de N pour I 10-5 Wm-² 2.
Calculer la valeur de N pour I 10 -7 Wm-²
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Dans ce début dactivité, les élèves découvrent
le nombre loga puis la fonction log au travers de
la fonctionnalité correspondante sur la
calculatrice.
Le tableur permet de multiplier les exemples
La relation log(10b) b nest pas évidente à
remarquer
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mais en détaillant le calcul grâce au tableur
ou à la calculatrice
La relation log(10b) b apparaît plus clairement.
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On peut ensuite étendre les exemples à des
nombres de nature différentes
Cela permet de généraliser la relation précédente
aux décimaux strictement positifs.
Cela permet aussi dexpliquer le terme
 logarithme décimal .
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Suite de lactivité deuxième partie
Etude de la fonction logarithme décimal
Grâce au tableur ou à la calculatrice, on peut
dresser un tableau de valeurs
Cest loccasion de préciser lensemble de
définition de la fonction log.
On peut ensuite en tracer une représentation
graphique.
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Voici ce que lon obtient en utilisant le tableur
et le tableau de valeurs précédemment rempli.
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Au vu de la courbe on peut ensuite conjecturer le
tableau de variations de la fonction.
Puis faire apparaître les propriétés algébriques
de la fonction logarithme décimal

• Que peut-on observer dans le tableau de valeurs
  pour log(4) ?
• Et pour log(0,5) et log(2) ?

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Ici on conjecture la relation  pour tout réel a
gt 0 et tout réel b gt 0 on a log(ab)log(a)log(b)
 , qui peut ensuite être explicitement admise
dans les cours des élèves.
On peut aussi conjecturer puis admettre de même
que sous les mêmes conditions log(a/b)log(a)-log(
b) et que pour tout entier naturel n
log(an)nlog(a)
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Suite de lactivité troisième partie
Application concrète et retour au problème de
départ
1. Déterminer par le calcul le niveau dintensité
sonore N pour une intensité sonore I de 10-4
Wm-² 2. Déterminer lintensité sonore I, en Wm-²,
pour un niveau dintensité sonore N de 20dB.
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Un exemple dutilisation le pH

• Le pH dune solution
• Lacidité dune solution est mesurée par son pH,
  défini en fonction de la concentration en ions
  H3O par
• pH -logH3O où H3O est la concentration
  (en mole par litre) dions H3O de la solution.
• Le pH de leau pure est 7 celui dune solution
  acide est strictement inférieur à 7 alors que
  celui dune solution basique est strictement
  supérieur à 7.
• Le pH dun sol, généralement compris entre 3,5 et
  9,5 renseigne sur le degré de saturation du
  complexe absorbant. La fougère et le châtaignier
  recherchent un sol au pH voisin de 4 à 5 le
  buis exige un sol au pH de lordre de 8.

Cet exemple permet demployer les propriétés
algébriques telles que  pour tout réels
strictement positifs a et b, log(a?b) log(a)
log(b), qui ne sont pas exigibles mais qu
permettent de mettre en valeur lintérêt et
lutilité concrète de la fonction log.
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• Exemples
• 1. Quel est le pH dune solution dont la
  concentration en H3O est 4,8 10-6 mole par
  litre ?
• Si la concentration est égale à 4,8 10- 6
  mol.L1, alors le pH est donné par
• pH - log(4,8 10-6) - (log(4,8)
  log(10-6)) soit environ 0,681 - 6 soit environ -
  5,319. Le pH est donc environ 5,319.
• 2. Si le pH dune solution est 4, quelle est la
  concentration en ions H3O ?
• Si le pH est 4 alors 4 -logH3O doù
  logH3O - 4 soit logH3O log(10-4). Ainsi
  H3O 10-4 mole par litre.
• 3. Que fait le pH lorsque la concentration est
  divisée par 10 ?
• Avec pH -logH3O et pH' -log(H3O/10).
• Alors pH' -logH3O log(10) soit pH 1.
• Lorsque la concentration en H3O est divisée
  par 10, le pH augmente de 1.