Richiami di teoria dei processi di diffusione. QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone.

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Richiami di teoria dei processi di
diffusione.QuantoElettroDinamica. Diffusione
elastica elettrone-nucleone fattori di forma
elastici del nucleone.
Capitolo I

• Bibliografia
• - F.Halzen, A.D.Martin , Quarks leptons,
  Wiley Sons, 1984
• cap.5, 6, e 8
• D.H. Perkins, Introduction to High Energy
  Physics, Addison-Wesley ,1987
• cap.6

2
QED brevi richiami
E il prototipo di teoria quantistica di campo
di gauge (basata sul gruppo abeliano U1)
descrive l interazione elettromagnetica tra
particelle cariche point-like di Spin ½ (
e.g. elettroni, muoni, quarks la cui equazione
del moto libera e data dall eq. di Dirac)
mediata dal fotone, il quanto del campo
elettromagnetico.
L interazione e.m. elettrone-fotone e
introdotta nell eq. di Dirac per una particelle
libera
(1.1)
gm matrici di Dirac
sk matrici di Pauli

inserendo nell eq. del moto la derivata
covariante
(1.2)
3
Richiami di QED (II)
L eq. del moto di un elettrone (carica elettrica
-e ) in presenza di un campo e.m. e quindi
(1.3)
dove Am ( F, A) e il quadri-potenziale del
campo e.m.
(1.4)
(ricordiamo che i campi E, B sono invarianti
rispetto ad una trasformazione di gauge del
potenziale
(1.5)
con a(x) funzione scalare qualsiasi delle
quadri-coordinate
4
Richiami di QED
La forma dell eq. (1.2) discende dalla richiesta
di rendere invariante la descrizione dell
interazione rispetto a una trasformazione
locale (dipendente dalle coordinate) di gauge
a(x), data dalla (1.4) per il campo Am(x) e,
contestualmente, da una arbitrario cambiamento di
fase dello spinore dell elettrone
(1.5)
? gli osservabili fisici, come la sezione
durto di diffusione derivabile dalla ampiezza
di transizione che si ottiene dalla (1.3), sono
invarianti rispetto alla trasformazione (1.5),
(1.5) E interessante ricordare come gia in
meccanica quantistica non relativistica, la
prescrizione di invarianza di gauge porti
naturalmente alla descrizione dell
interazione e.m. tra particelle cariche e campi
(forza di Lorentz)
5
Richiami di QED
Nel formalismo operatoriale
(1.6)
che in meccanica quantistica (non relativistica),
dall Hamiltoniana di una particella in un
potenziale elettrostatico F(x) porta all eq.
di Schroedinger
la prescrizione di derivata covariante (1.2)
diviene
(1.2)
L hamiltoniana viene modificata
La lagrangiana associata all hamiltoniana e
(v velocita della particella)
(1.7)
( ricordiamo che
, con )
(1.8)
L eq. del moto di Eulero-Lagrange
applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con
leq. del moto di una particella carica sotto l
azione della forza di Lorentz (utilizzando le
relazioni (1.4))
per una completa discussione, cfr. Goldstein,
Meccanica Classica
6
Richiami di QED scattering e-e, e-m, e-quark
Siamo interessati al processo di diffusione tra
due fermioni carichi puntiformi, ad esempio
e-e- ? e-e-, e-m- ?e-m, e q ? e q

(qquark)
Nella teoria perturbativa dello scattering da un
potenziale, la ampiezza di transizione tra uno
stato iniziale (spinore ?i con 4-impulso (Ei,pi)
) ad uno stato finale (spinore ?f con 4-impulso
(Ef,pf) ) e data da
(1.9)
dove V(x) e il potenziale che perturba l
hamiltoniana di particella libera Ho H
H0 V e si e introdotto lo spinore coniugato
(la quantita e
definita positiva e ha il significato di una
densita di probabilita)
7
Richiami di QED scattering e-e, e-m, e-quark
In QED, per la quale leq. del moto e
(1.3)
il potenziale e
ossia
?i(x)
(1.10)
?f (x)
e-
e-
dove si e introdotta la corrente
elettro-magnetica
Am(x)
(1.11)
8
Richiami di QED scattering e-e, e-m, e-quark
che
abbia il significato fisico di densita di
4-corrente jm(r,j) deriva dal fatto che vale
leq. di continuita , come
si puo verificare dalleq. di Dirac e dalla sua
equazione aggiunta per lo spinore
coniugato cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103
Nello scattering e-quark, il campo Am e il
4-potenziale del campo e.m. associato alla
presenza del quark la sorgente del campo e la
corrente e.m. del quark
?i(x)
?f (x)
e-
e-
k
k
4-impulso iniziale dellelettr.
Am(x)
?q(x)
p
p
(vedremo successivamente come gli esperimenti
giustificano questa assegnazione)
4-impulso iniziale del quark
4-impulso finale
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Richiami di QED scattering e-e, e-m, e-quark
La relazione tra il campo e la sua sorgente
jmquark e data dall eq. di Maxwell (nella gauge
di Lorentz )
(1.12)
(c 1)
Al primo ordine della teoria perturbativa,
possiamo prendere per jmquark la soluzione del
campo yq che viene dalla eq. libera di Dirac
ossia
q (4-momento trasferito nel
processo)
Nota la conserv. del 4-impulso k p kp
implica q p-p k-k
10
Richiami di QED scattering e-e, e-m, e-quark
Da tale soluzione libera, si vede che
e confrontando con (1.12)
L ampiezza di transizione , al primo ordine
perturbativo, e allora
11
Richiami di QED scattering e-e, e-m, e-quark
Esprimendo anche la corrente dell elettrone in
termini di soluzione dell eq. libera di Dirac
si ha
dove si e definito l elemento di matrice di
transizione
(1.13)
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Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
In un processo di diffusione, la quantita
osservabile sperimentalmente e la sezione
durto differenziale per avere, ad esempio,
lelettrone diffuso ad un certo angolo solido
dW2psinqdq essa e legata all elemento di
matrice Mif dalla regola doro di Fermi cfr.
Perkins, app. E
No di stati finali disponibili che competono all
energia E dello scattering
(frequenza normalizzata ad un flusso unitario di
particelle incidenti)
q
p
f
13
Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
L espressione data per ds/dW non e
Lorentz-invariante la sua espressione
Lorentz-invariante dipende dalla
normalizzazione delle funzioni donda spinoriali
ye, yquark che compaiono in Mif. Se nel
rest-frame della particella la densita di
probabilita e
in un altro sistema di riferimento (ad es.,
quello del C.M. della collisione) in cui l
energia della particella e E mg, il volume
viene contratto
la densita osservata diviene (ossia cresce di
un fattore E/m)
La sezione durto va allora normalizzata per un
fattore per ognuna delle funzioni donda che
compaiono nellinterazione.
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Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
( in unita naturali )
In genere, lo stato finale osservato e quello
che si ottiene mediando sugli stati iniziali di
spin dell elettrone e del quark in definitiva
(1.14)
cfr. Perkins, app.F e G
Nel CM dello scattering, il momento dell
elettrone diffuso e pE/2
dove si e introdotta la variabile di Mandelstam
(1.14)
? esercizio 1.1
trascurando le masse p2/EeEq1,
EeEqEeEqECM2/4s/4, ECM2Ee
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Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
Inseriamo ora nell espressione generale (1.14)
per la sezione durto lelemento di matrice
(1.13) derivato dalla dinamica della QED
utilizzando lalgebra delle matrici di Dirac la
cosa e laboriosa per una discussione completa
si vedano Perkins, app.G Halzen-Martin, cap. 6

(1.15)
e-
e-
k
k
4-impulso iniziale dellelettr.
dove si e trascurata la massa me (ma non quella
del quark)
p
quark
p
16
Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
L espressione (1.15) e Lorentz-invariante e
interessante esprimerla nel sistema del
laboratorio, nel quale viene misurato l angolo
di scattering dell elettrone diffuso
k(E,k), k (E, k), p (M,0)
(Mmq)
Si ottiene, utilizzando la conservazione del
4-impulso, kp kp ? es.1.3
(1.15)
dove il quadrato del momento trasferito e
esprimibile in funzione dellangolo di scattering
nel laboratorio ? es.1.2
k
q
e-
k
M
17
Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
Inserendo (1.15) in (1.14), si ottiene infine il
risultato finale per lo scattering di QED di un
elettrone su una targhetta point-likedi spin ½
e massa M
(1.16)
( sezione durto di Mott )
dove si e introdotta la costante di struttura
fine
e la carica del quark e ora espressa in unita
di carica dellelettrone Nell ultima
espressione di (1.16), si e di nuovo usata la
In definitiva
(1.16)
(sezione durto classica per lo scattering
coulombiano di particelle non relativistiche
prive di spin)
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Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
E importante sottolineare che per un fissato
valore dell energia incidente E, la sezione d
urto e solo funzione dell angolo di scattering
q, essendo vedi es.1.4
Infine, e utile esprimere la sezione durto
elementare di Mott in forma Lorentz-invariante,
utilizzando le variabili di Mandelstam
k
k
Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell
ampiezza di transizione (trascurando la massa del
quark)
p
p
k
k
q
quark
e
p
19
Sezione d urto per lo scattering di QED e-q
Inserendo nella (1.14)
si ha
(1.16)
(nell ultima espressione la carica del quark si
intende espressa in unita di carica elementare
)
Utilizzeremo questa espressione nella discussione
del processo di Deep Inelastic Scattering
elettrone-nucleone.
20
La costante di struttura fine
La costante fondamentale dell interazione e.m.
detta costante di struttura fine (si misura con
grande precisione osservando la struttura fine
dei livelli energetici atomici) e espressa in
unita naturali nel sistema di
unita di misura razionalizzato di
Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a eq.di Maxwell
per il campo E (la legge di Gauss) e espressa
nella forma (ossia e01 nel S.I. invece
) , o equivalentemente
la legge di Coulomb che definisce il valore della
carica elettrica e La costante a e
adimensionale essa entra in (1.16) eq. espressa
in unita naturali , come rapporto tra una
sezione d urto ( dimensione s m2) e l
inverso del quadrato di un energia ( 1/s
J-2 ) queste quantita sono tra loro omogenee,
essendo h J?s e c m s-1. Nel S.I.,
l espressione di a e
21
La costante di struttura fine
Infatti
(dalla legge di Coulomb)
e quindi la combinazione
e adimensionale. Numericamente
22
Scattering elastico elettrone-nucleone
Il processo di scattering elettromagnetico ep?ep
non e un processo point-like (come eq ?eq o em
?em) La sezione durto di Mott, che nel sistema
del laboratorio e data dalla (1.16)
va modificata. La corrente adronica viene
modificata
e-
e-
k
k
p
protone
(1.17)
p
con
ed M e ora la massa del nucleone.
23
Scattering elastico e-N
Si dimostra che il termine entro parentesi nella
corrente (1.17) e il piu generale 4-vettore che
puo essere costruito dalle matrici di Dirac e
dai 4-momenti in gioco p, p e qp-p, tenendo
conto che la 4-corrente jmhadr deve essere
conservata , ossia qmjm
0. per una completa discussione, vedi
Halzen-Martin, es. 8.5 Le funzioni F1(q2),
F2(q2) parametrizzano la nostra ignoranza della
struttura dell adrone, e devono essere
determinate sperimentalmente, come
verra discusso in seguito. Notiamo che il
fattore ek/2M che moltiplica F2(q2) e il
momento magnetico del nucleone ( k e il
momento magnetico anomalo misura il rapporto
tra il momento magnetico del nucleone e quello
e/2M di una particella point-like di spin ½ come
l elettrone).
24
Scattering elastico e-N
In effetti si dimostra che nel limite non
relativistico, linterazione (1.10) tra una
corrente e il 4-potenziale
(1.10)
si decompone in una parte elettrica e una
magnetica. Cio discende dalla eguaglianza
(decomposizione di Gordon della corrente)
(1.18)
e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito
in (1.10) da, nel limite non relativistico
dove y(2) e uno spinore bidimensionale,
sono le matrici di Pauli il
termine a destra da linterazione m?B di una
particella di momento magnetico me/2M col campo
magnetico B
per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin,
cap.6.2
25
Scattering elastico e-N
Se si inserisce jmhadr nell elemento di matrice
(1.13)
(ricordiamo che
)
la sezione durto che si ottiene e data dalla
formula di Rosenbluth
(1.19)
dove ora M e la massa del nucleone.
26
Scattering elastico e-N
E utile introdurre le combinazioni lineari
(1.20)
che sono, come vedremo, interpretabili come
fattori di forma magnetico ed elettrico del
nucleone esse sono la trasformata di Fourier
delle distribuzioni di carica elettrica e di
momento magnetico nel nucleone.
La formula di Rosenbluth viene riscritta
(1.19)
27
Scattering elastico e-N
Negli esperimenti di scattering elastico su
targhetta fissa, il momento trasferito e
determinato dalla misura dell energia E dell
elettrone diffuso e dall angolo di diffusione
E
q
e-
E
M
Nel diagramma di Rosenbluth costruito
selezionando dati a q2 fissato
da Perkins fig.6.4
la pendenza misura direttamente il fattore di
forma magnetico GM(q2) al valore scelto di q2
dall intercetta A(q2) si determina GE(q2).
28
Scattering elastico e-N
Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator
(SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno
(gt protoni) e su deuterio (gtneutroniprotoni)).
Per sottrazione, da questi ultimi e possibile
ottenere la sezione durto su neutroni
e quindi determinare i fattori di forma anche del
neutrone. GE,Mp,n(q2) sono stati misurati in un
esteso intervallo di momenti trasferiti vedi,
e.g., Phys.Rev.139B(458),1965
2.79
da Burkam-Jobes Fig.12.8
2.0
GMp
GMn/(1.91)
1.0
GEp
GEn
29
Scattering elastico e-N
Tutti i dati sono descritti da un unico andamento
di dipolo
(1.21)
dove il fit ai dati sperimentali da m2 0.71
GeV2 e le quantita
misurano i momenti magnetici del protone e del
neutrone

(1.22)
e il magnetone nucleare, momento magnetico di
una particelle di Dirac point-like di massa mN
si ricordi che il
magnetone di Bhor vale
30
Scattering elastico e-N
Come detto, GE e GM sono i fattori di forma
elettrico e magnetico del nucleone, sono cioe in
relazione con la sua distribuzione di densita
di carica elettrica e di momento magnetico .
Osserviamo infatti che dalla (1.20)
e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19),
per q2 ? 0
(1.23)
A bassi q2( basse velocita), l elettrone vede
solo il potenziale elettrostatico (la parte
magnetica e trascurabile), ossia nell
ampiezza di scattering
possiamo porre
con
31
Scattering elastico e-N
F(x) non dipende dal tempo
dove
Utilizzando l integrazione per parti
( r e la densita di carica elettrica)
e l eq. di Poisson per il potenziale
32
Scattering elastico e-N
Inserendo in Tif tale espressione si ottiene
con
Se inserisce questa espressione di Mif nel
calcolo della sezione durto
(1.24)
si ottiene
33
Scattering elastico e-N
e confrontando con (1.23) si vede che
(1.25)
ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) e la
trasformata di Fourier della densita di carica
elettrica er(r) del nucleone. Sperimentalmente,
abbiamo visto che
Con m20.71 GeV2 questo risultato puo essere
direttamente messo in relazione con le dimensioni
del nucleone. Consideriamo una distribuzione a
simmetria sferica (la costante di
normalizzazione e Am3/8p, imponendo
)
Dalla (1.25) si ha
-dcosq
34
Scattering elastico e-N
con
In definitiva, inserendo si
ottiene
dove per brevita negli integrali si e sempre
inteso qq e quindi q2 q2 gt0 nell
espressione
con q2 si intende invece il modulo quadro del
4-impulso trasferito q(k-k) q2 ?-2kk-q2
lt0, e quindi le due espressioni coincidono.
35
Scattering elastico e-N
Il valore m20.71 GeV2 e quindi legato al
raggio R della distribuzione di carica
(vedi Es. 1.5)
Il raggio del nucleone misurato dal fattore di
forma elettrico del protone e dell ordine di
qualche frazione di Fermi. Piu precisamente, il
valor medio del quadrato del raggio della
distribuzione di carica e
SLAC, Hofstadter e collab.
(4!) / m5
36
Es.1.1 variabile s di Mandelstam
essendo ECM2p
per me, mq ltlt E
e-
In un esperimento su taghetta fissa pq(m,0)
e-
pe
pe
Ad esempio, negli esperimenti a SLAC Ee20 GeV,
m mN0.94 GeV ECM ? 6 GeV Ad un collisore con
fasci simmetrici invece ECM 2
Ebeam (esempio LEP1 ,2 Ebeam44-47 GeV, 80
-105 GeV Tevatrone 0.9 TeV ) con fasci
asimmetrici di energie E1, E2 (esempio
collisore e-p HERA (Desy,Amburgo)
Ee27.5 GeV, Ep920 GeV ? ECM ? 320 GeV
)
pq
pq
37
Es.1.2 momento trasferito e angolo di scattering
Dimostrare che
E
q
e-
E
M
Si ha
angolo di scattering nel laboratorio
38
Es.1.3 formula di Mott
Dimostrare che
Utilizzando la conserv. del 4-impulso p pq
p k - k , si ha
q2(k-k)2 ? -2kk
? 0
? 0
Nel laboratorio p( M, 0) k( E , k) k(E, k)
39
Es.1.3 formula di Mott (cont.)
Allora
es. 1.2
si osservi

In definitiva
? 0
40
Es.1.4 energia dell elettrone uscente nello
scattering elastico e-p
Dimostrare
Abbiamo visto che es. 1.3
Allora
Esperimento a SLAC E 401 MeV, q75o M939
MeV (targhetta di idrogeno) ? E 305 MeV
Hofstadter e collab., 1956
41
Es.1.5 raggio del nucleone
Ricordiamo che in unita naturali
inoltre
Pertanto
nota un altro utile fattore di conversione e
il seguente
infatti 1 barn 10-24 cm2 10-28 m2 ? 1 mb
10-31 m2 0.1 fm2
Allora
Come gia discusso
42
Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford
LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in
funzione a Stanford (California) a meta degli
anni 50
contatore di elettroni
Spettrometro su piattaforma rotante
R.Taylor,J.Friedman, W.Kendall Lectures for
Nobel Prize, 1990 Rev.Mod.Phys63 (1991),573
43
Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)
Alla fine degli anni 60, e entrato in funzione
l acceleratore Lineare lungo 2 Miglia Ebeam20
GeV - lintervallo di q2 e stato notevolmente
esteso - si ha accesso allo scattering
inelastico (il nucleone viene spaccato con
produzione di adroni nello stato finale)
Furono realizzati 3 spettrometri dedicati per
elettroni da 1.6, 8 e 20 GeV
44
Gli esperimenti a SLAC
Spettrometri a piccola accettanza angolare (dW
?1 msterad) posizionabili a diversi angoli di
diffusione (1,5 - 250 per E20 GeV)
45
Gli esperimenti a SLAC
separatore e/p
Esperimenti precedenti
1 GeV2
46
Gli esperimenti a SLAC (II)
Spettrometro da 20 GeV
Primo uso massiccio di computer nel controllo
on-line