Introdu

1

• Introdução à Robótica

PROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATOE-mail
andre.marcato_at_ufjf.edu.br PPEE Sala 206 2102
3460 Aula Número 03
Cinemática Composição de Matrizes de
Rotação Ângulos de Euler Transformação Homogênea
2
Composição de Matrizes de Rotação(1)

• Para derivar as regras de composição de matrizes
  de rotação, é importante considerar a expressão
  de um vetor em três frames diferentes com origem
  comum O
• Frame O-x0y0z0
• Frame O-x1y1z1
• Frame O-x2y2z2
• O vetor p descrevendo a posição de um ponto
  qualquer no espaço pode ser expresso em cada um
  dos frames acima por p0, p1, p2.

3
Composição de Matrizes de Rotação(2)

• Qual é a relação entre a expressão p2 do vetor p
  relativa ao frame 2 e a expressão p1 do vetor p
  relativa ao frame 1??
• Analogamente

4
Composição de Matrizes de Rotação(3)

• Esta relação pode ser interpretada como uma
  composição de rotações sucessivas.
• Considere um frame inicialmente alinhado com o
  frame O-x0y0z0. A rotação expressa por R20 pode
  ser obtida em dois passos
• Primeiro rotacione a frame dada de acordo com
  R10, o que a alinhará com o frame O-x1y1z1.
• Então, rotacione a frame, agora alinhada com
  O-x1y1z1, de acordo com R21 fazendo com que fica
  alinhada com O-x2y2z2

5
Composição de Matrizes de Rotação(4)

• Observe que toda rotação pode ser expressa como
  uma seqüência de rotações parciais. Cada rotação
  é definida em relação a sua precedente.
• Frame corrente Frame em relação a qual a rotação
  será realizada.
• Propriedade

6
Sucessivas Rotação de Um Objeto Sobre o Frame
Corrente (1)
7
Sucessivas Rotação de Um Objeto Sobre o Frame
Corrente (2)
8
Rotações Sucessivas de um Objeto em Torno de um
Frame Fixo (1)
9
Rotações Sucessivas de um Objeto em Torno de um
Frame Fixo (2)
10
Composição de Matrizes de Rotação(5)

• Rotações sucessivas também podem ser
  constantemente referenciadas ao frame inicial.
• Neste caso as rotações são feitas em relação a um
  frame fixo.

Matriz de rotação do frame O-x1y1z1 em relação ao
frame fixo O-x0y0z0
Matriz de rotação caracterizando o frame O-x2y2z2
em relação ao frame O-x0y0z0, a qual é obtida
como uma rotação do frame 1 de acordo com a matriz
11
Composição de Matrizes de Rotação(6)

• Considerando a regra de composição de matrizes
  através de transformações no frame corrente, a
  rotação total pode ser calculada através dos
  seguintes passos
• Primeiro, realinhe o Frame 1 com o Frame 0
  através da rotação R01
• Então, faça a rotação expressa por ___ em relação
  ao frame corrente.
• Finalmente, compense a rotação de realinhamento
  do passo 1 através da rotação inversa ____.

12
Ângulos de Euler (1)

• As matrizes de rotação fornecem uma descrição
  redundante da orientação do frame. R é composta
  por nove elementos (matriz 3x3) que não são
  independentes, mas relacionados por 6 restrições
  devido as condições de ortogonalidade.

Isto implica que três parâmetros são suficientes
para descrever a orientação de um corpo rígido no
espaço.
13
Ângulos de Euler (2)

• A representação da orientação através de três
  parâmetros independentes constitui a chamada
  representação mínima.
• De fato, a representação mínima no espaço
  ortonormal requer m(m-1)/2 parâmetros.
• SO(3) 3 parâmetros
• SO(2) 1 parâmetro

14
Ângulos de Euler (3)

• Uma representação mínima de orientação pode ser
  obtida através da utilização de um conjunto de
  três ângulos

• Considerando uma matriz de rotação expressando
  uma rotação elementar em torno de um eixo. Então,
  uma matriz de rotação genérica pode ser obtida
  pela composição de três rotações elementares
  seguidas, tomando o cuidado de não permitir duas
  rotações consecutivas em torno do mesmo eixo.
• 27 combinações total. 12 possíveis
  (descontando-se rotações consecutivas no mesmo
  eixo).
• CADA CONJUNTO REPRESENTA UMA TRIPLA DE ÂNGULOS DE
  EULER.
• Dois conjuntos serão analisados ZYZ e ZYX

ZYX (Roll-Pitch-Yaw Angles) roll (balanceio
j) pitch (empinamento q) yaw (cabeceio y)
15
Ângulos ZYZ

• É obtida pela composição das seguintes rotações
  elementares
• Rotação do frame de referência pelo ângulo j em
  torno do eixo z esta rotação é descrita pela
  matriz ____.
• Rotação do frame corrente pelo ângulo u em torno
  do eixo y esta rotação é descrita pela matriz
  ____.
• Rotação do frame corrente pelo ângulo y em torno
  do eixo z esta rotação é descrita pela matriz
  _____.

16
Ângulos ZYZ Problema Inverso
17
Ângulos RPY (Roll, Pitch e Yaw)

• É obtido através da rotação em relação a um frame
  fixo anexado ao centro de massa do corpo.
• Rotação do frame de referência pelo ângulo y em
  torno do eixo x (yaw ou cabeceio) esta rotação é
  descrita pela matriz ____.
• Rotação do frame de referência pelo ângulo u em
  torno do eixo y (pitch ou empinamento) esta
  rotação é descrita pela matriz ____.
• Rotação do frame de referência pelo ângulo j em
  torno do eixo z (roll ou balanceio) esta rotação
  é descrita pela matriz _____.

18
Ângulos RPY (Problema Inverso)
A seqüência de rotações ordenadas XYZ em torno
dos eixos de um frame fixo é equivalente à
seqüência ZYX em torno do frame corrente.
19
Ângulo e Eixo (1)

• Uma representação não mínima de orientação pode
  ser obtida com 4 parâmetros expressando a rotação
  de um dado ângulo em torno de um eixo no espaço.
• Seja o vetor unitário r de um eixo de rotação em
  relação ao frame de referência
• Ângulo de rotação em torno do eixo r

20
Ângulo e Eixo (2)

• Primeiro alinhe r com z, através de uma seqüência
  de rotações a em torno de z e uma rotação b em
  torno de y.
• Rotacione por em torno de z.
• Realinhe com a direção inicial r, com uma rotação
  b em torno de y e uma rotação a em torno de z.

21
Ângulo e Eixo (3)
Duas representações diferentes levam a mesma
matriz de rotação.
22
Ângulo e Eixo (Problema Inverso)
23
Quartenion Unitário (Unit Quaternion)
Parte Vetorial do Quartenion
Parte Escalar do Quartenion
24
Quartenion Unitário (2)
25
Quarternion Unitário (3)
26
Transformações Homogêneas (1)

• Posicionamento de um corpo rígido no espaço
• Translação Posição de um determinado ponto do
  corpo rígido em relação ao frame de referência.
• Orientação Componentes dos vetores unitários do
  frame anexado ao corpo rígido (origem) em relação
  ao frame de referência.

27
Transformações Homogêneas (2)

• Considere um ponto P arbitrário no espaço
• p0 é o vetor com as coordenadas P em relação ao
  frame O0-x0y0z0,
• o10 é o vetor descrevendo a origem do Frame 1 em
  relação ao Frame 0.
• R10 é a matriz de rotação do Frame 1 em relação
  ao Frame 0.
• p1 é o vetor com as coordenadas P em relação ao
  frame O1-x1y1z1,

28
Transformações Homogêneas (3)
29
Transformações Homogêneas (4)

• Como a operação de translação não é linear, é
  adicionada uma coordenada extra em cada vetor
• Com isto, a transformação de coordenadas pode ser
  através de uma matriz 4x4.

30
Transformações Homogêneas (5)