Procedimento per studiare una funzione

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Procedimento per studiare una funzione
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• Lo studio di una funzione, reale di una variabile
  reale yf(x), consiste nel determinare gli
  elementi
• caratterizzanti la funzione che permettono di
  disegnarne il graficosi può procedere con il
  seguente schema.
• 1.Determinazione del campo di esistenza (C.E.)
  i casi che si possono presentare sono i seguenti.
• Funzioni razionali intere il C.E.è costituito
  da qualunque valore della x.
• Funzioni razionali fratte il C.E. è costituito
  da ogni valori della x , esclusi, se ci sono,
  quelli che rendono nullo il denominatore della
  funzione.
• Funzioni irrazionalisi devono distinguere due
  casi in relazione allindice n della radice
• se n è dispari il C.E. è formato
  da ogni x reale esclusi quelli, eventuali,
  che annullano denominatori,
• se n è pari il C.E. è costituito
  soltanto da quegli x che rendono positivo o
  nullo il radicando.
• Funzioni goniometriche ysen(x) e ycos(x)
  esistono per ogni x reale mentre ytg(x)
  esiste per
• con k intero
  relativo , e yctg(x) esiste per ogni
  con k intero relativo.
• Funzioni esponenziali del tipo
  la condizione che determina il C.E.
  è che la base sia positiva cioè, f(x)gt0.
• Funzioni logaritmiche del tipo
  le condizioni che individuano il
  C.E. sono le seguenti f(x)gt0 e g(x)gt0,
  .

Avanti continua il procedimento
2
2

• g) Funzioni goniometriche inverse yarcsen(x)
  e yarccos(x) sono definite per
  ,mentre
• yarctg(x) e yarcctg(x) esistono per
  ogni x reale.
• h) Funzioni iperboliche
• sono definite per ogni x .
• Funzioni in valore assoluto il valore assoluto
  non induce alcuna limitazione al C.E. della
  funzione.
• 2. Intersezioni con gli assi cartesiani
• per lintersezione con lasse x , si
  risolve il sistema formato dalle due equazioni
• cioè si risolve lequazione f(x)0
• per lintersezione con lasse y , si
  risolve il sistema formato da
  .
• Può essere utile individuare anche le
  eventuali simmetrie rispetto allasse y o
  allorigine e le eventuali periodicità.
• 3. Studio del segno della funzione
• La funzione è positiva quando il suo grafico
  si trova, rispetto agli assi cartesiani, dalla
  parte del semiasse positivo delle y
  lintervallo di positività si determina
  risolvendo la disequazione
  .

Avanti continua il procedimento
Indietroinizio del procedimento
3
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4.Calcolo di limiti Si calcolano i limiti
negli estremi del C.E. per vedere landamento
della funzione si trovano gli eventuali punti
di discontinuità e si stabilisce la specie. 5.
Ricerca degli asintoti Gli asintoti possono
essere di tre tipi verticali, orizzontali e
obliqui. a) Asintoti verticali una retta del
tipo xa è un asintoto verticale se è
soddisfatta la condizione b) Asintoti
orizzontali una retta di equazione yk è un
asintoto orizzontale se c) Asintoti obliqui
la retta di equazione ymxq risulta un asintoto
obliquo, per il grafico della funzione,
se,dopo avere verificato che è soddisfatta la
condizione ,
risultano finiti i valori dei due limiti
Si noti che trattando lo studio di
funzioni univoche la presenza di un asintoto
orizzontale esclude la presenza di quello
verticale e viceversa.
Indietroprocedimento
Inizio procedimento
Avanticontinua procedimento
4
4
6. Studio del segno della derivata prima La
funzione è crescente negli intervalli che sono
soluzione della disequazione
mentre è decrescente per
. Un punto di ascissa è un massimo
relativo, , se sono soddisfatte le
condizioni Il punto è un minimo
relativo se 7. Studio del segno della derivata
seconda La funzione ha la concavità rivolta
verso lalto negli intervalli che costituiscono
la soluzione della disequazione
mentre la concavità è rivolta
verso il basso quando In un punto di
massimo relativo risulta pertanto
mentre in un minimo relativo si ha Un punto si
dice di flesso, F , quando risulta
in un punto di flesso la retta
tangente alla curva-grafico della funzione,
attraversa la curva stessa. Quando la tangente
inflessionale è parallela allasse x ,deve
essere
.
Inizio del procedimento
Indietroprocedimento
Avanticontinua procedimento
5
5
8. Esame di situazioni particolari a) Punti
in cui non esiste la derivata prima flessi
verticali, cuspidi, punti angolosi. b)
Simmetrie rispetto a punti o rette
particolari. Studiamo ora un esempio di
funzione razionale fratta.
Inizio procedimento
Indietro. procedimento
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Funzioni razionali fratte
Sono funzioni razionali fratte quelle del tipo
in cui la x compare al
denominatore. Sono caratterizzate dal fatto che
generalmente presentano degli asintoti verticali
del tipo per i valori della x in cui
si annulla il denominatore. Cioè per gli x tali
che risulta ,tali valori sono
esclusi dal C.E. Esempio 1
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7
Esempio 1
Grafico
Funzione
Campo di esistenza C.E.
(Clic per visualizzare)
1
Avantipag.seguente
Torna a procedimento
Torna a funz.raz.fratte
8
Intersezione asse y
Intersezioni asse x
Segno della funzione

Grafico
Grafico
(Clic per visualizzare)
Grafico
Avanti
Procedimento
Funz.raz.fratte
Indietropag.precedente
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Calcolo limiti in estremi C.E.
(fare clic per visualizzare)
Y1
Asintoti verticali x1
X1
Asintoti orizzontali y1
Asintoti obliquinon ce ne sono
Procedimento
Funz.raz.fratte
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Calcolo della derivata prima
Studio del segno della derivata prima
Intervalli di crescenza decrescenza La funzione è
crescente per 1ltxlt4
Massimi e minimi relativi Cè un massimo relativo
in Mr(4,4/3)
Avanti
Funz.raz.fratte
Procedimento
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Calcolo derivata seconda
Studio segno derivata seconda
Concavità verso lalto e verso il basso La
funzione ha la concavità verso lalto perxgt11/2,
verso il basso per xlt4 ma
Punti di flessocè un punto di flesso per x11/2
Procedimento
Funz.raz.fratte
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Avanti
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Grafico della funzione
(fare clic per visualizzare gli
elementi)
X1
Y1
Flesso
C(2,0)
B(-2,0)
A(0,-4)
Fine
Procedimento
Funz.raz.fratte
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