Lecci

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(No Transcript)
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Lección 17 Indice

• 17.1 .- Introducción al Potencial Interno.
• 17.3 .- Teorema de Clapeyron. Expresiones del
  potencial interno.
• 17.4 .- Teorema de reciprocidad de Maxwell -
  Betti.

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Lección 18 Indice

• 18.1 .- Teorema de Castigliano. Integrales
  de Mohr.
• 18.2 .- Teorema inverso de Castigliano.
• 18.3 .- Sistemas hiperestáticos exteriormente.
  Teorema de Menabrea o de la energía mínima.
• 18.4 .- Sistemas hiperestáticos interiormente.
• 18.5 .- Entramados de barras articuladas.

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Energía de deformación almacenada en una barra
prismática sometida a tracción o compresión.
F
Teorema de Clapeyron
dW (F dF)dd F(dFL/SE) dF2L/SE
5
Energía de deformación almacenada en una barra
prismática sometida a tracción o compresión.
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Deformaciones en cortadura
g t / G
g
Módulo de elasticidad transversal, Módulo de
esfuerzo cortante, Módulo de rigidez a cortadura
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Energía de deformación en cortadura por unidad de
Volumen
Energía de deformación en tracción por unidad de
Volumen
Energía de deformación en cortadura por unidad de
Volumen
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Energía de deformación provocada por las t en
Flexión
dy g dx
g t / G
B
dV (tBdy)
dW ½ (tBdy)( gdx) (t2Bdydx)/2G
g
dx
dW ?s dWdS dx/2G ?s (t2 Bdy) dx/2G ?s
Bdy (V Me/BIz)2
dW V2 dx/(2G Iz2) ?s (Me2/B) dy V2 dx/(2G
Sr)
Iz2 . ?s (Me2/B) dy
Sr
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Energía de deformación en Flexión
Energía de deformación en Flexión
dW uV M2dx/2EIz
V dSdx
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FORMULACIÓN

• Cálculo de tensiones y deformaciones

225000W
T
np
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Energía de deformación en Torsión
Energía de deformación en Torsión
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Energía de deformación
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Expresiones de potencial interno

• Módulo de Resiliencia
• Máxima energía de deformación, por unidad de
  volumen que se puede almacenar en un cuerpo sin
  que se produzcan deformaciones permanentes.

dW ½ sTe
UTotal UN UV UMF UMT
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Teorema de Maxwell - Betti
W12 ½F1d1 F1d2 ½F2d2
Si W12 W21 gt
F1d2 F2d1
W21 ½F2d2 F2d1 ½F1d1
Los coeficientes de influencia recíprocos son
iguales
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Teorema de Castigliano
La derivada parcial del potencial interno de un
sistema elástico, sometido a un conjunto de
acciones, respecto a una de ellas es igual a la
proyección, sobre la dirección y sentido de la
acción, del correspondiente desplazamiento de su
punto de aplicación originado por el conjunto de
todas ellas.
dF ?U/?F ?(?MF2 /?F) dx/(2EIz) ? MF
(?MF/?F) dx/(EIz)
FM ?U/?M ?(?MF2 /?M) dx/(2EIz) ?MF
(?MF/?M) dx/(EIz)
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Resolución de Pórtico
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Resolución de Pórtico
FB0
0 (3LMB -HB(L2/2 L2L2/2)-P(L2/8
L2/2)RB(L2/2L2)/EIz
0 (3LMB -HB2L2-P5L2/8RB3L2/2)/EIz
dVB0
0 (MB(3L2/2) -HBL3 -P(29L3/48)
RB(4L3/3))/EIz
dHB0
0 (MB(2L2) -HB(5/3L3 )-P(3L3/8)
RBL3)/EIz
P5L/8 3MB - HB2L RB3L/2
P29L/48 3MB/2 - HBL RB4L/3
P3L/8 2 MB 5HBL /3 RBL
RB P /2
HB P /8
MB PL /24
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Resolución de Pórtico
SdVB0
dVB1 (MB(L2/2 L2))/EIz
dVB2 (-HB(L2L/2L2/2 L))/EIz
dVB3 (-P(L2/8(L/22/3L/2) L2/2L))/EIz
dVB4 (RB(L2/22/3LL2 L))/EIz
B
FB 0 (3LMB -HB2L2-P5L2/8RB3L2/2)/EIz
dVB 0 (MB(3L2/2) -HBL3 -P(29L3/48)
RB(4L3/3))/EIz
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Resolución de Pórtico
SdHB0
dVH1 (MB(2L2/2 L2))/EIz
dVH2 (-HB (2L2/2 2/3L L3))/EIz
dVH3 (-P(L2/8LL2/2L/2))/EIz
dVH4 (RB(L2/2LL2 L/2)/EIz
FB 0 (3LMB -HB2L2-P5L2/8RB3L2/2)/EIz
dVB 0 (MB(3L2/2) -HBL3 -P(29L3/48)
RB(4L3/3))/EIz
dHB 0 (MB(2L2) -HB(5/3L3 )-P(3L3/8)
RBL3)/EIz
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Resolución de Pórtico
M1 MB - HBx
0 lt x lt L
M2 MB - HBL RBx
0 lt x lt 1/2L
M3 MB - HBL RB(1/2Lx) - Px
0 lt x lt 1/2L
M4 MB - HBx RBL - P1/2L
0 lt x lt L
FB 0 ?U/?MB ?L M1(?M1/?M)dx/(EIz) ?L/2
M2(?M2/?M)dx/(EIz) ?L/2 M3(?M3/?M)dx/(EI
z) ?L M4(?M4/?M)dx/(EIz)
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Resolución de Pórtico
M2 MB - HBL RBx
0 lt x lt 1/2L
M1 MB - HBx
0 lt x lt L
M3 MB - HBL RB(1/2Lx) - Px
0 lt x lt 1/2L
M4 MB - HBx RBL - P1/2L
0 lt x lt L
(?M1/?MB) (?M2/?MB) (?M3/?MB) (?M4/?MB) 1
FB0 ?U/?MB ?L M1(?M1/?M)/(EIz) ?L/2
M2(?M2/?M)/(EIz) ?L/2 M3(?M3/?M)/(EIz) ?L
M4(?M4/?M)/(EIz) ?L (MB - HBx)
(?M1/?M)/(EIz) ?L/2 (MB - HBL
RBx)(?M2/?M)/(EIz) ?L/2 (MB - HBL
RB(1/2Lx) - Px)(?M3/?M)/(EIz) ?L (MB -
HBx RBL - P1/2L)(?M4/?M)/(EIz)
(MB x- ½HBx2)/(EIz)L (MB x - HBL x
½RB x2)/(EIz) L/2 (MB x - HBLx
RB(1/2Lx ½x2) - P ½x2)/(EIz) )L/2
(MB x - HB ½x2 RBLx - P1/2Lx)/(EIz)L
(3M-2HL3/2RL-5/8PL)L/(EIz)
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Resolución de Pórtico
M2 MB - HBL RBx
0 lt x lt 1/2L
M1 MB - HBx
0 lt x lt L
M3 MB - HBL RB(1/2Lx) - Px
0 lt x lt 1/2L
M4 MB - HBx RBL - P1/2L
0 lt x lt L
(?M1/?HB) -x (?M2/?HB) -L (?M3/?HB) -L
(?M4/?MB) -x
dBH0 ?U/?HB ?L M1(?M1/? HB)/(EIz) ?L/2
M2(?M2/? HB)/(EIz) ?L/2 M3(?M3/? HB)/(EIz)
?L M4(?M4/? HB)/(EIz) ?L (MB - HBx)
(-x)/(EIz) ?L/2 (MB - HBL
RBx)(-L)/(EIz) ?L/2 (MB - HBL
RB(1/2Lx) - Px)(-L) ?L (MB - HBx RBL
- P1/2L)(-x)/(EIz)
(-MB ½x2 1/3HBx3)/(EIz)L (- MB Lx
HB L2 x - ½RBL x2)/(EIz) L/2 (- MB
Lx HB L2 x - RB(1/2 L2 x ½Lx2) P
L½x2)/(EIz) )L/2 (- MB ½x2 HB 1/3x3
- RBL ½x2 P1/2L ½x2 )/(EIz)L
(-2M5/3HL-RL -3/8PL)L2/(EIz)
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Resolución de Pórtico
M2 MB - HBL RBx
0 lt x lt 1/2L
M1 MB - HBx
0 lt x lt L
M3 MB - HBL RB(1/2Lx) - Px
0 lt x lt 1/2L
M4 MB - HBx RBL - P1/2L
0 lt x lt L
(?M1/?RB) 0 (?M2/?HB) x (?M3/?HB) ½Lx
(?M4/?MB) L
dBR0 ?U/?RB ?L M1(?M1/? RB)/(EIz) ?L/2
M2(?M2/? RB)/(EIz) ?L/2 M3(?M3/? RB)/(EIz)
?L M4(?M4/? RB)/(EIz) ?L (MB - HBx)
(0)/(EIz) ?L/2 (MB - HBL RBx)(x)/(EIz)
?L/2 (MB - HBL RB(1/2Lx) - Px)(1/2Lx)
?L (MB - HBx RBL - P1/2L)(L)/(EIz)
(MB ½x2 - ½HBLx2 RB 1/3x3)
/(EIz)L/2 ( MB 1/2Lx - ½HBL2 x
¼RBL2x ¼RBLx2 ¼P Lx2)/(EIz) L/2
(MB ½x2 - ½HBLx2 RB¼Lx2 RB 1/3x3) -
P L1/3x3)/(EIz) )L/2 ( MB Lx ½HB
Lx2 RB L2 x - P1/2 L2 x )/(EIz)L
(3/2M-HL4/3RL-29/48PL)L2/(EIz)
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Resolución de Pórtico
P5L/8 3MB - HB2L RB3L/2
P29L/48 3MB/2 - HBL RB4L/3
RB P /2
P3L/8 2 MB 5HBL /3 RBL
HB P /8
MB PL /24