Lecci

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Lección 3Conceptos básicos
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OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA
Es el único procedimiento (frente a optimización
gráfica y analítica que permite abordar problemas
complejos. Problema dificultad en encontrar el
óptimo global en algunos casos.
Normalmente sólo conocemos el valor de un punto
(xk y f(xk)) y alguna información local adicional
(derivadas,)
Cómo continuo?
Procedimiento básico de optimización numérica

1. Determinar un buen siguiente punto que mejore la
   función objetivo
2. Comprobar si se puede seguir mejorando. Si se
   puede volver al punto 1.
3. Parar en un mínimo local.

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OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA

• Optimización numérica empleando información
  local
• A partir del punto inicial, cómo decidimos
• La dirección del cambio
• La distancia en esa dirección
• Si es posible mejorar más

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OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA
La ecuación básica
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NUMERICAL OPTIMIZATION
escalar
vector
Determina el tamaño del cambio ? gt0
Determina la dirección del cambio Dx gt0
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NUMERICAL OPTIMIZATION

• Cómo determinamos
• ? and ?x?
• Cómo sabemos
• cuando parar?

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CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
Una región es convexa si todos los puntos de una
línea que conecta dos puntos de la región están
en dicha.
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CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
Convexidad y la función objetivo. Una función de
x (vectorial) es convexa si cumple
Donde 0 ? ? ? 1.
Es convexa esta función?
f(x)
x
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CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
La minimización de una función convexa sobre una
región convexa tiene la siguiente propiedad
Programación convexa
Un mínimo local es también un mínimo global!
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CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
Es convexa la función objetivo de la figura?
x2
x1
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PROBLEM FEATURES Help us understand optimization
We want to minimize the function for each of the
problems below. Determine the minimum. Then,
generalize the result - what are the conditions
for a local minimum, global minimum?
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Determinación de la convexidad de una función
f(x) es H(x) es xTH(x)x Valores propios
Strictly convex positive definite gt0 gt0
Convex positive semi definite gt0 gt0
Strictly concave negative definite lt0 lt0
Concave negative semi definite lt0 lt0
H(x) es el Hessiano (segunda derivada de la
matriz)
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Son convexas las siguientes funciones?
l11,l27
4 -3
-3 4
convexa
f(x)2x12-3x1x22x22
2 1
1 0
l11?2,l21-?2
f(x)x12x1x22x24
??
0 0
0 0
f(x)2x1-3x26
l10,l20
convexa y cóncava
Las siguientes restricciones forman una región
convexa?
-x12x2gt1 x1-x2gt-2
CONVEXA
-2 0
0 0
convexa
g1(x)-x12x2-1gt0 g2(x)x1-x22gt0
convexa y cóncava
0 0
0 0