Sin t

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Localización de puntos en una subdivisión del
plano
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(No Transcript)
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Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de
disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho
mejor regido cuando hay pocas, pero muy
estrictamente observadas, así también, en lugar
del gran número de preceptos que encierra la
lógica, creí que me bastarían los cuatro
siguientes, supuesto que tomase una firme y
constante resolución de no dejar de observarlos
una vez siquiera Fue el primero, no admitir
como verdadera cosa alguna, como no supiese con
evidencia que lo es es decir, evitar
cuidadosamente la precipitación y la prevención,
y no comprender en mis juicios nada más que lo
que se presentase tan clara y distintamente a mí
espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de
ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de
las dificultades, que examinare, en cuantas
partes fuere posible y en cuantas requiriese su
mejor solución. El tercero, conducir
ordenadamente mis pensamientos, empezando por los
objetos más simples y más fáciles de conocer,
para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente,
hasta el conocimiento de los más compuestos, e
incluso suponiendo un orden entre los que no se
preceden naturalmente. Y el último, hacer en
todo unos recuentos tan integrales y unas
revisiones tan generales, que llegase a estar
seguro de no omitir nada.
René Descarte
(31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650)
Discurso del método
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Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de
disculpa a los vicios, siendo un Estado mucho
mejor regido cuando hay pocas, pero muy
estrictamente observadas, así también, en lugar
del gran número de preceptos que encierra la
lógica, creí que me bastarían los cuatro
siguientes, supuesto que tomase una firme y
constante resolución de no dejar de observarlos
una vez siquiera Fue el primero, no admitir
como verdadera cosa alguna, como no supiese con
evidencia que lo es es decir, evitar
cuidadosamente la precipitación y la prevención,
y no comprender en mis juicios nada más que lo
que se presentase tan clara y distintamente a mí
espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de
ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de
las dificultades, que examinare, en cuantas
partes fuere posible y en cuantas requiriese su
mejor solución. El tercero, conducir
ordenadamente mis pensamientos, empezando por los
objetos más simples y más fáciles de conocer,
para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente,
hasta el conocimiento de los más compuestos, e
incluso suponiendo un orden entre los que no se
preceden naturalmente. Y el último, hacer en
todo unos recuentos tan integrales y unas
revisiones tan generales, que llegase a estar
seguro de no omitir nada.
René Descarte
(31 de marzo, 1596 - 11 de febrero, 1650)
Discurso del método
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Teorema 2.1 Toda línea poligonal cerrada C
divide el plano en dos regiones, una acotada y la
otra no. Además, se puede determinar si un punto
p está en la región acotada contando el número de
veces que cualquier semirrecta que comienza en p
atraviesa a C p estará en dicha región si y sólo
si dicho número es impar.                         
           
Corolario 2.1 Es posible determinar si un punto
está en el interior de una región acotada por una
línea poligonal simple cerrada en tiempo O(n).
Es óptimo?
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La repetición n veces de un algoritmo óptimo es
la estrategia óptima?
preprocesamiento procesmiento K veces
Algoritmo 1 0 O(n) O(kn)
Algoritmo 2 O(n log n) O(log n) O(klog n nlog n)
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Insertar un número en una lista ordenada
(Búsqueda binaria)
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1 2 5 6 8 9 10 11 13
1 2 5 6
8 9 10 11 13
1 2
5 6
1
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La repetición n veces de un algoritmo óptimo es
la estrategia óptima?
preprocesamiento procesmiento K veces
Algoritmo 1 0 O(n) O(kn)
Algoritmo 2 O(n log n) O(log n) O(klog n nlog n)
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1.- Localizar un punto en el interior del polígono
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1.- Localizar un punto en el interior del
polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto
pasando por los vértices del polígono. 3.-
Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.
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1.- Localizar un punto en el interior del
polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto
pasando por los vértices del polígono. 3.-
Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.
O(n log n)
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4.- Localizamos en qué región angular estamos.
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4.- Localizamos en qué región angular estamos.
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4.- Localizamos en qué región angular
estamos. 5.- En dicha región determinamos si
estamos dentro o fuera del polígono.
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4.- Localizamos en qué región angular
estamos. 5.- En dicha región determinamos si
estamos dentro o fuera del polígono.
O(log n)
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Teorema 2.2 Es posible determinar si un punto
está en el interior de una región acotada por un
poligono convexo en tiempo O(log n), con O(n log
n) de preprocesamiento.
1.- Localizar un punto en el interior del
polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto
pasando por los vértices del polígono. 3.-
Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.
O(n log n)
4.- Localizamos en qué región angular
estamos. 5.- En dicha región determinamos si
estamos dentro o fuera del polígono.
O(log n)
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Decimos que p está en el núcleo de P (p ? ker P),
si para todo q ? P se verifica que el segmento pq
está incluido en el interior de P.
Lema El núcleo de un polígono puede calcularse
en tiempo O(n log n)
núcleo
1.- Localizar un punto en el interior del
polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto
pasando por los vértices del polígono. 3.-
Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.
O(n log n)
4.- Localizamos en qué región angular
estamos. 5.- En dicha región determinamos si
estamos dentro o fuera del polígono.
O(log n)
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Teorema La intersección de n semiplanos puede
calcularse en tiempo O(n log n)
Lema El núcleo de un polígono puede calcularse
en tiempo O(n log n)
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núcleo
1.- Localizar un punto en el interior del
polígono 2.- Trazar semirrectas desde ese punto
pasando por los vértices del polígono. 3.-
Ordenar dichas semirrectas según su pendiente.
O(n log n)
4.- Localizamos en qué región angular
estamos. 5.- En dicha región determinamos si
estamos dentro o fuera del polígono.
O(log n)
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Problema de la Galería de Arte
 En 1973, Víctor Klee planteó el problema de
determinar el mínimo número de guardias
suficientes para cubrir el interior de una
galería de arte con un número n de paredes. C
 En 1975, Chvatal dio la respuesta a dicha
pregunta y en 1978 Fisk dio otra demostración.
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Teorema ?n/3? guardianes son siempre suficientes
y ocasionalmente necesarios para vigilar un
polígono de n lados.
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http//www.ual.es/jcaceres/ArtGallery/portada.htm
http//www.cs.mcgill.ca/thierry/artgallery.html
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El método de las bandas

• Rectas horizontales por los puntos.

Preprocesamiento

• Ordenar las rectas por ordenada.

• Ordenar los segmentos en cada banda.

• Localizar la banda en la que está el punto.

• Localizar los dos segmentos entre los que se
• encuentra el punto.

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El método de las bandas

• Rectas horizontales por los puntos.

Preprocesamiento

• Ordenar las rectas por ordenada.

• Ordenar los segmentos en cada banda.

• Localizar la banda en la que está el punto.

• Localizar los dos segmentos entre los que se
• encuentra el punto.

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El método de las bandas

• Rectas horizontales por los puntos.

Preprocesamiento

• Ordenar las rectas por ordenada.

• Ordenar los segmentos en cada banda.

• Localizar la banda en la que está el punto.

• Localizar los dos segmentos entre los que se
• encuentra el punto.

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El método de las bandas

• Rectas horizontales por los puntos.

n2log (n)
Preprocesamiento

• Ordenar las rectas por ordenada.

• Ordenar los segmentos en cada banda.

• Localizar la banda en la que está el punto.

log (n)

• Localizar los dos segmentos entre los que
• se encuentra el punto.

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Bibliografía
Computational Geometry an introduction. F. P.
Preparata y M. I. Shamos. Springer-Verlag,
1985. Computational Geometry in C. J. ORourke.
Cambridge University Press, 1998.