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1
Problemas y resultados históricos
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Romanos
2
BABILONIA Los babilonios vivieron hace unos
4.000 años en lo que ahora es Irak. Era un pueblo
muy culto y organizado. Por saber, hasta sabían
resolver ecuaciones. En la Universidad de
Colombia, en Nueva York, se conservan tablillas
con inscripciones babilónicas. En una de ellas
aparece el siguiente problema
Te sientes capaz de ayudar al estudiante
babilónico a resolver el problema?.
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3
Egipto
Papiro de Rhind (prob. 40) (s. XVII a.C.)
Papiro de Rhind (prob. 79) (s. VII a.C.)
Áreas y volúmenes (I)
Áreas y volúmenes (II)
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4
El papiro de Ahmes prob. 40.- (s. XVII
a.C.) Repártanse diez hogazas de pan entre cinco
hombres de tal manera que las partes
correspondientes estén en progresión aritmética y
que además un séptimo de la suma de las tres
partes más grandes sea igual a la suma de las dos
más pequeñas.
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Egipto
5
El papiro de Rhind problema 79.- (s. VII
a.C.) Había una propiedad compuesta por siete
casas cada casa tenía siete gatos cada gato se
comía siete ratones cada ratón se comía siete
granos de cebada cada grano de cebada había
producido siete medidas. Cuánto sumaba todo?
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Egipto
6
Los geómetras egipcios dieron gran importancia
al cálculo de áreas y volúmenes de los cuerpos
sólidos. El siguiente problema está extraído del
Papiro de Moscú... a) ....... Imaginad que
tenéis una pirámide y os quitan el pico, cómo
sabríais el volumen que os queda? Según este
papiro, si los datos fuesen
h
b
a
... es evidente que el autor conocía la fórmula
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Egipto
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Los egipcios conocían de forma empírica algunas
fórmulas para calcular el volumen de la pirámide.
Veamos una forma sencilla de conseguirlo cuando
la pirámide es de base cuadrada y recta - Sea O
el centro del cubo. Uniendo ese punto con los
vértices del cubo, obtenemos 6 pirámides, luego
Pues bien, es cierta esta igualdad para
cualquier pirámide?
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Egipto
8
Grecia
Pitágoras (s.IV a.C.) (Números perfectos)
Pitágoras (s.IV a.C.) (Números amistosos)
Pitágoras (s.IV a.C.) (Números deficientes)
Pitágoras (s.IV a.C.) (Números abundantes)
Criba de Erastótenes (s. III a.C.)
Euclides (s. III a.C.)
Epitafio de Diofanto (s. III d.C.)
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9

• Pitágoras de Samos.- (s.VI a.C.)
• Pitágoras de Samos llamó números amistosos a los
  que cum-plían la propiedad de que cada uno es
  igual a la suma de los divisores propios del
  otro...
• Ejemplo
• Los divisores de 284 son
• 1 2 4 71 142 220
• Los divisores de 220 son
• 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55
  110 284
• Luego los números 284 y 220 son amistosos!
• Ejercicio Cuáles son los siguientes números
  amis-tosos?

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Grecia
10
Pitágoras de Samos.- (s.VI a.C.) Pitágoras de
Samos llamó número perfecto a aquel que es igual
a la suma de sus divisores, excepto él
mismo Ejemplo El 6 es un número perfecto ya
que 6 123 Según un clásico
teorema Ejercicio Cuál es el siguiente
número perfecto?
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Grecia
11
Pitágoras de Samos.- (s.VI a.C.) Pitágoras de
Samos llamó número deficiente al que es mayor
que la suma de sus divisores propios. Por
ejemplo, 8 es deficiente, puesto que 8 gt 1 2
4 Así mismo, decía que un número era abundante
si era menor que la suma de sus divisores
propios. Por ejemplo, 12 es un número
abundante, puesto que 12 lt 1 2 3 4
6 Ejercicio Cuál es el siguiente número
deficiente? Y el siguiente número abundante?
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Grecia
12
Euclides.- (s. III a.C.) La proposición 4 del
libro II de los Elementos de Euclides, ofrece
la demostración geométrica del cuadrado de la
suma que se indica en la figura
adjunta. Ejercicio
Demuestra, geométricamente, las identidades
siguientes (a-b)2 a2 2ab b2
(ab)(a-b) a2 - b2 y (abc)2 a2 b2 c2
2ab 2ac 2bc

Demostración del cubo de la suma (ab)3 a3
b3 3a2 b 3ab2 b3
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Grecia
Cubo de la suma
13
Criba de Erastótenes (s. III a.C.) Para obtener
los 100 primeros números primos, en la siguiente
tabla, a partir del 2, tacha todos los números
saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del
3, tacha todos los números de 3 en 3, y así
sucesivamente. Los números que queden si tachar
son los números primos. Compruébalo
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Grecia
14
Epitafio de Diofanto.- (s. III d.C.) Esta
importante figura de la época final de la
matemática griega es trascendental en la Historia
del Álgebra. Cuentan que en la tumba de
Diofanto había una inscripción que explicaba, en
forma de problema, la edad que tenía el sabio
cuando murió. Se trata de un sugerente problema
algebraico de fácil solución, oculto en el
llamado Epitafio de Diofanto, que aquí presento
en latín y traducido al castellano, para
posibilitar el enfoque interdisciplinar de la
actividad.
Aquí Diofanto tiene el sepulcro, el cual las
épocas de la vida de aquel, con arte admirable,
te señala Joven pasó la sexta parte de vello
sus mejillas comenzó a cubrir, a partir de aquí,
una duodécima parte. Una séptima parte, después
de esto, se casa, y al año quinto he aquí que
nace un hermoso niño. Después que éste llegó a la
mitad de la edad paterna muere el desgraciado,
arrebatado por una súbita muerte. Cuatro veranos
le sobrevive su padre para llorarlo. De donde,
conclúyese, alcances a saber los años de aquél.
Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora
vitae illius mira denotat arte tibi Egit
sextantem juvenis lanugine malas vestire hinc
coepit parte duodecima septante uxori post haec
sociatur et anno formosus quinto nascitur, vide,
puer. Heminam aetatis postquam attigit ille
paternae, infelix, subita morte peremptus,
obit. Quattuor aestates genitor lugere
superstes. Cogitur hinc annos illius assequere.
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Grecia
15
El divertido juego de Josefó En cierta ocasión,
Josefó, célebre historiador y gobernador de
Galilea, tras resistir heroicamente las legiones
de Vespasiano, se refugió en una caverna, junto
otros 40 patriotas judíos. Al verse acorralado,
Josefó propuso a sus compañeros el siguien-te
juego Los 41 debían colocarse en círculo. Se van
contando, numerándose y al que le toque tres lo
matan (qué divertido!). Así hasta que no quede
nadie. Pues bien, en qué lugar crees que se
colocó Josefó?
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16
China
Anécdota del 885
Los aros mágicos
Estrella mágica
Cuadrados mágicos
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17
Los ladrones Una anécdota del año 885, cuenta
cómo elegía Yang Suen a los funcionarios ...
En cierta ocasión dos clérigos con el mismo
cargo, las mismas recomendaciones e igual
expediente, pretendían el mismo puesto. Para
resolver el empate Yang Suen les propuso el
siguiente problema Una vez unos ladrones robaron
varias piezas de tela. Alguien que pasaba por el
bosque oyó hablar Si nos quedamos con seis cada
uno, sobran cinco rollos pero si nos quedamos
con siete cada uno, faltarán ocho. Cuántos
rollos de tela y ladrones hay?
China
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18
Los aros mágicos Se trata de colocar en las
intersecciones los números del 1 al 6, de forma
que la suma en cada circunferencia sea la misma.
China
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19
Estrella mágica Sólo tienes que rellenar esta
estrella para que sea mágica, es decir, que cada
lado sume lo mismo.....
Del 1 al 12
China
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20
Cuadrados mágicos Especialmente emblemáticos en
la Historia de las Matemáticas son los cuadra-dos
mágicos, de origen chino, que ya se pro-pusieron
como actividades números 46, 47 y 48 en la
sección de pasatiempos. Los cuadrados mágicos
eran conoci-dos en China 45 siglos antes de
Mahoma. El más antiguo conocido, es el llamado
Io Shu, que según la leyenda fue hallado por el
emperador de aquella época (año 2.000 a.C.) bajo
el caparazón de una tortuga divina que paseaba
por el río amarillo.
En la actualidad, los cuadrados mágicos han sido
muy estudiados y se han publicado multitud de
trabajos curiosos sobre ellos. Como ejem-plo
véase el método para construir cuadrados mágicos
de órdenes impares expuesto en el apartado de
pasatiempos.
China
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Orden 3
Orden 4
Orden impar
21
Cuadrado mágico 3 x 3
Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del
1 al 9 sin que haya repeticiones y de modo que en
vertical, en horizontal y también en diagonal, la
suma sea siempre quince.
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China
22
Cuadrado mágico 4 x 4
Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del
1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que
en vertical, en horizontal y también en diagonal,
la suma sea siempre la misma.
Menú
23
Cuadrado mágico 4 x 4
Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del
1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que
en vertical, en horizontal y también en diagonal,
la suma sea siempre la misma.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Menú
24
Cuadrado mágico 4 x 4
Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del
1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que
en vertical, en horizontal y también en diagonal,
la suma sea siempre la misma.
1
4
14
15
6
7
9
12
8
5
10
11
2
3
13
16
Menú
25
Cuadrado mágico 4 x 4
Coloca en cada casilla del cuadrado una cifra del
1 al 16 sin que haya repeticiones y de modo que
en vertical, en horizontal y también en diagonal,
la suma sea siempre la misma.
1
4
14
15
6
7
9
12
8
5
10
11
2
3
13
16
China
Cuadrados mágicos
Menú
26
Cuadrados mágicos de tamaño impar
Menú
27
Cuadrados mágicos de tamaño impar
1
6
2
24
3
20
7
16
4
4
25
8
16
21
5
9
17
5
21
21
18
10
22
10
1
22
19
6
23
2
20
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Cuadrados mágicos
25
China
Menú
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La India
Problema geométrico (Baskara)
Cuadratura del rectángulo (Apastamba)
Historia de Lilavati
El problema de los catils
Las perlas y las princesas
El enjambre de abejas (A Lilavati de Baskara)
El precio del ajedrez
El arte de invertir (A Lilavati de Baskara)
El pavo y la culebra
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29

• El primer escrito indú de matemáticas del que
  tenemos referencia es obra de Apastamba y
  contiene los Sulvasutra (Reglas de la cuerda).
  Apastamba halló una curiosa forma de encontrar un
  cuadrado de área equivalente a un rectángulo
  dado
• Construimos un cuadrado de lado igual al menor de
  los lados del rectángulo, y colocamos este
  cuadrado sobre el rectángulo, dividiendo la
  superficie no cubierta en dos rectángulos
  iguales. Después formamos un cuadrado como se
  indica en la figura

1
2
x
2
3
3
y
Área del rectángulo
x2 y2
India
30
Ahora nos ayudamos de un triángulo rectángulo de
lados x e y con el que, aplicando el Teorema
de Pitágoras, deducimos que el área del
cuadrado construido sobre uno de los catetos es
de igual área que el rectángulo inicial
Veámoslo
Menú
India
31
En el año 492 nace Baskara Acharia, de cuyas
actividades matemáticas que datan del siglo XII
tiene muestra en sus obras Bijaganita y sobre
todo Lilavati, de curioso origen Baskara tuvo
una hija a la que llamó Lilavati. Cuando nació
Lilavati, su padre consultó a los astros y vio
que ella nunca se casaría. Sin embargo, un día un
astrólogo le dijo a Baskara que su hija debía
casarse con el primer pretendiente, pero que la
hora de la boda debía ser marcada por el cilindro
del tiempo, que era un cilindro graduado y hueco,
con un pequeño orificio. El cilindro se metía en
un recipiente con agua y se iba sumergiendo muy
lentamente al llenarse por el agujero. Según las
marcas del cilindro se sabía la hora. Un día
Lilavati fue pedida en matrimonio por un joven de
buena familia y decidieron casarse. Se fijó la
fecha y hora de la boda y Baskara colocó el
cilindro del tiempo, pero Lilavati, impaciente,
se asomó para mirar el cilindro, y se desprendió
una perla de su vestido, que fue a taponar el
orificio de su base, deteniéndose el cilindro.
Pasó la hora sin que fuese marcada por el curioso
reloj y no se celebró la boda. Entonces Baskara
dijo a Lilavati Escribiré un libro que
perpetuará tu nombre. Vivirás en el pensamiento
de los hombres más tiempo que los hijos que
pudieran haber nacido de tu matrimonio...
Menú
India
32
Baskara.- (s. XII) Bella muchacha de ojos
relucientes, dime tú, si conoces el arte de
invertir, cuál es el número que multiplicado por
tres, aumentado en tres cuartos del producto,
dividido por siete, disminuido en un tercio del
cociente, multiplicado por sí mismo, disminuido
en cincuenta y dos, mediante extracción de la
raíz cuadrada, adición de ocho y división por
diez, da por último el número dos.
Menú
India
33
De nuevo Lilavati.- Un quinto de un enjambre de
abejas se posa sobre una flor de Kadamba un
tercio, sobre una flor de silindha. Tres veces la
diferencia entre los dos números voló a las
flores de un kutuja, y quedó una sola abeja que
se alzó en el aire, igualmente atraída por el
grato perfume de un jazmín y de un pandamus. Dime
tú ahora, mujer fascinante, cuál era el número de
abejas.
Menú
India
34
Otro problema indio.- Un pavo estaba posado sobre
un poste de nueve codos de altura. En la base del
poste había un agujero de culebra. El pavo se
lanza por la culebra, que está a una distancia
del poste igual a tres veces su altura. Cuando la
atrapa, los dos han recorrido la misma distancia.
A qué distancia del poste cogió el pavo a la
culebra?
Menú
India
35
El precio del ajedrez.- El ajedrez fue inventado
por el indio Lahur Sessa, y va unido a una
curiosa leyenda Al rey Sirham de la India, le
gustó tanto el juego que le dijo a Lahur pídeme
lo que quieras. Lahur le pidió el trigo que
resultara de, comenzando por la primera casilla
del ajedrez con un grano de trigo, colocar en
cada casilla el doble del número de granos que
hubiera en la anterior. Los contables del rey le
dijeron que, a pesar de la riqueza de su reino,
no podía cumplir el deseo de Lahur. Cuánto trigo
pedía Lahur?
Menú
India
36
El problema de las catils.- Un navío que volvía
de Serendibe, trayendo gran cantidad de especias,
fue alcanzado por un violento temporal. La
embarcación habría sido destruida por las olas,
si no fuera por el valor y el esfuerzo de tres
marineros que, en medio de la tormenta, manejaban
las velas con extremada pericia. El capitán,
queriendo recompensar a los denodados marineros,
les dio cierto número de catils. Los catils eran
más de 200 y menos de 300. Las monedas fueron
colocadas en una caja para que al día siguiente,
al desembarcar el almojarife las repartiese entre
los tres valientes. Sucedió, sin embargo, que
durante la noche, uno de los tres marineros se
despertó y pensó - Sería mejor que retirase mi
parte. Así no tendré oportunidad de discutir con
mis amigos. Y, sin decir nada a los compañeros,
fue en puntas de pie hasta donde se hallaba
guardado el dinero, lo dividió en tres partes
iguales y notó que la división no era exacta, ya
que sobraba un catil. - Por causa de esta mísera
monedita, es probable que mañana haya riña y
discusión. Será mejor sacarla. Y el marinero la
tiró al mar retirándose cauteloso. Llevaba su
parte y dejaba las que correspondían a sus
compañeros en el mismo lugar.
Menú
India
37
Horas después el segundo marinero tuvo la misma
idea. Fue al arca donde se depositaba el premio
colectivo y lo dividió en tres partes iguales.
Sobraba una moneda. El marinero optó por tirarla
al mar, para evitar discusiones. Y salió de allí
llevándose la parte que creía le correspondía. El
tercer marinero, ignorando por completo que sus
compañeros se le habían anticipado, tuvo el mismo
pensamiento. Levantose de madrugada y fue a la
caja de los catils. Dividió las monedas que en
ella encontró, y la división tampoco resultó
exacta, sobró un catil. No queriendo complicar el
reparto, el marinero lo tiró al mar y regresó
satisfecho a su litera. Al día siguiente, al
desembarcar, el almojarife encontró un puñado de
catils en la caja. Sabiendo que esas monedas
pertenecían a los marineros, las dividió en tres
porciones, que repartió entre sus dueños. Tampoco
fue exacta la división. Sobraba una moneda que el
almojarife se guardó como retribución de su
trabajo y habilidad. Es claro que ninguno de los
marineros reclamó, pues cada uno estaba
convencido de haber retirado su parte. Ahora
bien Cuántas monedas había? Cuántas recibió
cada marinero?
Menú
India
38
Las perlas y las princesas Un rajá dejó a sus
hijas cierto número de perlas y ordenó que el
reparto se hiciese del siguiente modo a la hija
mayor correspondería una perla más un séptimo de
las que quedasen la segunda tomaría dos perlas y
un séptimo de las restantes la tercera recibiría
tres perlas y un séptimo de las que quedasen. Y
así sucesivamente para las restantes hijas. Las
hijas más jóvenes del rajá presentaron sus quejas
a un juez, alegando que por ese sistema ellas
serían fatalmente perjudicadas. El juez, que era
hábil en la resolución de problemas, respondió
rápidamente que las demandantes estaban
equivocadas, y que la división propuesta por el
rajá era justa y perfecta. El juez tenía razón.
Hecha la división, cada una de las hermanas tenía
el mismo número de perlas. Cuántas hijas tenía
el rajá?Cuántas perlas se llevó cada una?
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India
39
Problema geométrico Singular elegancia
procedimental posee el siguiente problema de
Baskara, en el que se pregunta cuántas veces
mayor que el pequeño es el cuadrado grande en la
siguiente figura
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India
40
Problemas árabes
No está bien destrozar camellos
Suma de cubos
!Leche!, Vaya premio
Las vendedoras de manzanas
Los ladrones de camellos
Una herencia sexista
Menú
41
Suma de cubos De particular belleza es la
demostración de la fórmula de la suma de cubos de
AlKarni, matemático árabe de los siglos X y XI,
veámosla
Cuántos puntos hay en cada una de las regiones
de la figura?
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Árabes
42
Las vendedoras de manzanas Un cadí encarga a sus
tres hijas que vendan 90 manzanas de la siguiente
manera Fátima venderá 50 manzanas, Cunda 30
manzanas y Sima 10 que Fátima ponga el precio de
la venta, con la condición de que las tres
obtengan el mismo beneficio.
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Árabes
43
!Leche!, vaya premio AlMamun, Al-Hossein y
Karashi, son tres amigos que viven en Bagdag y
reciben un premio por un trabajo bien hecho,
consistente en 7 botellas llenas de leche de
camella, 7 botellas medio llenas y 7 botellas
vacías. Cómo deben repartir el premio para que
cada uno reciba la misma cantidad de botellas y
de leche? (Te suena?)
Menú
Árabes
44
Los ladrones de camellos Unos ladrones
fuertemente jerarquizados (sólo hay uno de cada
grado), roban unos camellos que reparten de la
siguiente manera El primero
1 camello El segundo
2 camellos El tercero
3 camellos El enésimo
n camellos Pero al
que le tocaba un camello, que era el que tenía
menos anti-guedad en la empresa pero poseía una
fuerte personalidad y sentido de la justicia,
dice que ni hablar, que todos deben recibir el
mismo número de camellos, si no qué dirían en el
sindicato?. Finalmente, dado el gran poder de
convicción del chaval, cada ladrón termina
llevándose 5 camellos. Cuántos camellos robaron
y cuántos ladrones eran?
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Árabes
45
Otros problemas
Leonardo de Pisa Fibonacci (Italia 1170 -1240)
Nicolo Tartaglia (Italia 1499-1577)
Robert Recorde (Gales 1510-1558)
Isaac Newton (Inglaterra 1642-1727)
Leonhard Euler (Suiza 1707-1783)
Albert Einstein (Alemania 1879-1955)
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46
Leonardo de Pisa Fibonacci (Italia
1170-1240) El origen de la conocida serie que
lleva el nombre de la serie de Fibonacci fue el
siguiente problema de los conejos Una pareja de
conejos al cabo del segundo mes de vida produce
una nueva pareja, que a su vez, al cabo del
segundo mes de vida produce una nueva pareja que
hace lo mismo, y así sucesivamente. Cuántas
parejas de conejos se obtendrán al año?
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Otros
47
Nicolo Tartaglia (Italia 1499-1557) - El
barquero, el lobo, la cabra y las coles Un
barquero quiere pasar de una orilla a otra del
río a su lobo, su cabra y un saco de coles, y en
la barca sólo caben él y una de las tres cosas.
El barquero sabe que si deja solos al lobo y a la
cabra, el lobo se comerá a la cabra. Si deja a la
cabra junto al saco de coles, la cabra se comerá
las coles. Qué puede hacer para pasar el río con
todas sus posesiones?
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Otros
48
Robert Recorde (Pais de Gales 1510-1558) Hay
cuatro clases de vino de precios diferentes, uno
de seis peniques el galón, otro de ocho, el
tercero de once, y el cuarto de quince peniques
el galón. De estos vinos, deseo una mezcla de 50
galones, de manera que cada galón valga nueve
peniques. Cuál será la proporción de cada vino
en esta mezcla?
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Otros
49
Isaac Newton (Inglaterra 1642-1727) Un
negociante separa al principio de cada año 100
escudos para los gastos de ese año. Todos los
años aumenta su capital en un tercio y al cabo de
tres años ha duplicado su dinero. Qué capital
tenía al inicio de los tres años?
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Otros
50
Leonhard Euler (Suiza 1707-1783) Un padre deja
una herencia de 8600 libras a sus cuatro hijos.
Se-gún el testamento, la parte del mayor debe ser
inferior en 100 libras al doble de la parte del
segundo. La parte del segundo, inferior en 200
libras al triple de la parte del tercero. Y la
parte del tercero inferior en 300 libras al
cuádruple de la parte del más joven. Cuál es la
parte de cada uno?
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Otros
51
Albert Einstein (Alemania 1879-1955) Este
problema le fue planteado a Einstein por un
alumno Dos profesores pasean charlando de sus
respectivas familias. - Por cierto - pregunta uno
- de qué edades son sus tres hijas? - El
producto de sus edades es 36 - contesta su colega
-, y su suma, casualmente es igual al número de
tu casa. Tras pensar un poco, el que ha formulado
la pregunta dice - Me falta un dato. - Es verdad
- dice el otro -. Me había olvidado de aclararte
que la mayor toca el piano Qué edades tienen
las tres hijas del profesor?
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Otros