Programacin Lineal II

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Programación Lineal II

• IO E/ADE UPF 99-00
• Prof. José Niño Mora

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Contenido

• Una breve historia de la PL
• Métodos de solución de PLs
• Análisis de sensibilidad precios sombra y costes
  reducidos

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Breve historia de la Progr. Lineal
1826 Gauss Solución de sistemas 1904
Jordan de ecuaciones lineales
Interés matemático
1826 Fourier Desigualdades lineales,
solución teórica, algebraica
1939 Kantorovich Producción, transporte
No apreciado (pero después premio Nobel!)
1940s
Problemas en Economía, Transporte
Modelo Input-Output de
Leontief
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... Historia (cont)
1947 US Air Force SCOOP (G. Dantzig Método
SIMPLEX)
1953 W. Orchard-Hayes primer programa PL
comercial
1958 R. Dorfman, P. Samuelson, R. Solow
publican Linear Programming and Economic
Analysis.
(Samuelson, Solow después, Premio Nobel en
Economía).
1975 Premio Nobel en economía a T.
Koopmans, L. Kantorovich por
la aplicación de PL a la ciencia económica.
1984 N. Karmarkar algoritmos de
punto interior" para resolver PLs a gran
escala (1.000.000 de variables o más).
New York Times, Wall Street Journal, Time, etc.
Hoy Managers y científicos pueden resolver
PLs con hasta 5.000 restric.,
30.000 variables de decision en un PC. Modelos
con hasta 10 mill. variables se
pueden resolver en un mainframe
5
Herramientas Gemstone (cont)
Llaves
Tenazas Disponibilidad/Capacidad Acero 1.5
1.0 27,000 kgs./día (kgs.) Fresadora
1.0 1.0 21,000 horas/día (horas) Máquina
ensamblaje 0.3 0.5 9,000 horas/día (horas) Dema
nda 15,000 16,000 (tools/day) Beneficio
130 100 (/1,000 units) GTC quiere planificar
la producción diaria de llaves y tenazas en su
planta de Winnipeg para maximizar su
contribución a sus ganancias
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Modelo Programación Lineal ...
L llaves producidas/día (1,000s) T
tenazas producidas/día (1,000s)

• Maximizar 130 L 100 T
• Sujeto a acero 1.5 L T 27
• moldeado L T 21
• ensamblaje 0.3 L 0.5 T 9
• demanda-L L
  15
• demanda-T
  T 16
• no-negatividad L, T
  ? 0

7
Tenazas (1,000)
L Demanda
30
Solución Óptima
25
Acero
20
T Demanda
15
10
Región Factible
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
0
15
30
Solución Gráfica de GTC
8
Cómo resolver un PL?

• Las restricciones de un PL definen una región
  factible - es un poliedro.
• Si podemos calcular todos los vértices del
  poliedro, entonces podemos calcular el valor
  objetivo en esos puntos, y tomar el mejor como
  soluc. óptima
• El Método Simplex se mueve de vértice a vértice
  adyacente hasta que reconoce un vértice óptimo

9
Tenazas (1,000)
L Demanda
30
Solución Óptima
25
Acero
20
T Demanda
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
30
15
0
Método Simplex - Geometría
10
Solución óptima de este modelo de PL definida
por las restricciones disponibilidad de acero y
máquina de moldeado i.e., se calcula
resolviendo 1.5 L T 27 L
T 21 L 12 T 9 BENEFICIO 13012
1009 2,460
11
Método Simplex - Álgebra

• 1. Excel Solver usa Simplex para resolver PLs.
• 2. Simplex realiza una serie de pivotajes.
  Cada pivotaje comienza en un vértice y, o bien
  calcula un vértice adyacente mejor, o bien
  concluye que el vértice actual es el mejor
  posible.
• 3. En cada pivotaje, Simplex resuelve un
  sistema de n ecuaciones en n variables (las var.
  de decisión)
• 4. El número de pivotajes necesarios es aprox.
  proporcional al número m de restricciones en el
  modelo. Así, cuantas más variables de decisión, y
  más restricciones haya, más tiempo empleará el
  ordenador en resolverlo

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Tenazas (1,000)
Demanda L
30
Solución Óptima
25
Acero
20
Demanda T
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
30
15
0
Punto Interior - Geometría
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Análisis de sensibilidad El juego de What-If/Qué
si

• En aplicaciones a la empresa, es importante saber
  cómo cambia la solución cuando cambian los datos
• Qué ocurre si cambia la disponibilidad de
  recursos?
• Y si cambian los costes?
• Y si los datos no son precisos? Qué margen de
  error permite la solución?

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Tenazas (1,000)
Sol. Ópti. L 12 T 9 Val. Obj.
Opti. 2,460
10
12
30
Demanda L
2,500
Extra 40!
Steel
25
22
20
Extra 1,000 hrs moldeado
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldeado
0
15
30
Y si cambiamos el l.d. de una restricción?
15
Tenemos 1.000 hrs más de capacidad en máquina de
moldeado
L.d. de restricción moldeado de 21 a 22 21
1
la nueva solución óptima 1.5 L T 27
L T 22
L 10 T 12 BENEFICIO 13010 10012
2,500
El precio sombra de 1.000 hrs. extra en la
restricción de moldeado es 40 2,500
2,460
GTC pagaría hasta 40/1,000 hrs. por capacidad
extra de moldeado
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Precios sombra/valor marginal

• A cada restricción le asociamos un precio sombra.
• El precio sombra es el cambio en el valor óptimo
  cuando el l.d. de la restricción cambia en una
  unidad (suponemos demás datos no cambian)
• Asociamos con cada precio sombra el rango de
  valores del l.d. (recurso) sobre el cual es
  válido
• Excel Solver genera precios sombra y rangos.
• Los precios sombra también se llaman valores
  duales, o valores marginales

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Tenazas (1,000)
Sol. Ópt. L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
12
10
30
Demanda L
2,500
Acero
Igual!
25
23
20
Extra 2,000 hrs moldeado
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
0
15
30
Más cambios!
18
Tenazas (1,000)
Sol. Opti L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
14
6
30
Demanda L
2,420
Menos 40!
Acero
25
20
Menos 1,000 hrs moldead
20
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldeado
0
15
30
Y si disminuimos el L.D. de una restricción?
19
Tenazas (1,000)
Sol. Opti L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
15
4
30
Demanda L
2,350
Acero
25
19
Menos 2,000 hrs moldead
20
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
0
15
30
Y si Disminuimos el L.D. aún más?
20
Ley de rendimientos decrec.
Beneficio óptimo
2,500 2,460 2,400
Valor de L.D. horas moldeado
0 19.5 20
21 22
En el rango de validez, cada incremento de una
unidad del L.D. produce un incremento de 40
unidades en el valor óptimo Este incremento es
el precio sombra de la restricción sobre este
rango.
21
Tenazas (1,000)
Sol. Opt L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
30
Demanda L
Extra 60!
Acero
25
20
Extra 1,000 kg acero
Demanda T
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
Moldeado
5
0
15
30
Y si cambiamos el L.D. de otra restricción?
22
Tenemos 1,000 kg. más de de acero.
L.D. de la restricción acero cambia de 27 a
28 27 1
Nueva solución óptima 1.5 L T 28
L T 21.
L 14 T 7 BENEFICIO 13014 1007
2,520
El precio sombra de la restricción acero por
cada 1.000 kg. extra de acero es 60 2,520
2,460
GTC pagaría hasta 60/1,000 kg. por más acero
23
Ley de rendimientos decrec.
Beneficio Óptimo
2,550 2,520 2,460 2,295
Cantidad de acero disponible
0 24.75 25
26 27 28 28.5
En este rango, por cada incremento en la cant. de
acero disponible resulta en un incremento de 60
unidades en el beneficio óptimo Este valor se
llama el precio sombra de la restricción sobre
este rango
24
(No Transcript)
25

• Precio sombra para las siguientes restricciones?
• capacidad de la máquina de ensamblaje
• demanda de llaves
• demanda de tenazas

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Preguntas para la empresa GTC
tiene la oportunidad de comprar más acero a
55/1,000 kg. P Le interesa comprar?
Está considerando aumentar la capacidad de las
máquinas de moldeado en 100,000 hrs a un coste de
4,500. P Es rentable llevar a cabo este
plan?
27
Y los precios sombra de las restricciones de no
negatividad?

• Los precios sombra de las restricciones de no
  negatividad costes reducidos.
• El coste reducido de una variable de decisión es
  el incremento en el objetivo si requerimos que
  esa variable tome un valor gt 0

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Y si cambiamos un dato de coste/beneficio?
Veámoslo gráficamente,

• La región factible no cambia.

• La pendiente de la función objetivo sí cambia

• Hay un rango de coeficientes para el que la
  solución óptima no cambia (el objetivo sí
  cambia!)
• Este rango se determina por las restricciones
  activas en la solución óptima
• En este caso, el rango es 100,
  150 para el coeficiente de L en el objetivo, y
  86.66, 130 para el coeficiente de T

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Resumen Análisis de Sensibilidad
P. En cuánto aumenta el objetivo si cambiamos
el L.D. de una restricción por un incremento
pequeño?

R. Precio sombra para esa
restricción
P. Y si cambiamos un coeficiente en el objetivo
por un incremento pequeño? R. Si el incremento
es lo bastante pequeño, la misma solución es
óptima
P. En cuánto puedo cambiar un coeficiente del
objetivo sin que la solución óptima cambie? R.
Mirar el rango de validez del coste reducido
P. En cuánto se ha de incrementar un coeficiente
del objetivo para que una actividad sea rentable?

R. Mirar el coste
reducido correspondiente