Programacin Lineal II

1
Programación Lineal II

• IO EMP 2000-01
• Prof. José Niño Mora

2
Contenido

• Formulación de modelos de PL (Ejemplos)
• Resólución con Excel
• Resolución gráfica
• Análisis de sensibilidad
• Cambios en costes/beneficios
• Cambios en las cantidades de recursos

3
Ejemplo

• Qué y cuánto zumo producir?
• Producción de dos tipos de zumo zumo 1 y zumo 2
• Datos del problema
• Zumo 1 Zumo 2
• Benefic./litro E 1,20 E 1,00
• Recursos Cantidad requerida (kgs)/litro
• Zumo A Zumo B Disponible (kgs)
• Naranjas 4 0 400
• Uvas 8 4 1000
• Piñas 0 1 120

4
Ejemplo Formulación PL

• A Variables de decisión
• B Objetivo a optimizar (max beneficio/litr)
• C Restricciones (no exceder recursos)

5
Ejemplo Restricciones

• C Restricciones (no exceder recursos)

6
Ej PL primal

• Programa lineal primal, ejemplo

7
Solución del primal (Excel)
8
Ej Herramientas Gemstone
La empresa Gemstone Tool Company (GTC) compite en
el mercado de herramientas de construcción.
Además de su fábrica principal en Seattle,
Washington, GTC opera otras plantas de
fabricación situadas en EE UU, Canadá, y Mexico.

Para simplificar, supongamos que la planta de
Winnipeg, Canadá, produce sólo llaves y
tenazas. Ambas se fabrican con acero, y
el proceso requiere moldear las herramientas en
una fresadora y después ensamblarlas en una
máquina de ensamblaje.
La cantidad de acero utilizada en la producción
de llaves y tenazas y la disponibilidad diaria de
acero se muestra en la Tabla I. También
conocemos las tasas de utilización de las
máquinas usadas en la producción, y sus
capacidades. Finalmente, conocemos la demanda
diaria (estimada) para estas herramientas, y su
contribución a las ganancias (por unidad).
9
Tabla I
Llaves
Tenazas Disponibilidad/Capacidad Acero 1.5
1.0 27,000 kgs./día (kgs.) Fresadora
1.0 1.0 21,000 horas/día (horas) Máquina
ensamblaje 0.3 0.5 9,000 horas/día (horas) Dema
nda 15,000 16,000 (herramientas/día) Beneficio
E 130 E 100 (E/1,000 unidades) GTC quiere
planificar la producción diaria de llaves y
tenazas en su planta de Winnipeg para maximizar
su contribución a sus ganancias
10
Modelo Programación Lineal ...
L llaves producidas/día (1,000s) T
tenazas producidas/día (1,000s)

• Maximizar 130 L 100 T
• Sujeto a acero 1.5 L T 27
• fresadora L T 21
• ensamblaje 0.3 L 0.5 T 9
• demanda-L L
  15
• demanda-T
  T 16
• no-negatividad L,
  T ? 0

11
Tenazas (1,000)
L Demanda
30
Solución Óptima
25
Acero
20
T Demanda
15
10
Región Factible
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Fresadora
0
15
30
Solución Gráfica de GTC
12
L Demanda
30
Tenazas
Múltiples Soluciones Óptimas
25
Acero
20
T Demanda
15
Cambiar restricc. Fresadora 1 h. para L y 1
h. para T disponible 21,000 hrs/día
1.3
10
24,600
Ensamblaj.
Región Factible
5
Fresadora
Llaves
0
15
30
13
PLs no acotados
Ejemplo
Maximizar x 1/3 y
x y ³ 20
Sujeto a
Región Factible
-2 x 5 y 150
x ³ 5
x ³ 0 y ³ 0
El máximo es infinito!
14
Pueden tener sol. óptima
Ejemplo
Minimizar x 1/3 y
x y ³ 20
Sujeto a
Región Factible
-2 x 5 y 150
x ³ 5
x ³ 0 y ³ 0
Solución Óptima
15
Qué observamos en estos ejemplos?
16
Un punto fundamental
Si hay una solución óptima, ésta se encuentra en
un punto extremo!
17
Y podemos extender esto a dimensiones mayores
18
Análisis de sensibilidad El juego de
What-if?/Qué ocurre si?

• En aplicaciones a la empresa, es importante saber
  cómo cambia la solución cuando cambian los datos
• Qué ocurre si cambia la disponibilidad de
  recursos?
• Y si cambian los costes?
• Y si los datos no son precisos? Qué margen de
  error permite la solución?

19
Tenazas (1,000)
Sol. Ópti. L 12 T 9 Val. Obj.
Opti. 2,460
10
12
30
Demanda L
2,500
Extra 40E!
Acero
25
22
20
Extra 1,000 hrs Fresadora
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Fresadora
0
15
30
Y si cambiamos el l.d. de una restricción?
20
Tenemos 1.000 hrs más de capacidad en máquina
Fresadora
L.d. de restricción Fresadora de 21 a 22
21 1
la nueva solución óptima 1.5 L T 27
L T 22
L 10 T 12 BENEFICIO 13010 10012
2,500
El precio sombra de 1.000 hrs. extra en la
restricción de la Fresadora es E40 E 2,500
E 2,460
GTC pagaría hasta E 40/1,000 hrs. por capacidad
extra de la Fresadora
21
Precios sombra/valor marginal

• A cada restricción le asociamos un precio sombra.
• El precio sombra es el cambio en el valor óptimo
  cuando el l.d. de la restricción cambia en una
  unidad (suponemos demás datos no cambian)
• Asociamos con cada precio sombra el rango de
  valores del l.d. (recurso) sobre el cual es
  válido
• Excel Solver genera precios sombra y rangos.
• Los precios sombra también se llaman valores
  duales, o valores marginales

22
Tenazas (1,000)
Sol. Ópt. L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
12
10
30
Demanda L
2,500
Acero
Igual!
25
23
20
Extra 2,000 hrs Fresadora
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Fresadora
0
15
30
Más cambios!
23
Tenazas (1,000)
Sol. Opti L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
14
6
30
Demanda L
2,420
Menos 40!
Acero
25
20
Menos 1,000 hrs Fresadora
20
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Fresadora
0
15
30
Y si disminuimos el L.D. de una restricción?
24
Tenazas (1,000)
Sol. Opti L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
15
4
30
Demanda L
2,350
Acero
25
19
Menos 2,000 hrs moldead
20
15
Demanda T
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
0
15
30
Y si Disminuimos el L.D. aún más?
25
Beneficio óptimo
Ley de rendimientos marginales decrecientes
2,500 2,460 2,400
Valor de L.D. horas Fresadora
0 19.5 20
21 22
En el rango de validez, cada incremento de una
unidad del L.D. produce un incremento de 40
unidades en el valor óptimo Este incremento es
el precio sombra de la restricción sobre este
rango.
26
Tenazas (1,000)
Sol. Opt L 12 T 9 Val. Obj.
Optim 2,460
30
Demanda L
Extra 60!
Acero
25
20
Extra 1,000 kg acero
Demanda T
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
Fresadora
5
0
15
30
Y si cambiamos el L.D. de otra restricción?
27
Tenemos 1,000 kg. más de de acero.
L.D. de la restricción acero cambia de 27 a
28 27 1
Nueva solución óptima 1.5 L T 28
L T 21.
L 14 T 7 BENEFICIO 13014 1007
2,520
El precio sombra de la restricción acero por
cada 1.000 kg. extra de acero es 60 2,520
2,460
GTC pagaría hasta 60/1,000 kg. por más acero
28
Ley de rendimientos marginales decrecientes
Beneficio Óptimo
2,550 2,520 2,460 2,295
Cantidad de acero disponible
0 24.75 25
26 27 28 28.5
En este rango, por cada incremento en la cant. de
acero disponible resulta en un incremento de 60
unidades en el beneficio óptimo Este valor se
llama el precio sombra de la restricción sobre
este rango
29
Informe de sensibilidad Excel
30

• Precio sombra para las siguientes restricciones?
• capacidad de la máquina de ensamblaje
• demanda de llaves
• demanda de tenazas

31
Preguntas para la empresa GTC
tiene la oportunidad de comprar más acero a
55/1,000 kg. P Le interesa comprar?
Está considerando aumentar la capacidad de las
máquinas Fresadoras en 100,000 hrs a un coste de
4,500. P Es rentable llevar a cabo este
plan?
32
Y los precios sombra de las restricciones de no
negatividad?

• Los precios sombra de las restricciones de no
  negatividad costes reducidos.
• El coste reducido de una variable de decisión es
  el incremento en el objetivo si requerimos que
  esa variable tome un valor gt 0

33
Y si cambiamos un dato de coste/beneficio?
Veámoslo gráficamente,

• La región factible no cambia.

• La pendiente de la función objetivo sí cambia

• Hay un rango de coeficientes para el que la
  solución óptima no cambia (el objetivo sí
  cambia!)
• Este rango se determina por las restricciones
  activas en la solución óptima
• En este caso, el rango es 100,
  150 para el coeficiente de L en el objetivo, y
  86.66, 130 para el coeficiente de T

34
Resumen Análisis de Sensibilidad
P. En cuánto aumenta el objetivo si cambiamos
el L.D. de una restricción en un incremento
pequeño?

R. Precio sombra para esa
restricción
P. Y si cambiamos un coeficiente en el objetivo
en un incremento pequeño? R. Si el incremento
es lo bastante pequeño, la misma solución es
óptima.
P. En cuánto puedo cambiar un coeficiente del
objetivo sin que la solución óptima cambie? R.
Mirar el rango de validez del coste reducido
P. En cuánto se ha de incrementar un coeficiente
del objetivo para que una actividad no rentable
sea sea rentable?
R.
Mirar el coste reducido correspondiente
35
Distribución de Carbón en New Bedford Steel
El carbón es una materia prima necesaria en la
producción del acero, y NBS necesita 1.0 - 1.5
millones de toneladas de carbón al año
NBS se dispone a planificar su producción para el
próximo año. El gestor de suministros para NBS ha
solicitado y recibido ofertas de ocho proveedores
para el próximo año.
El objetivo es minimizar el coste total de
suministro de carbón
36

• Basándose en previsiones de mercado y en la
  producción del
• año anterior, NBS está planeando aceptar
  ofertas por un total
• 1,225 MTONS de carbón
  
  

• Este carbón ha de tener una volatilidad media
  de al menos 19

• Para prevenir conflictos laborales, NBS ha
  decidido contratar al
• menos un 50 de su carbón con minas del
  sindicato
• United Mine Workers

• Además, el gestor ha de tener en cuenta que la
  capacidad para
• transportar carbón por tren está limitada a 650
  MTONS al año,
• y que la capacidad para transportarlo por
  camión está limitada a
• 720 MTONS al año

37
Ashley Bedford Consol Dunby Earlam Florence
Gaston Hopt Capacidad 300 600 510 655 575 680
450 490 (mtons) Sindic./ S S N S N S N
N No-sindic. Camión/ T C T C C C T
T Tren Volatilidad () 15 16 18 20 21 22
23 25 Precio (/ton) 49.50 50.00 61.00 63.50 66.
50 71.00 72.50 80.00
38
Preguntas
1. Cuánto carbón conviene comprar a
cada proveedor?
2. Cuál será el coste total de
suministro para NBS?
3. Cuál será el coste medio de
suministro para NBS?
39
A Variables de decisión
Tenemos que decidir cuánto carbón comprar a cada
proveedor A de mtons de carbón
contratadas con Ashley B
Bedford
C
Consol D
Dunby
E
Earlam F
Florence
G
Gaston H
Hopt.
40
B Objetivo a optimizar
El gestor quiere minimizar el coste total de los
contratos de suministro
Su objetivo es
Minimizar 49.5 A 50 B 61 C 63.5 D66.5
E71 F72.5 G80 F
41
C Restricciones

• El gestor ha de contratar 1.225 mtons de carbón
• A B C D E F G H 1.225
• Ha de contratar al menos un 50 del carbón con
  las minas sindicadas en United Mine Workers
• ABDF ? CEGH i.e. AB-CD-EF-G-H ? 0
• Hay restricciones de capacidad en el transporte
• por camión B D E F 720
• por carretera A C G H 650

42
C Restricciones (cont) ...

• La volatilidad media del carbón ha de ser ? 19
• (15 A16 B18 C20 D21 E22 F23 G25 H) ? 19
  (ABCDEFGH)
• volatilidad - 4 A- 3 B - C D 2 E 3
  F 4 G 6 H ? 0
• Capacidad de extracción de cada una de las 8
  minas
• ACAP A 300
  
• BCAP
  B 600
• CCAP
  C 510
• DCAP
  D 655
• ECAP
  E 575
• FCAP
  F 680
• GCAP
  G 450
• HCAP
  H 490

43
C Restricciones (cont)
Requerimos que las variables sean no-negativas
A ³ 0 B ³ 0 C ³ 0 D ³ 0
E ³ 0
F ³ 0 G ³ 0
H ³ 0
44
Poniéndolo todo junto ...

• Min 49.5 A50 B61 C63.5 D66.5 E71 F72.5 G80
  F
• Sujeto a suministro ABCDEFGH1,225
• sindicatos AB-CD-EF-G-H ? 0
• camión BDEF 720
• tren
  ACGH 650
• volatilid - 4 A- 3 B - C D 2 E 3
  F 4 G 6 H ? 0
• ACAP
  A 300
  
• BCAP
  B 600
• CCAP
  C 510
• DCAP
  D 655
• ECAP
  E 575
• FCAP
  F 680
• GCAP
  G 450
• HCAP
  H 490
• no-negatividad A,B,C,D,E,F,G,H ? 0

45
Sensibilidad de costes c/ Excel
46
Sensibilidad restricciones Excel
47
Cómo resolver un PL?

• Las restricciones de un PL definen una región
  factible - es un poliedro.
• Si podemos calcular todos los vértices del
  poliedro, entonces podemos calcular el valor
  objetivo en esos puntos, y tomar el mejor como
  soluc. óptima
• El Método Simplex se mueve de vértice a vértice
  adyacente hasta que reconoce un vértice óptimo

48
Tenazas (1,000)
L Demanda
30
Solución Óptima
25
Acero
20
T Demanda
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
30
15
0
Método Simplex - Geometría
49
Solución óptima de este modelo de PL definida
por las restricciones disponibilidad de acero y
máquina de moldeado i.e., se calcula
resolviendo 1.5 L T 27 L
T 21 L 12 T 9 BENEFICIO 13012
1009 2,460
50
Método Simplex - Álgebra

• 1. Excel Solver usa Simplex para resolver PLs.
• 2. Simplex realiza una serie de pivotajes.
  Cada pivotaje comienza en un vértice y, o bien
  calcula un vértice adyacente mejor, o bien
  concluye que el vértice actual es el mejor
  posible.
• 3. En cada pivotaje, Simplex resuelve un
  sistema de n ecuaciones en n variables (las var.
  de decisión)
• 4. El número de pivotajes necesarios es aprox.
  proporcional al número m de restricciones en el
  modelo. Así, cuantas más variables de decisión, y
  más restricciones haya, más tiempo empleará el
  ordenador en resolverlo

51
Tenazas (1,000)
Demanda L
30
Solución Óptima
25
Acero
20
Demanda T
15
10
Ensamblaje
Llaves (1,000)
5
Moldead
30
15
0
Punto Interior - Geometría