Semin

1
Seminário DEs/DEP

• Algumas Técnicas Estatísticas Multivariadas
• Parte I
• Jorge Oishi

2
Técnicas Multivariadas

• Tópicos abrangidos
• Análise de Componentes Principais
• Análise Fatorial
• Análise Discriminante
• Análise de Cluster
• Análise de Correspondência

3
Técnicas Multivariadas

• Conceitos básicos
• Análise Multivariada todos os métodos
  estatísticos que simultaneamente analisam
  múltiplas medidas sobre cada indivíduo ou objeto
  sob investigação.
• Qualquer análise de duas ou mais variáveis, pode
  ser considerada análise multivariada.
• Para ser considerada verdadeiramente como
  multivariada, todas as variáveis devem ser
  aleatórias e inter-relacionadas, de modo que seus
  efeitos não podem ser interpretados de forma
  separada.

4
Técnicas Multivariadas

• Estrutura dos dados

X1 X2 ... Xp
Caso 1 x11 x12 ... x1p
Caso 2 x21 x22 ... x2p
.... ... ... ... ..

Caso n xn1 xn2 ... xnp
5
Técnicas Multivariadas

• OBJETIVOS
• Redução dos dados ou simplificação estrutural
• O fenômeno sendo estudado é representado o mais
  simplificado possível sem o sacrifício de
  informações valiosas
• Ordenação e agrupamento
• Grupos de objetos ou variáveis são criadas
  baseadas nas características mensuradas
• Investigação da dependência entre variáveis
• A natureza do relacionamento entre as variáveis é
  de interesse. Todas as variáveis são mutuamente
  ou são uma ou mais variáveis dependentes das
  outras? Como é essa relação?

6
Técnicas Multivariadas

• OBJETIVOS
• Previsão
• O relacionamento entre variáveis deve ser
  determinado com o propósito de fazer previsão dos
  valores de uma ou mais variáveis com base na
  observação das outras variáveis
• Construção e testes de hipóteses
• Hipóteses estatísticas, formuladas em termos de
  parâmetros de populações multivariadas podem ser
  testadas.

7
Técnicas Multivariadas

• Variáveis dois tipos de classificações
• Quanto a resposta
• Métricas discretas ou contínuas
• Não métricas nominais ou ordinais
• Quanto ao uso
• Dependentes ou respostas
• Independentes ou explanatórias

8
Técnicas Multivariadas

• Classificação das Técnicas
• Forma geral
• Vetores de variáveis
• Classificação das técnicas depende
• Da dependência ou independências das variáveis
• Do número de variáveis dependentes
• Do tipo de escala (métrica, não-métrica)

9
Técnicas Multivariadas

• Técnica de Dependência
• É aquela na qual uma variável ou um conjunto de
  variáveis é identificado como variável dependente
  a ser predita ou explicada por outras variáveis
  independentes
• Técnica de Interdependência
• É aquela na qual nenhuma das variáveis é definida
  como dependente ou independente, mas o
  procedimento envolve a análise simultânea de
  todas as variáveis no conjunto.

10
Técnicas Multivariadas

• Técnicas de Dependência
• Podem ser classificadas por duas características
• O número de variáveis dependentes,
• O tipo de escala das variáveis.
• Exemplos de técnicas
• Regressão Linear Múltipla
• MANOVA
• Análise Discriminante
• Análise de Correlação Canônica
• Análise Conjunta

11
Técnicas Multivariadas

• Técnicas de Interdependência
• Depende da estrutura procurada
• Estrutura de variáveis
• Estrutura de casos
• Estrutura de objetos (da matriz de dados).
• Exemplos
• Análise Fatorial
• Análise de Cluster
• Escalonamento Multidimensional
• Análise de Correspondências

12
Técnicas Multivariadas

• Se Y1 métrica e Xi todas métricas ? Regressão
  Linear Múltipla
• Se Y1 não-métrica e Xi todas métricas ? Análise
  Discriminante Múltipla
• Se Y1 métrica e Xi todas não métricas ? ANOVA
• Se Y1 métrica ou não-métrica e Xi todas não
  métricas ? Análise Conjunta

13
Técnicas Multivariadas

• Se Yi todas métricas e Xi todas não-métricas ?
  MANOVA
• Se Yi métricas ou não-métrica e Xi métricas ou
  não-métricas ? Análise de Correlação Canônica

14
Análise de Componentes Principais

• Pearson (1901) e Hotelling (1933)
• O objetivo principal é a obtenção de um pequeno
  número de combinações lineares (componentes
  principais) de um conjunto de variáveis, que
  retenham o máximo possível da informação contida
  nas variáveis originais.
• Redução dos dados originais
• Facilitar a interpretação através da descoberta
  de relacionamentos não suspeitos previamente.

15
Análise de Componentes Principais

• A análise de componentes principais substitui um
  conjunto de variáveis correlacionadas por um
  conjunto de novas variáveis não-correlacionadas,
  sendo essas combinações lineares das variáveis
  iniciais e colocadas em ordem decrescente por
  suas variâncias
• Var CP1 gt Var CP2 gt .... gt Var CPp

16
Análise de Componentes Principais

• Algebricamente, componentes principais são
  combinações lineares particulares das p
  variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xp
• Geometricamente, essas combinações lineares
  representam a relação de um novo sistema de
  coordenadas obtido por deslocamento e rotação do
  sistema original com X1, X2, ..., Xp como eixos
• Os novos eixos representam as direções com
  variabilidade máxima e fornecem uma descrição
  mais simples e mais parcimoniosa da estrutura de
  covariância
• Os componentes principais dependem da matriz de
  correlação (r) ou da matriz de covariâncias (?)
  de X1, X2, ..., Xp. O seu desenvolvimento não
  necessita da suposição de normalidade.

17
Análise de Componentes Principais

• Exemplos
• Aplicação na confiabilidade de sistemas complexos
  redução no conjunto de variáveis originais
  (peças) para três variáveis (componentes
  principais) e no final o estudo mostrou que
  bastava apenas o primeiro deles.
• Análise de componentes principais em imagens
  multi-temporais de satélites para estudo de
  vulnerabilidade à perda de solo no semi-árido
  nordestino. Basicamente foi utilizada a ACP para
  reunir as informações de duas imagens para compor
  duas outras, não correlacionadas entre si, com
  melhores propriedades interpretativas.

18
Análise de Componentes Principais
19
Análise de Componentes Principais
20
Análise de Componentes Principais
21
Análise de Componentes Principais
22
Análise de Componentes Principais

• Seleção do número de componentes
• Kaiser ou Método da Raiz Latente autovalores
  maiores que 1 (Johnson 0,7)
• Scree test gráfico dos autovalores.

23
Análise de Componentes Principais

• Após a seleção dos componentes, a elaboração do
  gráficos dos dois primeiros componentes pode ser
  muito útil para entender a relação entre as
  variáveis e os componentes
• Se apenas os dois primeiros componentes
  explicarem mais de 80 ou 90 da variabilidade
  total das variáveis originais isto significa que
  o fenômeno sob estudo pode ser muito
  simplificado
• No primeiro exemplo, de 80 variáveis originais
  apenas três componentes explicam quase tanto
  quanto os 80 e, no final, apenas o primeiro
  componente já foi suficiente para o objetivo do
  trabalho.

24
Análise Fatorial

• Spearman (1904), Pearson e Hotelling (1933)
• Objetivo
• Analisar as inter-relações entre um grande número
  de variáveis em termos de poucas, mas não
  observáveis, variáveis chamadas fatores.
• Verificar se é possível descrever um conjunto de
  p variáveis em um conjunto menor de índices ou
  fatores que explicam tanto sobre o fenômeno,
  que o conjunto original.
• Surgiu da tentativa de definir e medir
  constructos, tais como Inteligência, Amor, etc.

25
Análise Fatorial

• Raciocínio suponha que variáveis possam ser
  agrupadas segundo suas correlações, isto é, que
  todas as variáveis dentro de um grupo sejam
  altamente correlacionadas entre si, mas tenham
  correlações muito baixas com as variáveis de
  outros grupos.
• A idéia por trás da Análise Fatorial é que cada
  grupo de variáveis representa um constructo
  básico, que é o responsável pelas correlações
  observadas nas respostas.

26
Análise Fatorial

• Dados as variáveis X1, X2,..., Xp
• Existem F1, F2, ..., Fm, onde m lt p tal que
• X1 a11F1 a12F2 a1mFm ?1
• X2 a21F1 a22F2 a2mFm ?2
• Xp ap1F1 ap2F2 apmFm ?p ?

27
Análise Fatorial

• De forma visual, os dados originais formam uma
  nuvem de pontos num espaço de p-dimensional.
• A transformação de X em F permite transportar os
  pontos do espaço p-dimensional para um espaço
  m-dimensional com menos dimensões, e portanto
  mais fácil de interpretar.
• Por isso é importante que m não seja maior que 2
  ou 3.

28
Análise Fatorial

• Na Análise Fatorial são calculados os
  coeficientes aij denominados de cargas
  fatoriais e os Fatores Fi.
• Suposições
• Fi e ?i são variáveis com médias 0 e variância 1
• ?aij2 proporção da variância de Xi que é devido
  ao fator Fi é chamada de Comunalidade de Xi.

29
Análise Fatorial

• Não existe uma solução única para a AF de um
  conjunto de dados, mas apenas dois princípios
  básicos que se deve ter em conta
• Princípio de Parcimônia Tem-se que explicar as
  correlações entre as variáveis observadas
  utilizando o menor número de fatores possível.
• Interpretabilidade Deseja-se que os fatores
  tenham um significado no contexto estudado,
  guardando em si mesmos uma coerência lógica.

30
Análise Fatorial

• Há dois tipos de aplicação e de entendimento da
  AF
• Análise fatorial Exploratória mais antiga ?
  buscar dimensões subjacentes, para saber o que é
  mais importante ou mais significativo de um
  conjunto de variáveis.
• Analise fatorial Confirmatória se desenha uma
  estrutura dos fatores e em seguida, busca-se a
  confirmação desta, estudando as variáveis
  observadas. (uso em modelagem de comportamento).

31
Análise Fatorial

• Métodos de extração dos fatores
• Componentes Principais
• Fator Principal com várias alternativas
• Método do Eixo Principal
• Método do Centróide
• Máxima Verossimilhança
• Comunalidades

32
Análise Fatorial

• Entrada dos dados para análise
• Matriz dos dados brutos
• Matriz de correlações
• Saídas
• Autovalores
• Matriz de cargas fatoriais sem rotação
• Rotação dos fatores ortogonais e obliquas
• Coeficientes fatoriais

33
Análise Fatorial

• Rotações ortogonais
• Varimax
• Quartimax
• Equamax
• Rotações Obliquas
• Oblimin
• Promax

34
Fator II NÃO Rodado
Fator rodado II
Rotação ortogonal
V1
V2
Fator I NÃO Rodado
V3
V4
V5
Fator rodado I
35
Fator II NÃO Rodado
Rotação oblíqua
Fator rodado ortog. II
Fator rodado II oblíquo
V1
V2
Fator I NÃO Rodado
V3
V4
Fator rodado I Oblíquo
V5
Fator rodado ortog. I
36
(No Transcript)
37
(No Transcript)