Euristiche: algoritmi costruttivi e di ricerca locale

1
Euristichealgoritmi costruttivi e di ricerca
locale
2
Molti problemi reali richiedono soluzioni
algoritmiche

• I camion devono essere instradati
• VRP, NP-hard
• I depositi o i punti di vendita devono essere
  localizzati
• CPMP, NP-hard
• Le reti di comunicazione devono essere disegnate
• Network design, NP-hard
• I container devono essere riempiti
• 3D-packing, NP-hard
• I collegamenti radio devono avere una frequenza
  associata
• FAP, NP-hard
• Legno, vetro, pelle devono essere tagliati
• Nesting, NP-hard

3
Notazione

• Un problema di ottimizzazione combinatoria è
  definito su di un insieme C c1 , , cn di
  componenti di base.
• Una soluzione del problema è un sottinsieme S ?
  C
• F ? 2C è il sottinsieme delle soluzioni
  ammissibili, (una soluzione S è ammissibile sse
  S?F).
• z 2C ? ? è la funzione di costo,
• Lobiettivo è trovare una soluzione ammissibile
  di costo minimo S, cioè trovare S? F tale che
  z(S) ? z(S), ?S ? F.
• In subordine, lalgoritmo ritorna la miglior
  soluzione ammissibile trovata, S ? F.

4
Esempio TSP

• Esempio di problema il Traveling Salesman
  Problem (TSP).
• Il TSP è definito su un grafo completo pesato e
  non diretto G(V,E,D), dove V è linsieme dei
  vertici, E è linsieme degli archi e D è
  linsieme dei pesi associati agli archi.
• Linsieme dei componenti corrisponde a E (CE),
  
• F corrisponde allinsieme dei cicli
  Hamiltoniani in G
• z(S) è la somma dei pesi associati agli archi
  nella soluzione S.

5
Considerazioni computazionali

• La dimensione delle istanze dei problemi reali
  impedisce di risolverle allottimo in un tempo
  accettabile.
• Però questi problemi devono essere risolti.
• Da qui la necessità di trovare soluzioni
  subottime, che però siano di qualità
  accettabile e che siano trovate in un tempo
  accettabile.

6
Come gestire lNP-completezza

• Istanze piccole
• Casi speciali polinomiali
• Algoritmi approssimati garantiscono di trovare
  una soluzione di errore massimo noto
• Algoritmi probabilistici garantiscono che per
  istanze sufficientemente grandi la probabilità di
  ottenere una cattiva soluzione è molto picccola
• Algoritmi euristici nessuna garanzia, ma
  storicamente, in media, questi algoritmi hanno il
  miglior rapporto qualità/tempo per il problema in
  esame.

7
Euristiche tre classi

• Tre classi principali di algoritmi euristici.
• La prima si concentra sugli aspetti strutturali
  del problema da risolvere per definire algoritmi
  costruttivi o di ricerca locale.
• La seconda, denotata come "metaeuristica"
  (Glover, 1986), si concentra sulla guida di
  algoritmi costruttivi o di ricerca locale per
  superare situazioni critiche.
• Infine, un trend recente cerca di incorporare
  risultati forti della programmazione matematica
  nelle strutture euristiche.

8
Euristiche nessuna dominanza

• Gli algoritmi delle tre classi sono stati
  presentati successivamente in letteratura, ma
  questo non implica nulla sulla loro efficacia
  relativa.
• Specifici problemi possono essere risolti al
  meglio da un algoritmo di una qualsiasi classe.

9
Euristiche di tipo 1 importanza della struttura
della soluzione

• Le euristiche di tipo 1 sfruttano le proprietà
  strutturali delle soluzioni ammissibili per
  ottenere rapidamente una buona soluzione.
• Di solito si tratta di euristiche costruttive o
  di euristiche di ricerca locale.

10
Euristiche costruttive

• 1. Ordina i componenti in C per costi crescenti.
• 2. Set S? e i1.
• 3. Repeat
• If (S?ci è una soluz. parziale ammissibile)
  then SS?ci.
• ii1.
• Until S? F.

11
Euristiche costruttive

• Un approccio costruttivo può generare soluzioni
  ottime per certi tipi di problemi, es. il MST.
• In altri casi però potrebbe essere incapace di
  costruire una soluzione ammissibile.
• TSP ordina gli archi per costi crescenti, prendi
  quello di costo minore e aggiungi archi di costo
  crescente, purchè non chiudano sottocicli, finchè
  non si completa un circuito Hamiltoniano.
• Strategie costruttive più complesse generano
  notissime euristiche per il TSP, quali la
  Farthest Insertion, la Nearest Neighbor o la
  Sweep.

12
Ricerca locale vicinanze

• Linsieme di vicinanza (neighborhood) di una
  soluzione S, N(S), è un sottinsieme di 2C
  definito da una funzione di vicinanza N 2C ?
  22c.
• Spesso si considerano solo soluzioni ammissibili,
  quindi funzioni di vicinanza N F ? 2F.
• La specifica funzione utilizzata ha un profondo
  impatto sulla performance dellalgoritmo. La sua
  scelta è lasciata al progettista dellalgoritmo.

13
Ricerca locale

• 1.Genera una soluzione iniziale ammissibile S.
• 2. Trova S'?N(S), tale che z(S')min z(S), ?S?
  N(S).
• 3. If z(S') lt z(S) then SS'
• goto step 2.
• 4. S S.
• Laggiornamento della soluzione al passo 3 è
  detto mossa da S a S'.
• Può essere fatta verso la prima soluzione
  migliorante trovata.

14
Ricerca locale

• Ci sono problemi per cui la ricerca locale
  garantisce di trovare una soluzione ottima (es.
  lalgoritmo del simplesso).
• Per il TSP, due note LS sono la 2-opt e la 3-opt,
  che prendono una soluzione (una lista di n
  vertici) e scambiano esaustivamente gli elementi
  di ogni coppia o tripletta di vertici.
• Vicinanze più sofisticate originano euristiche
  più efficaci, fra cui Lin and Kernighan LK73.