L

1
Lógica de Predicados

• Sintaxe

2
O que não é possível expressar em Lógica Prop.

• Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor.
  Logo Roberto é um campeão.
• A adição de dois números ímpares quaisquer é um
  número par.
• Por quê?

3
Ausências da Lógica Proposiconal

• Quantificadores
• todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, ...
• Sempre estão ligados a variáveis
• Objetos
• Indivíduos do universo de discurso, sobre o qual
  quantificadores podem ser aplicados
• Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor.

4
Roteiro desta parte do curso

• Sintaxe
• Semântica
• Métodos de prova
• Tableaux semânticos
• Resolução
• Programação em lógica

5
Lógica de Predicados

• Também chamada de
• Lógica de 1ª. Ordem
• FOL (First-Order Logic)
• Extensão da Lógica Proposicional
• Novos conectivos (quantificadores)
• Novos símbolos para funções, variáveis,
  predicados, etc

6
Alfabeto da Lógica de Predicados

• Símbolos de pontuação (,)
• Símbolos de verdade false, true
• Conjunto enumerável de símbolos para variáveis
  x, y, z, w, x1, y1, x2, z2...
• Conjunto enumerável de símbolos para funções f,
  g, h, f1, g1, f2, g2...
• Conjunto enumerável de símbolos para predicados
  p, q, r, s, p1, q1, p2, q2...
• Conectivos proposicionais ?,v, ?, ?

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Aridade

• Associado a cada símbolo de função ou predicado,
  temos uma aridade
• número inteiro, não-negativo k
• Indica o número de argumentos da função ou
  predicado
• Constantes e símbolos proposicionais
• Sempre têm k0
• Funções -gt constantes
• Predicados -gt símbolos proposicionais

8
Notação

• Constantes (ou funções zero-árias)
• a, b, c, a1, b1, a2, b2, ...
• Símbolos (ou predicados zero-ários)
• P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2...
• Quantificadores
• Universal ? (para todo )
• Existencial ? (existe )
• Os conectivos ?, ? e são definidos em função do
  conjunto completo ?,v

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Tipos de perguntas (consultas)

• A capital de Togo é Lome?
• Deve retornar um símbolo de verdade
• Sentenças que representam símbolos de verdade, em
  Lógica de Predicados, são chamados de átomos
• Qual a capital da Estônia?
• Deve retornar um objeto
• Sentenças que representam objetos são chamados de
  termos

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Termos

• São construídos a partir destas regras
• Variáveis são termos (representam objetos)
• Se t1, t2, ..., tn são termos
• f é um símbolo de função n-ária,
• então f(t1, t2, ..., tn) também é um termo

11
Exemplos de termos

• x, a (constante, função zero-ária)
• f(x,a) se e somente se f é binária
• g(y, f(x,a), c) se e somente se g é ternária
• (9,10), -(9,5)
• interpretados como 109, 9-5
• Notação polonesa
• h(x,y,z), considerada implicitamente como
  ternária

12
Átomos

• São construídos a partir destas regras
• O símbolo de verdade false é um átomo
• Se t1, t2, ..., tn são termos
• p é um símbolo de predicado n-ária,
• então p(t1, t2, ..., tn) é um átomo

13
Exemplos de átomos

• P (símbolo proposicional)
• Predicado zero-ário)
• p(f(x,a),x) se e somente se p é binário
• q(x,y,z) considerado implicitamente como ternário
• Ex gt(9,10), (9,(5,4))
• interpretados como 10gt9, 954
• Interpretados como T
• Note os abusos de linguagem
• gt e são predicados
• e são funções

14
Fórmulas

• São construídos a partir destas regras
• Todo átomo é uma fórmula da Lógica de Predicados
• Se H é fórmula então (?H) também é
• Se H e G são fórmulas, então (HvG) também é
• Se H é fórmula e x variável, então
• ((?x)H) e ((?x)H) são fórmulas

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Construção de fórmulas

• Átomos p(x), R e false
• ((?p(x)) v R)
• Que equivale a (p(x) ? R)
• também fórmula
• ((?x) p(x) ? R)
• Expressão termo v fórmula

16
Sub-termo

• Se Ex, então a variável x é sub-termo de E
• Se E f(t1,t2,...,tn) então ti e f(t1,t2,...,tn)
  são sub-termos de E
• Se t1 é sub-termo de t2 e t2 de E, então t1
  também é sub-termo de E

17
Subfórmula

• Se H é fórmula
• H é uma sub-fórmula
• Se H(?G), então G é sub-fórmula de H
• Se H é do tipo (EvG), (EG), (E?G) ou (E?G),
  então E e G são sub-fórmulas de H
• Se x é uma variável e Q um quantificador,
  H((Qx)G) então G e ((Qx)G) são sub-fórmulas de H
• Se G é sub-fórmula de H, então toda sub-fórmula
  de G também é sub-fórmula de H

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Próprios e sub-expressões

• Se t é sub-termo de E, e t é diferente de E,
  então t é sub-termo próprio de E
• Se G é sub-fórmula de H e G e H são diferentes,
  então G é sub-fórmula própria de H
• Todo sub-termo ou sub-fórmula é uma sub-expressão

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Literais e formas normais

• Literal em lógica de predicados é um átomo ou sua
  negação
• Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd
  ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de
  conjunções de literais
• Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc
  ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de
  disjunções de literais

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Ordem de precedência da Lógica de Predicados

• ?
• ?, ?
• ?, ?
• ,v
• G(?x)(?y)p(x,y)?(?z)?q(z)r(y) representa
• H((((?x)((?y)p(x,y)))?(?z)(?q(z)) r(y))

21
Correspondência entre quantificadores

• ((?x)H) ?((?z)(?H))
• ((?x)H) ?((?z)(?H))
• Qualquer quantificador pode ser definido a partir
  do outro!

22
Escopo de um quantificador

• Abrangência de seu uso nas sub-fórmulas
• Se E é uma fórmula na Lógica de Predicados
• Se ((?x)H) é subfórmula de E
• o escopo de (?x) é H
• Se ((?x)H) é subfórmula de E
• o escopo de (?x) é H

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Exemplo de escopo de quantificadores

• G(?x)(?y)((?z)p(x,y,w,z)? (?y)q(z,y,x,z1))
• O escopo de (?x) é (?y)((?z)p(x,y,w,z)?
  (?y)q(z,y,x,z1))
• O escopo de (?y) é ((?z)p(x,y,w,z)?
  (?y)q(z,y,x,z1))
• O escopo de (?z) é p(x,y,w,z)
• O escopo de (?y) é q(z,y,x,z1))

24
Ocorrência livre e ligada

• Se x é uma variável e E uma fórmula, uma
  ocorrência de x em E é
• Ligada, se x está no escopo de um quantificador
  (?x) ou (?x) em E
• Livre, se não for ligada
• G(?x)(?y)((?z)p(x,y,w,z)? (?y)q(z,y,x,z1))

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Variável livre e ligada

• Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x.
  x é
• Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências
  ligadas de x em E
• Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências
  livres de x em E
• No exemplo anterior, z é livre e ligada!

26
Símbolos livres

• Símbolos livres de uma fórmula são suas variáveis
  livres, símbolos de função e de predicado
• Tudo menos os conectivos, variáveis dos
  quantificadores, símbolos de verdade e de
  pontuação
• Ex O conjunto w,z,z1,p,q no exemplo anterior

27
Fórmulas fechadas

• Fórmulas ditas fechadas não possuem variáveis
  livres
• O exemplo anterior não é, mas, adicionando (?w),
  (?z) e (?z1)...
• G1(?w)(?z)(?z1)(?x)(?y) ((?x)p(x,y,w,z)?(?y)q(z,y
  ,x,z1)) é fechada

28
Fecho de uma fórmula

• Se H é fórmula da Lógica de Predicados e
• x1, x2, ..., xn é o conjunto das variáveis
  livres em H
• O fecho universal de H, (?)H, é
  (?x1)(?x2)...(?xn)
• G1 é o fecho universal de G
• O fecho existencial de H, (?)H, é
  (?x1)(?x2)...(?xn)

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Fechos e fórmulas fechadas

• G1(?w)(?z)(?z1)(?x)(?y) ((?x)p(x,y,w,z)?(?y)q(z,y
  ,x,z1))
• Se H é fechada, como não possui variáveis livres,
  seus fechos universal e existencial são iguais a
  H
• H(?)H(?)H