An

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Análisis de la Varianza

• Tema 1

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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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Objetivos

• Reconocer la importancia del diseño y análisis
  estadístico de experimentos
• Presentar un procedimiento para comparar el
  efecto de los distintos niveles de un factor
• Construir y estimar un modelo para contrastar las
  hipótesis de interés
• Cuantificar el efecto de un factor en un
  experimento

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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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Introducción al diseño de experimentos

• Un analista debe ser capaz de resolver problemas
  reales aplicando el método científico.
• Para la resolución de muchos de estos problemas
  no existe una teoría sólida, para otros queremos
  contrastarla
• efecto de las técnicas venta en distintos
  establecimientos
• duración de materiales de construcción en
  distintos ambientes
• Notas de los estudiantes en distintas asignaturas

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Introducción al diseño de experimentos

• Un experimento es una prueba o serie de pruebas
  en las que se modifican deliberadamente las
  condiciones de un proceso o sistema con el
  objetivo de observar el efecto de esas
  modificaciones en el resultado.
• En un experimento intervienen varios factores, el
  objetivo es determinar la influencia de estos
  factores en el resultado final de un proceso,
  para explicar la relación causa-efecto.

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Introducción al diseño de experimentos

• Hay factores
• controlados su valor lo especifica el
  investigador
• no controlados debidos al entorno y al azar
• Debemos minimizar el efecto de los factores no
  controlados.

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Introducción al diseño de experimentos

• Ejemplo Un analista está interesado en
  determinar qué factores influyen en el número de
  unidades vendidas de un cierto producto según el
  tipo de establecimiento
• controlados establecimiento, marca, posición
• no controlados clima, huelgas, eficacia
• Objetivo Determinar qué factores afectan las
  ventas y en qué dirección
• Consecuencias Determinar qué establecimientos
  pueden generar mayores ventas

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Introducción al diseño de experimentosEjemplo
manufactura papel

• Un fabricante de bolsas de papel quiere mejorar
  la resistencia a la tensión de las bolsas.
• El analista de producción piensa que hay una
  relación causa-efecto entre la cantidad de
  celulosa utilizada en la fabricación del papel y
  la resistencia.
• Experimento en el que se fabrica papel con
  distintos de celulosa y se mide la resistencia.

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Introducción al diseño de experimentosEjemplo
manufactura papel
Concentración de celulosa Observaciones Observaciones Observaciones Observaciones Observaciones Observaciones
Concentración de celulosa 1 2 3 4 5 6
5 7 8 15 11 9 10
10 12 17 13 18 19 15
15 14 18 19 17 16 18
20 19 25 22 23 18 20
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Introducción al diseño de experimentosEjemplo
manufactura papel
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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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El modelo (ANOVA)

• Tenemos n elementos que se diferencian en un
  factor.
• En cada elemento observamos una característica
  que varía aleatoriamente de un elemento a otro.
• Se desea establecer si hay o no relación entre el
  valor medio de la característica estudiada y el
  factor.

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El modelo (ANOVA)

• Tenemos
• una variable de interés y (resistencia de las
  bolsas)
• un factor que influye en los valores de y que
  llamamos F ( de celulosa)
• cierto número de niveles del factor F, que
  denotamos por I (4 porcentajes distintos)
• un número de observaciones para cada nivel del
  factor, ni (6 observaciones para cada nivel)
• El número total de observaciones es nn1n2nI

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El modelo (ANOVA)

• Si para i1,,I y j1,,ni
• yij es la j-ésima observación del i-ésimo grupo
• mi es la media del i-ésimo grupo
• uij es la perturbación que mide la variabilidad
  debida al error experimental

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El modelo (ANOVA)

• La perturbación uij mide la desviación en la
  observación j
• del grupo i respecto de la media del grupo. Se
  debe a
• causas no asignables (factores no controlados).
  Es una
• variable aleatoria.
• El promedio de las perturbaciones es cero,
  Euij0
• Misma variabilidad en todos los grupos,
  Varuijs2
• Distribución perturbaciones es normal, uijN(0,
  s2)
• Perturbaciones independientes.

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El modelo (ANOVA)

• Alternativamente, podemos reformular el modelo
• y escribirlo como
• para i1,,I y j1,,ni . Donde
• m es la media de todas las observaciones
• ai es el efecto diferencial del i-ésimo grupo
• (ai m i-m)

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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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Estimación de los parámetros

• En el modelo
• Para i1,,I y j1,,ni con yijN(0, s2)
• Los parámetros desconocidos son
• El verdadero valor de la media de cada grupo
• m1, m2,, mI
• La varianza de la perturbación s2.

20
Estimación de los parámetros

• Media de las
• observaciones en el
• i-ésimo grupo

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Estimación de los parámetros

• Como de costumbre, las perturbaciones las
• estimamos mediante los residuos (miden la
• variabilidad no explicada).

22
Estimación de los parámetros
23
Estimación de los parámetros

• La varianza muestral de los residuos es un
  estimador de s2
• Desgraciadamente se trata de un estimador sesgado.

24
Estimación de los parámetros

• Utilizamos la varianza residual como estimador de
  s2
• El término que aparece en el cociente son los
  grados de libertad.
• Tenemos

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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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Props. de los estimadores (medias)

• Esperanza
• (centrado o insesgado)
• Varianza

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Props. de los estimadores (medias)

• Además, como es combinación lineal de
  variables independientes y normales, sigue
  distribución normal.
• Como s es desconocido, tenemos el intervalo de
  confianza

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Son todas las medias iguales?
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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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Descomposición de la variabilidad

• El Análisis de la Varianza compara la
  variabilidad entre las medias de los grupos de
  los distintos niveles del factor con la
  variabilidad experimental.
• A mayor diferencia entre las medias de los grupos
  mayor variabilidad entre ellos

31
Descomposición de la variabilidad

• Si las medias son muy diferentes, la variabilidad
  entre las medias será mayor que la variabilidad
  dentro de los grupos

32
Descomposición de la variabilidad
33
Descomposición de la variabilidad

• La Variabilidad Explicada (VE) mide la
  variabilidad entre los distintos grupos. Si es
  pequeña, es porque las medias son similares.
• La Variabilidad No Explicada (VNE) o residual,
  mide la variabilidad dentro de los grupos y es
  debida al error experimental.

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Descomposición de la variabilidad

• En general
• Además, si m1mI
• En consecuencia, bajo H0

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Desc. variabilidad. Tabla ANOVA

Fuentes de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Varianza Test F
Entre grupos VE I-1
Residual VNE n-I
Total n-1
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Descomposición de la variabilidad

• Contraste de la F
• Si H0 no es cierta, la varianza entre grupos será
  mayor que la residual

Rechazo
Aceptación
Aceptación
37
Descomposición de la variabilidadEjemplo
manufactura de papel
38
Descomposición de la variabilidadEjemplo
manufactura de papel
Región de rechazo
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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

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Estimación de la diferencia de medias

• Si llegamos a la conclusión de que, al menos, un
  par de medias son distintas. Deseamos saber
  cuáles son distintas y cuáles iguales.
• Solución Comparar las medias 2 a 2

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Contrastes particulares

• Contraste para la igualdad de medias de dos
  poblaciones normales con varianzas desconocidas
  pero iguales
• Hipótesis nula. H0 m1 m2
• Hipótesis alternativa. H1 m1 ¹ m2
• Rechazo H0 cuando
• Hipótesis alternativa. H1 m1 lt m2
• Rechazo H0 cuando
• Hipótesis alternativa. H1 m1 gt m2
• Rechazo H0 cuando

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Intervalos de Confianza particulares

• Intervalo de Confianza para la diferencia de
  medias de dos poblaciones normales con varianzas
  desconocidas pero iguales.
• con un nivel de confianza 1-a ,
• donde P(X gt tn,a) a si Xtn

43
Estimación de la diferencia de medias

• H0 m1 m2
• H1 m1 ¹ m2
• Si
• rechazamos H0.
• En la gráfica c tn1n2-2,a/2

densidad de una tn1n2-2
Acepto
44
Diferencia de mediasEjemplo manufactura de papel
2.228
45
Diferencia de mediasEjemplo manufactura de papel
46
Estimación de la diferencia de mediasMétodo
Fisher o LSD

• Deseamos hacer varios contrastes del tipo
• y, según las hipótesis del modelo, la varianza es
  la
• misma en todos los niveles del factor.
  Utilizamos, así,
• todos los datos para estimarla

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Estimación de la diferencia de mediasMétodo
Fisher o LSD

• La distribución del estadístico es ahora
• Si hay muchos grupos (niveles del factor), el
  nivel crítico cambia (porque n-I mucho mayor que
  n1n2-2). Con el método de Fisher detectamos
  diferencias más pequeñas.
• Explicación varianza de una t.

48
Diferencia de mediasEjemplo manufactura de papel
t(0.025,20) 2.086
49
Diferencia de mediasEjemplo manufactura de papel
50
Estimación de la diferencia de mediasContrastes
múltiples

• En un contraste de hipótesis, estamos siempre
  inclinados a aceptar la hipótesis nula. La
  rechazamos sólo si hay una evidencia muy fuerte
  en su contra.
• Pr(Rechazar H0H0 cierta) a
• Si utilizamos el método de Fisher para comparar
  cada pareja de medias, realizamos I(I-1)/2
  contrastes.

51
Estimación de la diferencia de mediasContrastes
múltiples

• Al realizar m contrastes independientes cada uno
  con nivel de significación a 0.05, la
  probabilidad de rechazar alguna hipótesis nula
  cierta es
• Pr(Rechazar algún H0H0) 1- Pr(Aceptar todos
  H0H0) 1- (1- 0.05)m 1-0.95m gt 0.05

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Estimación de la diferencia de mediasContrastes
múltiples. Método de Bonferroni

• Pr(Rechazar algún H0H0)SPr(Rechazar un
  H0H0)ma
• Fijado un nivel de significación global aT ,
  garantizamos
• dicho nivel de significación global si realizamos
  cada
• contraste con un nivel de significación aaT/m
• Los intervalos de confianza serán ahora más
  anchos y se
• solaparán con mayor facilidad.

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Contrastes múltiples. Método de
BonferroniEjemplo manufactura de papel
t(0.025,20) 2.086
t(0.00416, 20) 2.927
No hay diferencia en la Resistencia al utilizar
el 10 ó 15 de celulosa. Tampoco hay diferencia
al utilizar el 15 ó 20 de celulosa.
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Descripción breve del tema

• Introducción al diseño de experimentos
• El modelo
• Estimación de los parámetros
• Propiedades de los estimadores
• Descomposición de la variabilidad
• Estimación de la diferencia de medias
• Método de Fisher o LSD, contrastes múltiples
• Diagnosis

55
Diagnosis

• Para comprobar las hipótesis del modelo,
  calculamos los residuos (estimaciones de la
  perturbación)

56
Diagnosis

• Comprobar hipótesis de normalidad
• Gráficamente
• Histograma de residuos
• Gráfico probabilístico normal
• Métodos inferenciales
• Contraste de normalidad

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Diagnosis

• Comprobar hipótesis de varianza constante
• Gráficamente
• Gráfico de residuos frente a niveles del factor
• Gráfico de residuos frente a valores ajustados
• Métodos inferenciales
• Contraste de igualdad de varianzas (sensibles a
  la normalidad)

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Diagnosis

• Comprobar hipótesis de independencia
• Gráficos de residuos frente a tiempo.
• Si los datos son independientes, en el gráfico no
  
• aparecerá ninguna tendencia.
• Si hay tendencias, es posible que el experimento
  no haya
• sido aleatorizado y las diferencias entre los
  niveles sean
• debidas al efecto del tiempo.

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DiagnosisEjemplo manufactura de papel
Niveles del factor