AKAR-AKAR PERSAMAAN

1
AKAR-AKAR PERSAMAAN
Muhammad Fitrullah, ST
Kuliah Analisa Numerik dan Pemodelan Teknik
Metalurgi Fakultas Teknik Universitas Sultan
Ageng Tirtayasa
2
METODE GRAFIS
3
METODE GRAFIS (GRAFICAL METHOD)
Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran
atas akar persamaan f (x) 0 adalah membuat
gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia
memotong sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai
x untuk mana f (x) 0, memberikan aproksimasi
(hampiran) kasar dari akar.
4
Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat
terbatas karena kurang tepat. Namun, metode
grafis dapat di manfaakan untuk memperoleh
taksiran kasar dari akar. Taksiran-taksiran ini
dapat diterapkan sebagai terkaan awal untuk
metode numerik yang di bahas di sini dan bab
berikutnya. Misalnya perangkat lunak komputer
TOOLKIT Elektronik yang menyertai naskah ini
memperbolehkan anda untuk menggambarkan fungsi
pada suatu rentang tertentu. Gambaran ini dapat
digunakan untuk memilih terkaan yang mengurung
akar sebelum mengimplementasikan metode numerik.
Pilihan penggambaran akan sangat meningkatkan
kegunaan perangkat lunak tersebut.
5
Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar,
taksiran grafis merupakan sarana yang penting
untuk memahami sifat-sifat fungsi dan
mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang
tersembunyi dari metode-metode numerik
6
(No Transcript)
7
GAMBAR 1. Ilustrasi sejumlah cara umum bahwa
suatu akar mungkin terjadi dalam selang yang di
tentukan oleh batas bawah xi dan batas atas xu.
Bagian (a) dan (c) menunjukan bahwa jika f(xi)
dan f(xu) keduanya bertanda sama, maka di dalam
selang tidak akan terdapat akar sebanyak bilangan
genap. Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa jika
fungsi berbeda pada tanda titik-titik ujung, maka
dalam selang akan terdapat akar sebanyak bilangan
ganjil.
8
METODE BAGI DUA(Bisection Method)
9
Bisection (Metode Bagi Dua)

• Prinsip
• Ide awal metode ini adalah metode table,
  dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja
  metode biseksi ini membagi range menjadi 2
  bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana
  yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung
  akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang
  hingga diperoleh akar persamaan.

10
Langkah langkah dalam menyelesaikan Metode
Bagi Dua

• Langkah 1
• Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas
  atas untuk taksiran akar sehingga terjadi
  perubahan tanda fungsi dalam selang interval.
  Atau periksa apakah benar bahwa
• f(a) . f(b) lt 0

11
Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari
Langkah 3
12
Menentukan daerah yang berisi akar fungsi

• Langkah 3
• Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x lt z) dan
  f(x gt z) saling berbeda tanda.
• f(a)f(c) negatif, berarti di antara a c ada
  akar fungsi.
• f(b)f(c) positif, berarti di antara b c tidak
  ada akar fungsi

13
Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi
berhenti

• Langkah 4
• Proses pencarian akar fungsi dihentikan
  setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang
  dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.

14

• Contoh
• Carilah salah satu akar persamaan berikut
• xe-x1 0
• disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif
  (ea) 0.001 dengan menggunakan range x-1,0

15

• Dengan memisalkan bahwa
• (xl) batas bawah a
• (xu) batas atas b
• (xr) nilai tengah x
• maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut

16

• Pada iterasi ke 10 diperoleh x -0.56738 dan
  f(x) -0.00066
• Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan
  dengan menggunakan toleransi error atau iterasi
  maksimum.

Catatan Dengan menggunakan metode biseksi
dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10
iterasi, semakin teliti (kecil toleransi
errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang
dibutuhkan.
17
METODA POSISI SALAH ATAU PALSU
18
False Position Prinsip Di sekitar akar fungsi
yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis
lurus Titik tempat garis lurus itu memotong
garis nol ditentukan sebagai akar fungsi.
19
(No Transcript)
20
LANGKAH -LANGKAH

• Perkirakan akar fungsi (bisa dengan cara memplot
  fungsi).

2. Tentukan batas awal yang mengurung akar
fungsi.
21
3. Tarik garis lurus penghubung nilai fungsi pada
kedua batas, lalu cari titik potongnya
dengan garis nol.
22
4. Geser salah satu batas ke titik potong itu,
sementara batas lain tidak berubah. Ulangi
langkah 3.
5. Ulangi langkah 4 sampai dianggap cukup. 6.
Titik potong garis nol dan garis lurus yang
terakhir dinyatakan sebagai akar fungsi.
23
Metode false position juga menggunakan dua batas
seperti metode bisection. Namun, berbeda dari
metode bisection, pada metoda false position
hanya satu batas yang berubah. Pada contoh
sebelum ini, batas a berubah sementara batas b
tetap. Pada contoh berikut terjadi sebaliknya.
24
Menghitung akar fungsi dengan metode false
position, menggunakan a dan b sebagai batas
awal jika batas a tetap, batas b berubah
jika batas b tetap, batas a berubah
kesalahan relatif semu
25
Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif
semu sudah mencapai / melampaui batas yang
diinginkan.
Catatan (Metoda Posisi Palsu) Metoda ini
menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda
secant. Dalam penyelesaian f (x) 0,
ditentukan suatu interval po,p1 dimana f
kontinyu pada interval ini, dan f(po) .
f(p1) lt 0 (berlawanan tanda).
26
Metode Iterasi Satu Titik Sederhana
27

• Metode iterasi sederhana adalah metode yang
  memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga
  diperoleh x g(x).
• dikenal juga sebagai metode x g(x)
• Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan
  dalam bentuk
• x(n1)g(xn)
• Dimana n0,1,2,3,....

28
Contoh

• Gunakan metode iterasi satu titik untuk
  mendapatkan akar dari
• Langkah langkah penyelesaian

29

• menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk
  xg(x).

. (1)
. (2)
. (3)
. (4)
30

• Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan
  iterasinya sebagai
• dengan n 1,2,3,.....
• Jika diambil dari nilai xo 1, maka
• Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai
  berikut

31
Nilai Iterasi dari persamaan 1
iterasi x g(x) Ea
1 1 2.843867  
2 2.843867 3.055686 6.931961
3 3.055686 3.078205 0.731565
4 3.078205 3.08058 0.077088
5 3.08058 3.08083 0.008122
6 3.08083 3.080856 0.000856
7 3.080856 3.080859 9.02E-05
8 3.080859 3.080859 9.5E-06
9 3.080859 3.080859 1E-06
10 3.080859 3.080859 1.05E-07
32
Nilai Iterasi dari persamaan 2
iterasi x g(x) Ea
1 1 -6.33333  
2 -6.33333 -91.3457 93.06663
3 -91.3457 -254070 99.96405
4 -254070 -5.5E15 100
5 -5.5E15 -5.4E46 100
6 -5.4E46 -5E139 100
7 -5E139
8
9
10
33
Nilai Iterasi dari persamaan 3
iterasi x g(x) Ea
1 1 -10  
2 -10 0.206186 4950
3 0.206186 -6.7625 103.049
4 -6.7625 0.46804 1544.854
5 0.46804 -7.19182 106.508
6 -7.19182 0.41049 1852.007
7 0.41049 -7.0634 105.8115
8 -7.0634 0.426516 1756.071
9 0.426516 -7.09702 106.0098
10 -7.09702 0.422229 1780.847
34
Nilai Iterasi dari persamaan 4
iterasi x g(x) Ea
1 1 4.795832  
2 4.795832 2.677739 -79.1
3 2.677739 3.235581 17.24086
4 3.235581 3.030061 -6.78272
5 3.030061 3.098472 2.207889
6 3.098472 3.074865 -0.76773
7 3.074865 3.082913 0.26104
8 3.082913 3.080158 -0.08944
9 3.080158 3.081099 0.030566
10 3.081099 3.080777 -0.01045
35

• Dari hasil di atas nampaknya persamaan 2 dan 3
  memberikan hasil yang tidak konvergen. Persamaan
  4, seperti halnya persamaan 1, mampu memberikan
  nilai akar yang kita cari.

36
Metode Newton-Raphson
37
Pengertian

• Salah satu metode penyelesaian akar-akar
  persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu
  nilai tebakan awal dari akar yaitu xi

38
Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson
x
0
39
Langkah-langkah penyelesaian Metode Newton-Raphson
Langkah 1 Cari f(x) dan f(x) dari f(x)
40
Contoh Soal

• Pernyataan Masalah
• Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir
  akar dari
• f(x) e-x-x
• menggunakan sebuah tebakan awal x0 0.

41
Solusi

• Langkah 1
• Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x)
  e-x-x
• dapat dievaluasikan sebagai

42

• Langkah 2
• Lakukan uji syarat persamaan

memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-akarnya
dapat dicari dengan metode Newton-Raphson
43

• Langkah 3
• Lakukan Iterasi dengan

Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x)
semakin mendekati 0
Iterasi, i xi f(xi)e-x-x f(xi)-e-x-1
0 1 2 3 4 0 0,500000000 0,566311003 0,567143165 0,567143290 1 0,106530659 1,304510116x10-3 1,96536x10-7 6,43x10-10 -2 -1,60653066 -1,567615513 -1,567143362 -1,567143291
44

• Kelemahan
• Metode Newton-Raphson
• 1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar
  (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian
  tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan.
• 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).
• 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak
  memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun
  ada akar penyelesaiannya.
• 4. Untuk persamaan non linier yang cukup
  kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua
  f(x) akan menjadi sulit.

45
METODE SECANT
46
METODE SECANT

• Waktu di SMA, kita sering menyelesaikan persamaan
  kuadrat yaitu berbentuk
• f(x) a. x² b.x c
• misalnya persamaan kuadrat
• x²- 9 0, maka akar-akarnya dapat ditentukan
  dengan persamaan abc
• x (-b v b²-4.ac)/2a
• Maka akar x2- 9 adalah x1 3 dan x2 - 3

47
Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan
akar-akar bagi persamaan tersebut. Akar-akar
tersebut memberikan nilai-nilai x yang menjadikan
persamaan itu sama dengan nol. Namun untuk
bentuk-bentuk persamaan non-linear dengan derajat
lebih dari dua, terkadang akan ditemukan
kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya. Untuk
itu diperlukan metode-metode untuk mencari akar
bagi persamaan non-linear tersebut. Diantaranya
adalah Metode Grafik, Metode Interval Tengah (
Bisection Method ), Metode Interpolasi Linear,
Metode Secant, Metode Newton-Raphson, Metode
Muller, Metode Literasi Satu Titik Metode x
g(x), dan Metode Bairstow. Namun disini kami
hanya membahas tentang penyelesaian persamaan
non-linear dengan menggunakan Metode Secant.
48
Metode Secant merupakan perbaikan dari Metode
Newton, yaitu nilai turunan f'(x) didekati dengan
beda hingga (?)
gambar 1. Penentuan nilai turunan fungsi dengan
metode Secant.
49
Dimana,


50
Sehingga dalam persamaan Newton-Rhapson menjadi
51
Algoritma program untuk metode Secant

• Tentukan X0, X1, toleransi, dan jumlah iterasi
  maksimum.
• Hitung Xbaru X1 - f(X1)( X1- X0)/f(X1 - X0).
• Jika nilai mutlak (Xbaru - X1) lt toleransi,
  diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil
  perhitungan.
• jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Jika jumlah iterasi gt iterasi maksimum, akhiri
  program.
• X Xbaru, dan kembali ke langkah (2).

52
Contoh 1 hitung akar persamaan dari f(x) x³
- 3x - 20, Perkiraan awalX 1 6, f(6)178 X 2
2, f(2)-18iterasi pertamax3178-6
2.3673469iterasi keduaX 2 2 ,
f(2)-18x32.3673469, f(2.3673469)
-13.83464426x4 2.3673469--13.83464426
3.587438053
53
Iterasi X1 X2 X3 f(x1) f'(x2)  f(x3)
1 6 2 2.367346900 178 -18 -13.83464426
2 2 2.367346900 3.587438053 -18 -13.83464426 15.40697963
3 2.367346900 3.587438053 2.944590049 -13.83464426 15.40697963 -3.302376572
4 3.587438053 2.944590049 3.058058742 15.40697963 -3.302376572 -0.576057128
5 2.944590049 3.058058742 3.082034087 -3.302376572 -0.576057128 0.029936467
5 3.058058742 3.082034087 3.080849690 -0.576057128  0.029936467 -0.000248906
5 3.082034087 3.080849690 3.080859456  0.029936467 -0.000248906 -1.06044E-07
54
Contoh 2 hitung akar persamaan dari

• y x³ x²- 3x-3
• dengan menggunakan metode secant, disyaratkan
  bahwa batas kesalahan relatif lt 0.01.

55
Hasil
56
Iterasi x 0 x1 x2 F(x0) F(x1) ea()
1 1 2 1,571429 -4 3
2 2 1,571429 1,705411 3 -1,36443 7,856304
3 1,571429 1,705411 1,735136 -1,36443 -0,24775 1,713119
4 1,705411 1,735136 1,731996 -0,24775 0,029255 -0,18126
5 1,735136 1,731996 1,732051 0,029255 -0,00052 0,003137
6 1,731996 1,732051 1,732051 -0,00052 -1E-06 6,34E-06
x
x
x
f ( x
f ( x
57
Keuntungan cepat konvergen  Kerugian tidak
selalu konvergen (bisa divergen)
58
METODE TERBUKAAKAR GANDA
59
Akar ganda berpadanan dengan suatu titik dimana
fungsi menyinggung sumbu x.

• Misalnya, akar ganda-dua dihasilkan dari
  persamaan

x1
60
Akar ganda

• Akar ganda dua
• Akar ganda tiga
• Akar ganda empat
• Dan seterusnya

61
Penyelesaian akar ganda

• Ralston dan Rabinowitz (1978)

• Kelemahan
• multiplisitas akar harus diketahui

Dimana m adalah bilangan multiplisitas
akar Misalnya akar tunggal, m 1 akar ganda
dua, m 2 akar ganda tiga, m 3, dst
62
Penyelesaian akar ganda

• Ralston dan Rabinowitz mendefinisikan suatu
  fungsi baru yaitu
• yaitu untuk mengembangkan suatu bentuk alternatif
  dari metode Newton-Rapshon menjadi

63
Penyelesaian akar ganda

• Persamaan tersebut dideferensialkan untuk
  memberikan
• dan setelah disubtitusikan ke persamaan semula
  menjadi

64
Penyelesaian akar ganda

• Metode Newton-Rapshon yang dimodifikasi untuk
  akar ganda

65
STUDI KASUS DESAIN RANGKAIAN LISTRIK
66
Latar belakang

• Hukum Kirchoff untuk mempelajari keadaan mantap
  (tidak berubah terhadap waktu) dari rangkaian
  listrik.
• Masalah lainnya adalah keadaan transien
  mencangkup rangkaian dimana perubahan periode
  secara mendadak

67
Dalam rangkaian listrik, bila sakelar ditutup,
arus akan mengalami osilasi sampai tercapai
steady state baru.

• Saat tercapai steady state baru, terjadi
  penyesuaian diikuti penutupan sakelar
• Lama periode penyesuaian, tergantung pada
• 1) sifat penyimpan muatan (kapasitor)
• 2) sifat penyimpan energi (induktor)

68
Rumus

• Arus tahanan penurunan tegangan (VR)
• Arus induktor perubahan tegangan (VL)
• Besar perubahan tegangan sepanjang kapasitor
  (Vc)

VRiR
VL
VC
69
Hkm. Kirchhoff II Penjumlahan aljabar dari
tegangan di sekeliling rangakaian tertutup adalah
nol

• Setelah sakelar ditutup
• Arus dihubungkan dengan muatan
• Karenanya

70
Solusi yang diberikan

• Dimana
• t0, qqoVoC, Voteg. Muatan baterai.
• Q(t) digambarkan
• Ket Muatan pada sebuah kapasitor sebagai fungsi
  waktu diikuti penutupan sakelar

71
Sejenis persoalan desain teknik elektro bisa
meliputi penentuan harga tahanan yang layak untuk
mendisipasikan energi pada suatu kelajuan
tertentu dengan harga L dan C yang diketahui.
Untuk studi kasus sekarang, dianggap muatan harus
didisipasikan hingga 1 dari harga awalnya (q/q0
0.01)dalam waktu t 0.05 detik , dengan L 5H
dan C 10-4F.

• Solusi Perlu diselesaikan Persamaan (6.11)
  untuk R dengan harga-harga yang diketahui yaitu
  q,q0,L dan C.
• Metode bagi dua akan digunakan untuk keperluan
  ini.

72
Dengan mengatur kembali persamaan sebelumnya

• Atau memakai harga numerik
• Pemeriksaan terhadap persamaan ini menyarankan
  bahwa bentangan awal bagi R yang cukup pantas
  adalah 0 sampai 400( karena 2000-0.01R2 harus
  lebih besar dari nol) Gambar 6.7 yaitu suatu
  grafik dari Persamaan (6.12) memastikan hal
  ini.Dua puluh iterasi metode bagi dua memberikan
  R 328.1515dengan suatu kesalahan yang lebih
  kecil dari 0.0001

73
Ket Grafik ini dipakai untuk memperoleh tebakan
awal bagi R yang mengurung R
74
SELESAI
TERIMA KASIH