Mechanik deformierbarer Medien

1
Mechanik deformierbarer Medien

• Elastomechanik fester Körper Biegung eines
  Balkens

2
Inhalt

• Biegung eines Balkens
• Die Neutrale Faser
• Definition der neutralen Faser
• Bauprinzip Röhrenknochen

3
Voraussetzung Das Hookesches Gesetz gelte im
Material

• sowohl bei Dehnung
• als auch bei Verdichtung

4
Hookesches Gesetz bei Dehnung und Verdichtung
(vgl. mit der Verformung einer Ziehharmonika)
5
Biegung eines Balkens
Elastizitätsmodul des Materials
Auslenkung
Last
Biegung eines einseitig eingespannten Balkens
Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die
Auslenkung ein.
6
Die Neutrale Faser

• Linie, deren Länge bei entsprechender Dehnung und
  Verdichtung konstant bleibt

7
Biegung eines Balkens, einseitig eingespannt
Oberhalb der neutralen Faser wird das Material
gestreckt
Unterhalb der neutralen Faser wird das Material
gestaucht
Neutrale Faser Mittellinie, bleibt bei der
Biegung in der Länge unverändert
8
Versuch zur Balkenbiegung

• Ein Balken wird hochkant und quer dazu
  eingespannt. Hochkant ist die Durchbiegung viel
  geringer.

9
Auslenkung eines Balkens bei Biegung
1 m Einseitige Lagerung
1 m Beidseitige Lagerung
1 m Durchbiegung
1 N Last
1 m Höhe
1 m Länge
1 m Breite
1 N/m2 Elastizitätsmodul
Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die
Auslenkung ein
10
Versuch zur Neutralen Faser

• Die Neutrale Faser wird im polarisierten Licht an
  einem in der Mitte belasteten, zweiseitig
  eingespannten Glasbalken gezeigt. Unter Spannung
  stehende Bereiche drehen die Polarisationsebene
• Man erkennt, dass das Gebiet um die Neutrale
  Faser im Innern des Balkens ohne Spannung bleibt.

11
Hohler Balken, einseitig eingespannt
Oberhalb der neutralen Faser wird das Material
gestreckt
Unterhalb der neutralen Faser wird das Material
gestaucht
Neutrale Faser Mittellinie, bleibt bei der
Biegung in der Länge unverändert
12
Versuch Biegung eines hohlen und eines
ausgefüllten Stabes von gleicher Materialmenge.

• Der Versuch zeigt, der Hohlstab ist viel stabiler

13
Hohlbalken

• Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit
  einem innen hohlen, hohen Profil die geringste
  Durchbiegung
• Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich,
  nahe der Neutralen Faser, hätte ohnehin wenig
  zur Biegesteifigkeit beigetragen

14
In der Natur tragen Röhrenknochen zur
Leichtbauweise der Vögel bei
15
Zusammenfassung

• Die Auslenkung bei der Biegung eines ein- oder
  zweiseitig eingespannten Balkens ist proportional
  zu
• Kehrwert der dritten Potenz der Balken Höhe
• Kehrwert der Breite des Balkens
• Kehrwert de Elastizitätsmodul
• Proportional zur dritten Potenz der Länge
• Neutrale Faser Mittellinie, bleibt bei der
  Biegung in der Länge unverändert
• Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit
  einem innen hohlen, hohen Profil die geringste
  Durchbiegung
• Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich,
  nahe der Neutralen Faser, hätte ohnehin wenig
  zur Biegesteifigkeit beigetragen

16
Finis