ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato l

1
ATTENZIONE !per visualizzare le formule occorre
avere installato lEquation Editor di Office
oppure il programminoMath Type
...
2
Lorigine delle analogie in fisica

• Enzo Tonti

...
3
cosa è una analogia ?
15 3 60 12
questa è una proporzione
i numeri del membro di sinistra sono diversi da
quelli di destra ma il rapporto di sinistra è
uguale al rapporto di destra.
Questo è il più semplice esempio di analogia.
...
4
cosa è una analogia ?
Lanalogia è linvarianza di una relazione o di
un enunciato per cambiamento degli elementi
coinvolti.
Rosen J, Fundamental Manifestation of Symmetry
in Physics Foundation of Physics Vol. 20, No. 3,
1990, p. 285.
...
5
il ruolo delle analogie
Le analogie svolgono un ruolo fondamentale sia
nella ricerca scientifica che nellapprendimento
in quanto permettono di trasferire senza
difficoltà nozioni che ci sono familiari in un
campo al campo che stiamo studiando.
Le analogie sono come delle strade nella mente
una volta che siamo riusciti a mettere le nuove
nozioni su queste strade il pensiero scorre
velocemente ripercorrendo tratti che ci sono
familiari.
...
6
analogie e formalismi
Osservando le onde del mare, le vibrazioni di una
corda, le vibrazioni dellaria, quelle del campo
elettromagnetico, vi scorgiamo un comportamento
analogo. Questo ci porta a concepire un
formalismo, quello della teoria delle
onde descritto dallequazione differenziale di
dAlembert che è di tipo iperbolico.
I formalismi sono possibili perché cè un
comportamento analogo in fenomeni diversi.
...
7
analogie e formalismi

• Ricordiamo i seguenti formalismi
• formalismo dei sistemi dinamici
• formalismo delle reti generalizzate
• formalismo della teoria matematica dei campi
• formalismo della termodinamica irreversibile
• formalismo della prima quantizzazione
• formalismo della seconda quantizzazione.

...
8
analogie in fisica
In fisica le analogie tra due diversi campi si
manifestano solitamente nel fatto che le
equazioni che compaiono nei due campi siano
uguali o, al più, simili nonostante che le
variabili corrispondenti siano profondamente
diverse sia nella loro natura matematica (scalari,
vettori, tensori, ecc) sia nel loro contenuto
fisico.
...
9
perché vi sono le analogie in fisica?
Richard Feynman si pone la domanda Why are
the equations from different phenomena so
similar? Is it possible that the thing which
is common to all phenomena is the space, the
framework into which the physics is put?
Da questa domanda e da questa laconica risposta
si evince che la ragione delle analogie in
fisica non è affatto chiara, anche se è
ragionevole che lo spazio svolga un ruolo
essenziale.
...
10
perché vi sono analogie in fisica? il nostro
punto di partenza.
Le equazioni, in fisica, esprimono delle
relazioni tra le GRANDEZZE FISICHE. Tutta
la descrizione matematica della fisica è resa
possibile dallesistenza delle GRANDEZZE
FISICHE. Non sarà allora che esaminando
direttamente le GRANDEZZE FISICHE si
possa scoprire la ragione delle analogie? Ecco
il nostro punto di partenza le
GRANDEZZE FISICHE.
...
11
costanti e variabili
Le grandezze fisiche si dividono in due grandi
categorie
GRANDEZZE
Noi ci occuperemo delle variabili.
...
12
il processo di creazione delle variabili fisiche
i flussi

• I flussi, di qualunque grandezza fisica, quali
• un flusso di energia,
• un flusso di massa,
• un flusso di entropia,
• un flusso di quantità di moto,
• un flusso elettrico,
• un flusso magnetico,
• un flusso di carica,
• un flusso di neutroni in un reattore nucleare,
• un flusso di probabilità in meccanica
  quantistica,
• ecc.
• sono sempre riferiti ad una superficie.

...
13
il processo di creazione delle variabili fisiche
i contenuti

• l contenuti, di qualunque variabile fisica,
  quali
• il contenuto di energia,
• il contenuto di massa,
• il contenuto di entropia,
• il contenuto di quantità di moto,
• il contenuto di carica,
• il contenuto di probabilità in meccanica
  quantistica,
• il contenuto di neutroni in un reattore
  nucleare,
• ecc.
• sono sempre riferiti ad un volume.

...
14
il processo di creazione delle variabili fisiche
le circolazioni

• le circolazionie di un vettore lungo una linea,
  quali
• la circolazione della forza,
• la circolazione della velocità nei fluidi,
• la forza elettromotrice
• la forza magnetomotrice
• lallungamento di un segmento nella meccanica
• dei solidi deformabili
• ecc.
• sono sempre riferite ad una linea.

...
15
il processo di creazione delle variabili fisiche
i potenziali

• il potenziale elettrico,
• il potenziale gravitazionale,
• il potenziale della velocità nei fluidi,
• il potenziale scalare magnetico
• il potenziale termico ovvero la temperatura
• lo spostamento nella meccanica dei solidi
  deformabili
• ecc.
• sono sempre riferiti ad un punto.

...
16
quindi le variabili fisiche sono associate agli
elementi spaziali
Si vede allora che le variabili fisiche
globali sono associate ai quattro elementi
spaziali
punti P (potenziali) linee
L (circolazioni) superfici S (flussi)
volumi V (contenuti)
...
17
le variabili fisiche sono associate agli
elementi spaziali
A rimarcare questa associazione sta il fatto che
noi formiamo le densità dividendo le
variabili globali per lestensione
dellelemento spaziale e, successivamente,
passando al limite facendo tendere a zero
lestensione dellelemento spaziale.
Nascono così la circolazione per unità di
lunghezza, il flusso per unità di area, il
contenuto per unità di volume.
...
18
la creazione delle densità
Domanda Per quale motivo noi formiamo le densità
puntuali di linea, di superficie, di volume ?
Risposta Per liberarci della geometria che è
attaccata alle variabili globali ed ottenere
in tal modo delle funzioni del punto.
...
19
per la formulazione differenziale
Domanda Per quale motivo vogliamo le funzioni
di punto ?
Risposta perché queste rendono possibile la
formazione delle derivate totali o parziali e
quindi luso delle equazioni differenziali.
Conclusione Ecco la ragione che ci spinge a
formare le densità ! rendere possibile la
formulazione differenziale.
...
20
cosa abbiamo perduto?
Senonché nel momento stesso in cui ci siamo
liberati della geometria per soddisfare le
brame della formulazione differenziale, abbiamo
nascosto linformazione fondamentale e cioè che
le variabili fisiche nascono associate agli
elementi spaziali.
Come vedremo, è proprio lassociazione agli
elementi spaziali che rende possibile la
spiegazione delle analogie in fisica !
...
21
definiamo le variabili globali
Def chiameremo variabili GLOBALI tutte le
variabili che non sono densità.
...
22
definiamo le variabili globali
Def chiameremo variabili GLOBALI tutte le
variabili che non sono densità.
Perché non usare il nome variabili integrali
? Per almeno tre ragioni. Prima ragione alcune
variabili, quali la temperatura, il potenziale
elettrico, il potenziale gravitazionale, il
potenziale chimico, lo spostamento non sono
variabili integrali mentre sono variabili globali.
...
23
definiamo le variabili globali
perché non usare il nome variabili integrali
? Seconda ragione concepire il flusso come
ottenuto mediante un integrale di superficie vuol
dire partire dalle funzioni di punto e quindi
dalla formulazione differenziale, cosa che
vogliamo evitare.
...
24
definiamo le variabili globali
perché non usare il nome variabili integrali
? Terza ragione in laboratorio noi misuriamo
più facilmente le variabili globali che non le
loro densità
...
25
le variabili globali sono funzioni di dominio
Le variabili globali sono associate a volumi, a
superfici, a linee e a punti. Questi sono dei
domini tri-dimensionali, bi-dimensionali,
uni-dimensionali, zero-dimensionali. Le
variabili globali sono quindi funzioni di dominio.
...
26
orientazionedegli elementi spaziali
...
27
Gli elementi spaziali si possono orientare

• Gli elementi spaziali si possono dotare di
  orientazione.
• Vi sono due tipi di orientazione di un elemento
  spaziale
• orientazione interna
• orientazione esterna.

...
28
Gli elementi spaziali si possono orientare
orientazione interna
orientazione esterna
...
29
le variabili fisiche si possono dividere in tre
classi
Variabili energetiche
Variabili di configurazione
Variabili di sorgente
...
30
le tre classi di variabili
vettore raggio angoli di Eulero velocità velocità
angolare tensore di deformazione velocità di
deformazione temperatura potenziale
elettrico induzione magnetica dilatazione
cubica velocità di dilatazione cubica ecc.
forza momento quantità di moto momento angolare
tensore degli sforzi pressione impulso massa cari
ca elettrica spostamento elettrico densità di
corrente ecc.
lavoro energia potenziale energia
cinetica entalpia energia libera funzione di
Gibbs azione ecc.
...
31
e qui cè una piacevole sorpresa
si constata che le variabili di configurazione
sono associate agli elementi spaziali dotati di
orientazione interna mentre quelle di sorgente
sono associate agli elementi spaziali dotati di
orientazione esterna
Si constata che le variabili di
configurazione sono naturalmente associate agli
elementi spaziali e temporali dotati di
orientazione interna.
Si constata che le variabili di
sorgente sono naturalmente associate agli
elementi spaziali e temporali dotati di
orientazione esterna.
...
32
evidenziamo gli elementi spaziali
Nella formulazione differenziale i punti sono
protagonisti in quanto si utilizzano funzioni di
punto. Per poter utilizzare la matematica occorre
associare ai punti dei numeri, le coordinate.
Nascono così i sistemi di coordinate.
Usando le funzioni di dominio occorre descrivere
gli elementi spaziali, non solo i punti. Lo
strumento più naturale è costituito dai complessi
di celle.
...
33
I complessi di celle
ora entrano in campo i complessi di celle
...
34
il complesso primale orientazione interna
...
35
il complesso duale orientazione esterna
...
36
classificazione degli elementi spaziali
complesso primale orientazione interna
complesso duale orientazione esterna
P L S V
...
37
classificazione delle variabili fisiche
elettrostatica
source variables dual cell complex outer
orientation
configuration variables primal cell complex inner
orientation
...
38
classificazione delle variabili fisiche
conduzione termica
configuration variables primal cell complex inner
orientation
source variables dual cell complex outer
orientation
...
39
Conduzione termica stazionaria
Poisson
Variabili di configurazione Complesso primale
Variabili di sorgente Complesso duale
Equazione fondamentale
Sorgente termica
temperatura
Fourier
gradiente temperatura
Densità di flusso
...
40
elettrostatica
Poisson
Variabili di configurazione Complesso primale
Variabili di sorgente Complesso duale
Equazione fondamentale
potenziale elettrico
densità di carica
intensità campo elettrico
Spostamento elettrico
...
41
classificazione delle variabili fisiche
elasticità
configuration variables primal cell complex inner
orientation
source variables dual cell complex outer
orientation
...
42
classificazione delle variabili fisiche fluidi
vicosi
source variables dual cell complex outer
orientation
configuration variables primal cell complex inner
orientation
...
43
conclusione
Le variabili fisiche globali sono naturalmente
riferite agli elementi spaziali, Punti, Linee,
Superfici, Volumi.
Da questa associazione nasce il fatto che le
relazioni tra le grandezze fisiche di due teorie
siano le stesse.
Questo spiega lesistenza delle analogie in
fisica.
fine
...