3-F

1
3-Färbbarkeit von planaren Graphen mit
Maximalgrad 4 ist NP-vollständig

• Marco Barz
• Seminar über Algorithmen SoSe2007

2
Gliederung

• 1. Einleitung
• 2. Wiederholung
• 3. Beweis
• 3SAT 3C
• 3C P3C
• P3C P3C4

3
1. Wiederholung

• Was ist ein planarer Graph?
• Ein Graph, der auf einer Ebene mit Punkten für
  die Knoten und Linien für die Kanten dargestellt
  werden kann, ohne dass die Kanten sich kreuzen

4
Wiederholung

• Was ist 3-Färbbarkeit?
• G(N,A) ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten
• f Abbildung N -gt 1,2,3
• f ist gültige 3-Färbung von G, falls für je zwei
  beliebige benachbarte Knoten v1 und v2 von G
  gilt
• f(v1)?f(v2)
• für alle v aus N gilt f(v)3

5
Beweis

• Beweisführung in 3 Schritten mittels 3er
  Reduktionen
• 1. 3SAT 3-Färbbarkeit von Graphen
• 2. 3-Färbbarkeit von Graphen 3-Färbbarkeit von
  planaren Graphen
• 3. 3-Färbbarkeit von planaren Graphen
  3-Färbbarkeit von planaren Graphen mit
  Maximalgrad 4

6
1. 3SAT 3C

• Konstruktion des Graphen H

a
y1
y4
y5
b
y6
y2
y3
c
Wenn die Knoten a,b,c gleich gefärbt sind, muss
y6 bei einer gültigen 3-Färbung von H ebenfalls
die gleiche Farbe annehmen
7
Eigenschaften von H

• 1.1 Jede Färbung der Knoten a,b,c, so dass
  1?f(a),f(b),f(c) kann zu einer gültigen
  3-Färbung erweitert werden, so dass f(y6)1
• 1.2 wenn f(a)f(b)f(c)i, dann ist auch f(y6)i

8
1. 3SAT 3C

• Menge C von p Klauseln in n Variablen
  x1,x2,...,xn als Eingabe für 3SAT
• Annahme Jede Klausel hat 3 Literale (Beweis
  siehe Quellen) Ci(ai?bi?ci)
• Ziel Konstruktion eines Graphen G, der genau
  dann 3-färbbar ist, wenn C erfüllbar ist

9
1. 3SAT 3C
a1
y11
x1
x2
y14
y15
b1
y16
y12
v3
c1
y13
y21
a2
y24
v2
v1
y25
b2
y26
y22
c2
y23
10
1. 3SAT 3C

• gt
• C hat erfüllende Belegung
• Definiere fN-gtyij1?i?p,1?j?6 durch
• f(v1)1, f(v2)2, f(v3)3
• f(xi)1, f( )2 falls xitrue
• f(xi)2, f( )1 falls xifalse
• f weist benachbarten Knoten verschiedene Werte zu
• Weil C erfüllt, gilt 1f(v1)?f(ai), f(bi),
  f(ci) für alle i, 1?i?p.
• Nach Eigenschaft 1.1 kann f zu einer gültigen
  3-Färbung erweitert werden

11
1. 3SAT 3C

• lt
• fN-gt1,2,3 ist gültige 3-Färbung von G
• Kanten in A erzwingen Eigenschaften
• f(xi),f( )1?i?nf(v1),f(v2)
• f(yi6)1?i?pf(v1)
• Es folgt aus Eigenschaft 1.2 dass
• f(v1)?f(ai), f(bi), f(ci), 1?i?p
• Ausserdem f(xi)!f( )
• Setzen von x genau dann auf true (f(x)1), wenn
  f(xi)f(v1), ergibt erfüllende Belegung für C

Also ist C dann und nur dann erfüllbar, wenn G
3-färbbar ist ?.
12
2. 3C P3C

• Schlüsselkonstruktion für den 2. Teil des
  Beweises ist dieser Graph H (Kreuzung)
• Eigenschaften
• 2.1 Jede gültige 3-Färbung von H ergibt die
  gleichen Farben jeweils für u,u und v,v
• 2.2 Es existiert immer eine 3-Färbung, bei der u
  und v verschiedene Farben haben

13
2. 3C P3C

• Konstruktion des planaren Graphen G(N,A) aus
  einem Graphen G(N,A)

1. Platziere G in der Ebene, mit Kreuzungen, aber
so, dass nicht mehr als 2 Kanten sich an einem
Punkt treffen (abgesehen von ihrem Endpunkt) und
so, dass keine Kante einen anderen Knoten als
ihren eigenen Endpunkt berührt.
2. Für jede Kante x,y ?A bezeichne ihre
Darstellung in der Ebene x,y-Linie. Füge zu
jeder solchen Linie, die von anderen Linien
gekreuzt wird, neue Punkte hinzu einen zwischen
jedem Endpunkt und der nächstliegenden Kreuzung
und einen zwischen jedem Paar nebeneinander
liegender Kreuzungen.
3. Ersetze jede Kreuzung im Graphen durch eine
Kopie vom Graph H, wobei seine Ausgänge u,u die
nächstliegenden neuen Punkte auf der einen an der
Kreuzung beteiligten Linie ersetzen und v,v die
nächstliegenden neuen Punkte auf der anderen an
der Kreuzung beteiligten Linie.
4. Für jedes x,y ?A wähle einen Endpunkt als
besonderen Endpunkt und verschmelze ihn mit dem
nächstliegenden neuen Punkt auf der x,y-Linie.
Die Kante zwischen dem anderen Endpunkt und
seinem nächstliegenden neuen Punkt auf der
x,y-Linie wird operante Kante der x,y-Linie
genannt.
y
x
14
2. 3C P3C

• Angenommen, G ist 3-färbbar und fN-gt1,2,3
  ist gültige 3-Färbung
• Dann f beschränkt auf N N ist gültige
  3-Färbung von G
• Beweis durch Widerspruch falls nicht, dann würde
  ein x,y ?A existieren, so dass f(x)f(y).
• Betrachte x,y-Linie in G o.B.d.A x ist
  besonderer Endpunkt für diese Linie. Nach
  Eigenschaft 2.2 haben alle neuen Punkte auf der
  Linie die gleiche Farbe wie x. Also müssen beide
  Endpunkte der operanten Kante die gleiche Farbe
  haben. Widerspruch!

15
2. 3C P3C

• Umgekehrt, fN-gt1,2,3 ist gültige 3-Färbung für
  G Erweiterung zu 3-Färbung für G wie folgt
• Für jedes x,y ?A färbe jeden neuen Punkt auf
  der x,y-Linie mit Farbe f(x) (xbesonderer
  Endpunkt) -gt alle operanten Kanten sind gültig
  gefärbt
• Nach Eigenschaft 2.2 kann diese 3-Färbung auf die
  inneren Knoten der Kreuzungen erweitert werden -gt
  gültige 3-Färbung für G

Also ist G dann und nur dann 3-färbbar, wenn G
3-färbbar ist. v
16
3. P3C P3C4

• Idee Verwenden von Knoten-Substituten HK, die
  Knoten mit Gradgt4 ersetzen.
• Ziel Konstruktion eines planaren Graphen G aus
  G, der höchstens Knotengrad 4 hat, und der
  3-färbbar genau dann ist, wenn G 3-färbbar ist.

2
3
4
2
5
1
3
1
H3
H5
17
3. P3C P3C4

• Eigenschaften von HK
• 3.1 HK hat 7(k-2)1 Knoten, inklusive der
  Ausgänge (Outlets)
• 3.2 Kein Knoten von HK hat den Gradgt4
• 3.3 HK ist planar
• 3.4 HK ist 3-färbbar, aber nicht 2-färbbar, und
  jede gültige 3-Färbung von HK weist jedem
  Ausgangsknoten die gleiche Farbe zu

18
3. P3C P3C4

• Konstruktion von G
• Fixiere planare Einbettung von G und benenne
  willkürlich die r Knoten mit Gradgt4 als
  v1,v2,...,vr
• Konstruiere Folge von Graphen G0,...,Gr wie
  folgt
• Gi entsteht aus Gi-1
• Sei d der Grad von vi in Gi-1 und
  u1,vi,...,ur,vi die zu vi gehörigen Kanten im
  Uhrzeigersinn Erstelle Gi durch Ersetzen von vi
  mit Hd und ersetze jede Kante uj,vi durch eine
  Kante, die uj mit dem Ausgangsknoten j des
  Knotensubstituts verbindet.

19
3. P3C P3C4

• Es folgt aus den Eigenschaften von HK und der
  Konstruktion des Graphen G
• GK ist planar für 0?k?r
• GK hat r-k Knoten mit Gradgt4
• GK ist 3-färbbar genau dann, wenn G 3-färbbar ist

G erfüllt alle Voraussetzungen -gt v
20

• Danke!