C

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CÁLCULO VISUAL

• Teorema de Mamikon

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Como todos los grandes descubrimientos, se basa
en una idea simple

• Los cuatro problemas clásicos que a continuación
  se presentan así como también muchos más del
  cálculo se pueden también solucionar por un nuevo
  método que confíe en la intuición geométrica y
  sea entendido fácilmente por los estudiantes muy
  jóvenes.
• Por otra parte, el nuevo método también soluciona
  algunos problemas que al parecer no tienen
  solución por cálculo y permite muchas
  generalizaciones.

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Encuentre el área de un segmento parabólico .

• El cuadro 1 demuestra un segmento parabólico, la
  región sombreada debajo del gráfico de la
  parábola y x2 y sobre el intervalo a
  partir de la 0 al x.  

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Area de la región debajo de una curva exponencial

• En la gráfica se muestra la función exponencial.

• Deseamos el área de la región sombreada debajo
  del gráfico a cualquier punto x.

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Area de la región debajo de un arco de una
cicloide.

• Una cicloide es la trayectoria remontada hacia
  fuera por un punto fijo en el límite de un disco
  circular que ruede a lo largo de una línea
  horizontal, y deseamos el área de la región
  sombreada. Este problema se puede también hacer
  por cálculo pero es más difícil que los primeros
  dos. Primero, tienes que encontrar una ecuación
  para la cicloide, que no es exactamente trivial.
  Entonces usted tiene que integrar esto para
  conseguir el área requerida.

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Cicloide
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Area de la región bajo tractriz.

• Cuando un niño arrastra un juguete a lo largo del
  piso con una secuencia de la longitud constante,
  el juguete remonta fuera de una tractriz mientras
  que el niño camina a lo largo del eje de x toda
  la manera al infinito. Deseamos encontrar el área
  de la región entre el tractriz y el eje de x.
  Para solucionar esto por el método normal del
  cálculo, tenemos que encontrar la ecuación de la
  tractriz.
• Una vez que tenga la ecuación del tractriz tiene
  que integrarlo para conseguir el área. Puede ser
  hecha, pero el cálculo está exigiendo dificultad.

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TRACTRIZ
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Trayectoria de la bicicleta

• El problema que demuestra la trayectoria
  remontada hacia fuera por la rueda delantera de
  una bicicleta en el movimiento. La rueda
  posterior remonta fuera de otra curva, y el
  problema es encontrar el área de la región entre
  estas dos curvas pues la bicicleta se mueve desde
  una posición inicial a una posición final.
• Para hacer esto con cálculo usted necesitaría las
  ecuaciones para las curvas.
• Con Mamikon no necesitamos ecuación alguna!

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(No Transcript)
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Aplicaciones del teorema de Mamikon
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Teorema de Mamikon para los anillos ovales
El círculo interno tiene radio r su área es ?r2,
y si el círculo externo tiene su área del radio R
es ?R2 Así que el área del anillo es igual al
?(R2 - r2).

• Encuentre el área del anillo anular.

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• Pero los dos radios y la tangente forman un
  triángulo recto con los catetos r y a/2 y la
  hipotenusa R. Y por el teorema de Pitágoras,
  sabemos que cada anillo tiene área ?a2/4.

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• Tome la mitad del acorde y piense en ella como
  vector de la tangente de la longitud a/2 al
  círculo interno. Moviendo este vector de la
  tangente alrededor del círculo interno, vemos que
  barre fuera del anillo anular entre los dos
  círculos.
• Ahora, traduzca cada vector de la tangente
  paralelo a sí mismo así que el punto de la
  tangencia se trae a un punto común. Mientras que
  el vector de la tangente se mueve alrededor del
  círculo interno, el vector traducido rota una vez
  alrededor de este punto común y remonta fuera de
  un disco circular del radio a/2.

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Los vectores de la tangente barren tan fuera de
un disco circular, como si todos fueron centrados
en el mismo punto, este disco tiene la misma área
que el anillo.
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• Mamikon realizó que este acercamiento dinámico
  también trabajaría si el círculo interno es
  substituido por una curva oval arbitraria.
  Mientras que el segmento de la tangente de la
  longitud constante se mueve una vez alrededor de
  cada elipse, barre fuera de una forma anular más
  general que llamamos un anillo oval.

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• Podemos traducir otra vez cada segmento de la
  tangente paralelo a sí mismo así que el punto de
  la tangencia se trae a un punto común. Mientras
  que la tangente se mueve alrededor del óvalo, los
  segmentos traducidos remontan fuera de un disco
  circular que radio sea esa longitud constante.
  Así pues, el área del anillo oval debe ser el
  área del disco circular.

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• El teorema de pitagoras no puede ayudarle a
  encontrar las áreas para estos anillos ovales. Si
  el óvalo interno es una elipse usted puede
  calcular las áreas por el cálculo integral
• pero si usted hace este cálculo usted encuentra
  todos estos anillos ovales para tener áreas
  iguales dependiendo solamente de la longitud del
  segmento de la tangente!

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• Mientras que el segmento de la tangente se mueve
  a lo largo de un borde, no cambia la dirección
  así que no barre fuera de cualquier área.
  Mientras que se mueve alrededor de una cima a
  partir de un borde al siguiente, barre fuera de
  parte de un sector circular. Y como circunda el
  triángulo entero que barre fuera de tres sectores
  circulares que, juntos, llenen hacia fuera un
  disco circular , según lo demostrado en el
  cuadro.
• Igual es verdad para cualquier polígono convexo.

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• El área de la región barrida hacia fuera por un
  segmento de la tangente de la longitud dada que
  se mueve alrededor de cualquier polígono convexo
  es igual al área de un disco circular que radio
  sea esa longitud. Por lo tanto igual es verdad
  para cualquier curva convexa que sea un límite de
  polígonos convexos.

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• TEOREMA DE MAMIKON PARA LOS ANILLOS OVALES
• Todos los anillos ovales barridos hacia fuera por
  un segmento de recta de la longitud dada con una
  tangente de punto final a una curva lisa cerrada
  plana tienen áreas iguales, sin tener en cuenta
  el tamaño o la forma de la curva interior.
  Además, el área depende sólo de la longitud L de
  la tangente segmentan y es igual a ¼ L2, el área
  de un disco de radio L, como si el segmento de
  tangente fue hecho girar sobre su punto final.

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• El área del anillo oval es también igual a ¼ L2,
  donde L es la longitud constante de los segmentos
  de tangente.
• Por áreas igualadoras encontramos R2 r2 L2,
• de cual conseguimos
• R2 r2 L2,
• el Teorema de Pitágoras (para el triángulo
  rectángulo R r L).

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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La Bicicleta

• El área de un barrido de tangente es igual al
  área de su racimo de tangente, sin tener en
  cuenta la forma de la curva original
• El área del barrido de tangente es igual al área
  de un sector circular que depende sólo de la
  longitud de la bicicleta y el cambio del ángulo
  de su posición inicial a su posición final
• La forma del camino de la moto no importa!

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El Tractriz y los anillos ovales son casos
particulares de la trayectoria de la bicicleta
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• La única diferencia es que los segmentos de
  tangente a la curva inferior no tienen que tener
  la longitud constante.
• El barrido de segmentos de tangente hacia fuera
  una región son llamados el barrido de tangente
• El racimo de tangente es la región obtenida
  traduciendo cada tangente segmentan la paralela a
  sí de modo que cada punto de la tangencia sea
  movido a un punto común.

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• El teorema de Mamikon, por ahora, es que el área
  del racimo de tangente es igual al área del
  barrido de tangente.

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• La forma del barrido de tangente depende de como
  las longitudes y las direcciones de la tangente
  segmentan el cambio a lo largo de la curva.
  Cuando cada segmento de tangente es traducido
  paralela a sí así el punto de tangencia es traído
  a un punto común, llaman el juego de segmentos
  traducidos el racimo de tangente esto miente
  sobre una superficie cónica con el vértice en
  este punto común.

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El teorema general de Mamikon compara el área del
barrido de tangente con el de su racimo de
tangente
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CURVAS EXPONENCIALES
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CURVAS EXPONENCIALES

• Geométricamente, significa que la cuesta de la
  línea de tangente en cada punto de una curva
  exponencial es proporcional a la altura de la
  curva en aquel punto. Las curvas exponenciales
  pueden ser también descritas por sus
  subtangentes.
• La cuesta de la tangente es la altura dividida en
  la longitud de la subtangente. De este modo, la
  cuesta es proporcional a la altura si y sólo si
  la subtangente es constante

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CURVAS EXPONENCIALES

• Explotando el hecho que las curvas exponenciales
  tienen subtangentes constantes, podemos usar el
  teorema de Mamikon para encontrar el área de la
  región bajo una curva exponencial sin usar el
  integral.

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• El racimo de tangente correspondiente es obtenido
  traduciendo cada segmento de tangente a la
  derecha entonces el punto final sobre el eje x es
  traído a un punto común, en este caso, el vértice
  inferior del triángulo rectángulo de base b y
  altitud ex/b. El racimo de tangente que resulta
  es el triángulo de base b y altitud ex/b.
• Por lo tanto el área de esta región es igual al
  área de este triángulo rectángulo, entonces el
  área de la región entre la curva exponencial y el
  intervalo (ƒ, x es igual a dos veces el área de
  este triángulo rectángulo.

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(No Transcript)
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SEGMENTO PARABOLICO
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AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO

• Arquímedes hizo el descubrimiento que el área es
  exactamente un tercero esto del rectángulo
• Ahora usaremos el teorema de Mamikon para obtener
  el mismo resultado por un método que no es sólo
  mas sencillo que el original tratamiento de
  Arquímedes, sino que es también más poderoso
  porque puede ser generalizado a poderes de número
  entero más altos, y a poderes arbitrarios también.

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• La parábola tiene la ecuación y x2, pero no
  necesitaremos esta fórmula en nuestro análisis.
  Usamos sólo el hecho que la línea de tangente
  encima de cualquier punto x corta una subtangente
  de longitud x/2. La cuesta de la tangente es x2
  dividido en x/2, o 2x.
• El área del segmento parabólico es formado
  bisecando cada segmento horizontal. Las dos
  parábolas dividen el rectángulo en tres regiones,
  y nuestra estrategia es mostrar que tres regiones
  tienen el área igual. Si hacemos este, entonces
  cada uno tiene el área un tercero que del
  rectángulo que circunscribe, como requerido.

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(No Transcript)
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Las dos regiones sombreadas formada por la
parábola de bisegmentación obviamente tienen
áreas iguales Los dos triángulos rectángulos en
esta figura tienen el área igual (ellos tienen la
misma altitud e igualan bases). Por lo tanto el
problema reduce a la exposición que las dos
regiones sombreadas en este diagrama tienen áreas
iguales. Aquí está donde usamos el teorema de
Mamikon.
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• La parte sombreada bajo la parábola y x2 es el
  barrido de tangente obtenido dibujando todas las
  líneas de tangente a la parábola y cortándolos en
  el eje x. Y la otra parte sombreada es su racimo
  de tangente, con cada segmento de tangente
  traducido entonces su punto de la intersección
  con el eje x es traído a un punto común, el
  origen.
•  En un punto típico (t, t2) sobre la parábola
  inferior, la tangente cruza el eje x en t/2.
• Por lo tanto, si el segmento de tangente (de
  t/2, 0) (a t, t2) es traducido dejado por la
  cantidad t/2, el segmento traducido une el origen
  y el punto (t/2, t2) sobre la curva y (2x) 2.

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• Entonces por el teorema de Mamikon las dos
  regiones sombreadas tienen áreas iguales, como
  requerido, y así hemos mostrado que el área de
  segmento parabólico es exactamente un tercero que
  del rectángulo que circunscribe, el mismo
  resultado obtenido por Arquímedes.

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AREA DE UN SEGMENTO PARABOLICO

• La figura muestra los gráficos de
• y x3 , y (3x)3, que dividen el
  rectángulo del área x4 en tres regiones
• Mostraremos que el área de la región encima del
  cúbico es igual a esto debajo del original
  cúbico, el que significa que cada región tiene el
  área un cuarto que del rectángulo que
  circunscribe

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• Para hacer esto usamos el hecho que la
  subtangente al cúbico es un tercero la longitud
  de la base. Una región sombreada en la Figura es
  el barrido de tangente del original cúbico, y el
  otro es el racimo de tangente correspondiente,
  entonces ellos tienen áreas iguales.
• Los dos triángulos rectángulos son congruentes,
  entonces ellos tienen áreas iguales. Por lo tanto
  la región encima del cúbico tiene la misma área
  que el segmento cúbico debajo de la curva y
  x3, y cada uno es un cuarto que del rectángulo,
  o x4/4.

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• En el caso cuadrico usamos las dos curvas
• y x4 y y (4x)4 para dividir el
  rectángulo del área x5 en tres regiones. Usando
  el hecho que la subtangente al cuadrico en x
  tiene la longitud x/4, podemos usar el mismo
  argumento para mostrar que el área de la región
  entre dos cuadricos es tres veces que de cada uno
  de los otros dos pedazos, entonces los cuadricos
  segmentan debajo de y x4 tiene el área un
  quinto que del rectángulo, o x5/5.
• El argumento también se extiende a todos los
  poderes más altos, una propiedad no compartida
  por el tratamiento de Arquímedes del segmento
  parabólico. Para la curva y xn usamos el hecho
  la subtangente en x tiene la longitud x/n

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CICLOIDE
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CICLOIDE

• La curva remontada hacia fuera por un punto sobre
  el perímetro de un disco circular que rueda sin
  resbalar a lo largo de una línea horizontal.
• Un problema clásico es mostrar que el área de la
  región entre un arco del cIcloide y la línea
  horizontal es tres veces el área del disco
  rodante.

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• El método de cálculo estándar de solucionar este
  problema es determinar primero ecuaciones
  paramétricas para el cicloide, luego calcular el
  área por la integración.
• El mismo resultado puede ser obtenido del teorema
  de Mamikon sin la necesidad de integrales.
• La figura muestra un arco cicloidal inscrito
  dentro de un rectángulo cuya altitud es el
  diámetro d del disco rodante y cuya base es la
  circunferencia del disco, ¼ d. El área del
  rectángulo que circunscribe es ¼ D2, que es
  cuatro veces el área del disco. Entonces esto
  basta para mostrar que la región sin sombra
  encima del arco y dentro del rectángulo tiene el
  área igual a esto del disco.

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• Para hacer este mostramos que la región sin
  sombra es el barrido de tangente del cicloide, y
  el racimo de tangente correspondiente es un disco
  circular del diámetro d.
• Por el teorema de Mamikon, este disco tiene la
  misma área que el barrido de tangente. Como el
  área del disco es un cuarto el área del
  rectángulo, el área de la región debajo del arco
  debe ser de tres cuartos que del rectángulo, o
  tres veces que del disco rodante.
• Cuando el disco rueda a lo largo de la base esto
  es siempre la tangente a los límites superiores e
  inferiores del rectángulo que circunscribe.

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El diámetro el PPo divide el círculo rodante en
dos semicírculos, y cualquier triángulo inscrito
en estos semicírculos debe ser un triángulo
rectángulo. El disco experimenta la rotación
instantánea sobre P0, entonces la tangente al
cicloide en cualquier punto X es perpendicular al
radio instantáneo de la rotación y por lo tanto
debe ser el vértice de un triángulo rectángulo
inscrito en el semicírculo con el diámetro PPo.
Por consiguiente La cuerda XP del disco rodante
es siempre la tangente al cicloide. Amplíe el
límite superior del rectángulo que circunscribe
más allá del arco y elija un punto fijo O sobre
este límite ampliado. Traduzca cada paralela de
cuerda a sí así señale P es movido
horizontalmente al punto fijo O. Entonces el otro
extremo X mueve a un punto Y tal que segmento el
OY es igual en longitud y paralela a PX. Por lo
tanto el racimo de tangente es un disco circular
del mismo diámetro que el disco rodante, y el
teorema de Mamikon nos dice que su área es igual
a la del disco
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Conclusion

• Los métodos también se aplican al descubrimiento
  de volúmenes de figuras tridimensionales y
  sólidos de revolución.
• Newton y Leibniz son generalmente considerados
  como los descubridores de integral. Mamikon
  relaciona segmentos de tangente móviles con las
  áreas de las regiones barridas hacia fuera por
  estos segmentos de tangente, es decir unifica los
  conocimientos adquiridos en antaño.
• Y algunas de las figuras siguientes han sido
  tratadas con éxito por este método elipse,
  hipérbola, catenaria, logaritmo, cardioide,
  uni-cicloide, hi-cicloide, espirales, Bernoulli
  lemniscata, seno y coseno, etc.

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FIN