Nincs diac

1
A Halmazelmélet elemei
Készítette Dr. Ábrahám István
2
A halmaz elnevezést a mindennapi életben is
gyakran használják.
A halmaz szó gyakran a sokaság, összesség,
csoport szavakat helyettesíti.
A matematikában a halmaz alapfogalom, nem
definiálható.
A fogalmak definiálásának korlátai lehetnek.
Gondoljunk a következo példára Adjuk meg a ponty
meghatározását. Kezdjük a ponty olyan hal,
amely (és ekkor soroljuk a speciális
jellemzoket.) A hal olyan állat, amely(a vízben
él, és soroljuk a speciális jellemzoket.) Az
állat olyan élolény, amely Az élolény az anyag
olyan formája, amely Az anyag fogalmát már nem
tudjuk így meg- adni, azt alapfogalomnak
tekintjük.
A halmaz megadása
Egy halmaz akkor adott, ha bármely dologról
egyértelmuen el tudjuk dönteni, hogy a halmazhoz
tartozik-e, azaz eleme-e a halmaznak.
Így a halmaz megadásához a halmazhoz tartozás
szabályát kell megadnunk, amit többféleképp
tehetünk meg.
Ismertek például a különbözo számhalmazok
megadási módjai
A természetes számok N (naturális számok) halmaza
megadható felsorolással N 0, 1, 2, 3, 4, .
De megadatjuk így is N nem negatív egész
számok.
3
Emlékeztetoül a számhalmazok
Az egész számok halmaza Z?2, 1, 0, 1, 2,
3,?.
A racionális számok két egész szám hányadosaként,
illetve szakaszos tizedes- törtként írhatók fel
Q?x?xp/q, és pq?Z, q?0?, így Q?0,1/2,
1,1/3,?.
(Kiolvasása a Q halmaz azokból az x számokból
áll, amelyek felírhatók két egész
szám hányadosaként, és a törtben a nevezo nem
lehet nulla.)
Az irracionális számok I?a nem szakaszos
végtelen tizedestörtek?.
A valós számok halmazát használjuk
leggyakrabban R?a racionális és az irracionális
számok együtt? .
R
Z
I
N
Q
Az R tartalmazza Q-t, Q a Z-t, a Z pedig N-et.
A halmazhoz tartozás szokásos jelölése például
az, hogy az 5 természetes szám 5?N, (5 eleme N).
A nem eleme jelölése a negatív számok, például
a 2 esetén 2?N.
Megjegyzés A természetes számokat gyakran
sorszám értelemben használjuk, ilyenkor a
jelölés N1, 2, 3, 4,.
4
Relációk halmazok között
A reláció kapcsolatot, viszonyt jelent.
1. Két halmaz egyenlo, ha elemeik azonosak.
2. Részhalmaz reláció egyik halmaz ( H1 ) része
egy másiknak ( H2 ), ha a H1 minden eleme a
H2 höz is tartozik. Jelölése H1 ? H2 .
Példa
az A tanuló jegyei 3, 3, 3, 4, 4. B tanulóé 3,
4, 4, 4, 4. 4. A C-é3, 4, 5.
Az A jegyeinek halmaza A?3, 4 ?.
(A halmaz mindig különbözo elemeket tartalmaz, a
sokaságban lehetnek azonosak.)
A B jegyeinek halmaza B?3, 4 ?. A C jegyei
halmazt alkotnak C ?3, 4, 5 ?.
Ezekre a halmazokra igaz AB, A ? C és B ? C.
Elnevezés az A halmaz valódi része B-nek, ha A ?
B, de A?B.
Ha A és B között egyenloség is lehet, akkor a
jelölés A ? B.
Példa az említett számhalmazokra igaz N ? Z ? Q
? R, illetve I ? R.
Egy valós szám vagy racionális, vagy
irracionális, tehát Q ? I.
5
Alapmuveletek halmazok között
A halmazmuvelet tulajdonképpen halmazokhoz halmaz
hozzárendelése, az elemeik közötti kapcsolatok
megadásával.
A.) Binér muveletek
(Binérkét halmazhoz rendelünk egy harmadikat.)
1. Egyesítés ( únió )
Adott az A és a B halmaz. Egyesítésük, a C halmaz
mindazokat az elemeket tartalmazza, amelyek vagy
az Ahoz, vagy a Bhez, vagy mindkettohöz
tartoznak.
Jelölése A ? B C, vagy AB C.
Például
ha A ?3, 5, 7, 9 ?, B ?1, 2, 3, 4, 5 ?,
akkor C AB ?1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 ?.
2. Közös rész (metszet)
Az adott A és B halmazokhoz azt a C halmazt
rendeljük, amelynek elemei Ahoz is és Bhez is
tartoznak.
Jelölése A ? B C, vagy A?B C.
Például
ha A ?3, 5, 7, 9 ?, B ?1, 2, 3, 4, 5 ?,
akkor C AB ?3, 5 ?.
A halmazmuveletekben a és jel mást jelent,
mint a számtan-ban! Ezt a két muveleti jelet
egyszerusítésként használhatjuk az ? és a ?
jelek helyett.
6
Megjegyzések
1. Az alapmuveletek jól szemléltethetok az ú.n.
Venn diagramokkal. A két halmaz- nak egy-egy
körlapot feleltetünk meg. Az únió AB (zöld),
a metszet AB (piros).

A

A
B
B
2. Elofordul, hogy a két halmaznak nincs közös
eleme. Elnevezés ez esetben a halmazok idegenek,
diszjunktak.
Bevezetjük az üres halmaz fogalmát (jelölése ?)
olyan halmaz, amelynek nincs egy eleme sem. Ha A
és B diszjunkt A?B ?.
B.) Unáris muvelet
Unáris egy halmazhoz egy másikat rendelünk.
Definició ha A ? B, akkor az A kiegészítésén,
más szóval komplementerén értjük a B halmaz
összes, Ahoz nem tartozó elemét.
Komplementer képzésnél azt a B halmazt, amire a
kiegészítés történik, általában alaphalmaznak
nevezzük és Hval jelöljük.
Venn diagrammal
Az A halmaz komplementere
H
Az A halmaz komplementere H halmaz An kívüli
része.
A
Jelölése
7
Adott H halmaztesten az A komplementerének
komplementere maga az A, azaz
A.
Igaz Ø illetve H.
További muveletek
1. Kivonás
Definíció adott A és B halmaz, az AB jelenti
az A halmaz Bn kívüli elemeit.
Venn diagrammal ábrázolva
A
A-B
B
Ha az A és B halmaz ugyanannak a H
(alap)halmaznak része, akkor a halma- zok
különbségét visszavezethetjük alapmuveletekre A
B A?
Ugyanis az AB különbség az Anak a H
alaphalmazon a Bn kívüli elemekkel közös része.
Érdekesség a halmazok közötti kivonás nem az
összeadás (egyesítés, únióképzés) ellentett
muvelete, hiszen általában nem igaz, hogy (AB)B
egyenlo lenne Aval.
2. A halmazok Descartesféle szorzata
Definíció két halmaz, az A és B elemeibol
rendezett párokat képezünk. Az így
kapott elempárok halmazát az A és B Descartes
szorzatának nevezzük. Jelölése AxBC.
Például
Legyen A?a, b, c ? és B?3, 5 ?. A Descartes
szorzatuk
C AxB ?(a,3), (a,5), (b,3), (b,5), (c,3),
(c,5)?.
8
Az alapmuveletek azonosságai
Idempotens tulajdonság (önmagával azonos), más
néven a tautológia szabálya
1. AAA 2. A?AA
Kommutatívitás (felcserélhetoség)
3. ABBA 4. A?BB?A
Asszociatívitás (átzárójelezhetoség)
5. A(BC)(AB)CABC
6. A (B?C)(A?B)?C A?B?C
Az asszociatívitás több, mint átzárójelezés. A
szabály szerint a két halmazra értelmezett muvelet
eket három (négy, öt, n) halmazzal is
elvégezhetjük.
Disztributívitás (szétosztás)
7. A?(BC) A?BA?C 8. A(B?C) (AB)?(AC)
Komplementerre vonatkozó azonosságok
9. AA H (H az alaphalmaz, halmaztest) . A?A
Ø (a Ø az üres halmaz).
A speciális halmazokra vonatkozó azonosságok
11. AH H 12. A?Ø Ø 13. AØ A 14.
A?H A
A 14 alapazonosságot célszeru (fontos!) egyszer s
mindenkorra megjegyezni!
9
Az azonosságok igazolása nem bonyolult, csak a
muveletek jelentésére kell gondolnunk.
A Matematikai logika keretében az alapazonosságok
igazolását részletezzük.
Szabályosságot vehetünk észre az alapazonosságok
között a páros sorszámú (2., 4., 14.)
azonosságok hasonlóak a páratlan sorszámú
azonosságokhoz.
Ez a dualitás elvébol következik minden
azonosság érvényben marad, ha a binér
muve- leteket (a és a ? ) az egyenloség mindkét
oldalán felcseréljük és egyúttal megcseréljük a
speciális halmazokat is (az üres halmazt az
alaphalmazra és viszont).
Például
A?(BC)A?BA?C és a duálja A(B?C)(AB)?(AC),

vagy AHH és a duális alak A???.
További muveleti azonosságok
Az alapazonosságokból képezhetünk olyan
összefüggéseket, amelyekkel egysze- rusíthetjük,
gyorsíthatjuk a munkánkat a feladatmegoldások
során.
1.Beolvasztási (elnyelési, azaz abszorpciós)
azonosság
A(AB)A és a duálja AABA.
A szabályt az alapazonosságokkal igazolhatjuk
AAB(14.azonosság)AHAB(7.az.)A(HB)(11.az.)
AH(14. az.)A.
2. De Morgan azonosság
és a duál alak
További kész azonosságot a halmazelméletben
ritkán használunk.
10
Példa
hozzuk egyszerubb alakra a K (AB) AB (BA)
kifejezést!
A megoldáshoz a kivonást alapmuvelettel
helyettesítjük ABA és BAB
A fenti példánkat úgy is fogalmazhattuk volna
Bizonyítsuk be a következo állítást

(AB)AB(BA)AB.
A halmazok számossága
Véges sok elemet tartalmazó halmaznál egyszeru a
dolog a halmaz számosságát megkapjuk, ha
összeszámláljuk az elemeket.
A végtelen sok elemet tartalmazó halmazoknál
definiálunk egy alapesetet a természetes számok
halmazának számosságát megszámlálhatóan
végtelennek nevezzük.
Más, nem véges sok elemet tartalmazó halmaz
számosságát igyekszünk viszonyítani ehhez. Az
összehasonlítást párbaállítással végezhetjük el.
A párosítás-nak kölcsönösen egyértelmu módon
kell történnie és ha ez lehetséges, akkor a két
halmazt ekvivalensnek nevezzük.
Példa
A páros számok halmaza ekvivalens a természetes
számok halmazával.
Lehetséges ugyanis a kölcsönösen egyértelmu
hozzárendelés
Ha mindegyik természetes számhoz egyértelmuen
hozzá tudjuk rendelni egy másik halmaz elemeit,
akkor az illeto halmazt is megszámlálhatóan
végtelennek, vagy röviden megszámlálhatónak
mondjuk.
Páros számok 0 2 4 6 8 10..
? ? ? ? ? ? Term.
számok 1 2 3 4 5 6
A fejezet tárgyalását befejeztük.