ELG3575

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ELG3575

• 10. La modulation FM à large bande

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La modulation de fréquence à large bande
( Wideband FM  - WBFM)

• La modulation FM à bande étroite exige que bF ltlt
  1.
• Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce
  nest pas vrai sont considérés dêtre la
  modulation à large bande.
• Cependant, typiquement bF gt 1
• Pour la modulation FM à large bande, la largeur
  de bande du signal modulé est plus large que la
  modulation des signaux FM à bande étroite parce
  que Dfmax est plus grande.
• Alors, le spectre dun signal FM à large bande
  est non zéro sur une plus grande gamme de
  fréquences.

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Signal WBFM pour m(t) Amcos2pfmt et son
enveloppe complexe.

• Prenons lexemple où m(t) Amcos2pfmt.
• Le signal FM est 

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La série de Fourier de lenveloppe complexe du
signal WBFM pour m(t) Amcos2pfmt.

• Lenveloppe complexe du signal FM dans ce cas est
  un signal périodique avec fréquence fondamentale
  fm.

où
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La série de Fourier de lenveloppe complexe du
signal WBFM pour m(t) Amcos2pfmt.

• En remplaçant 2pfmt par x, devient
• La fonction de Bessel du premier genre dordre n,
  Jn(b) est donnée par 
• Alors

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La série de Fourier de lenveloppe complexe du
signal WBFM pour m(t) Amcos2pfmt.

• Alors lenveloppe complexe peut être exprimé par
• Et le signal FM est

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Le spectre du signal WBFM quand m(t) Amcos2pfmt.

• Le spectre de ce signal est 
• Cette expression démontre que le spectre du
  signal FM consiste dun nombre infini
  dimpulsions aux fréquences f fcnfm.
• Alors la largeur de bande théorique dun signal
  FM est infinie.
• Cependant, des propriétés de la fonction de
  Bessel du premier genre, la plupart des
  impulsions de lexpression ci-dessus ne
  contribuent pas beaucoup à la puissance du signal
  FM.
• Nous définissons la largeur de bande pratique
  dun signal dêtre la largeur de bande qui au
  moins 99 de la puissance totale du signal.

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La fonction Jn(b)
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Les propriétés de Jn(b)
1)

• Si n est un entier 
• Jn(b) J-n(b) pour n paire
• et
• Jn(b) -J-n(b) pour n impaire
• Quand b ltlt 1
• J0(b) 1
• J1(b) b/2
• et
• Jn(b) 0, n gt 1

4) ImJn(b)0
2)
3)
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Puissance du signal FM

• La puissance dun signal FM est 
• Si on trouve la puissance à partir de
  lexpression ci-dessus, on trouve

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Filtrage dun signal FM pour limiter sa largeur
de bande.
Nous voulons choisir B pour que la puissance de
x(t) soit au moins 0.99 la puissance de sFM(t).
où X est la plus grande valeur de n qui
satisfait les relations 
et
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• La puissance de x(t) est 
• Alors, on doit choisir X pour que 
• On sait que Jn2(bF) J-n2(bF). Alors

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Valeurs de la fonction Jn(b).
n b0.1 b0.2 b0.5 b1 b2 b3 b5 b10
0 0.997 0.99 0.938 0.765 0.224 -0.2601 -0.178 -0.246
1 0.05 0.1 0.242 0.44 0.577 0.3391 -0.323 0.043
2 0.001 0.005 0.031 0.115 0.353 0.4861 0.047 0.255
3 210-50 1.610-4 0.0026 0.02 0.129 0.3091 0.365 0.058
4 0.002 0.034 0.1320 0.391 -0.220
5 0.007 0.0430 0.261 -0.234
6 0.001 0.0114 0.131 -0.014
7 0.0025 0.053 0.217
8 0.018 0.318
9 0.006 0.292
10 0.001 0.207
11 0.123
12 0.063
13 0.029
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Exemple

• Le signal m(t) Amcos(2pfmt) va être transmis en
  utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur
  de bande pratique pour
• (a) Am 5V, fm 20 Hz et kf 4 Hz/V
• (b) Am 10V, fm 400 Hz et kf 200 Hz/V.
• SOLUTION
• (a) Dans cette exemple, bF (5)(4)/(20) 1.
  On doit trouver X
• pour que S
  . Du tableau, si X 1, S
• (0.765220.442)0.9648. Si X 2, S
  0.964820.1152 0.9912. Alors X 2 et B
  4fm.
• (b) Ici, bF (10)(200)/(400) 5. Il faut que
  X 6, pour que S 0.994. Alors B 12fm.

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La règle de Carson

• Pour m(t) Amcos(2pfmt), si nous évaluons la
  largeur de bande pour chaque b où b est un
  entier, on trouve que X b1.
• Alors, on estime la largeur de bande pratique du
  signal FM B 2(bF1)fm.
• Pour nimporte quel signal m(t) avec valeur
  maximum Am et largeur de bande Bm, la largeur de
  bande du signal modulé est difficile à trouver.
• Mais le pire cas, cest quand cest quand le
  spectre du signal m(t) est concentré autour de la
  fréquence f Bm (comme une onde sinusoïdale).
• Alors, la largeur de bande dun signal FM, BFM,
  qui transmet le signal m(t) est estimée par la
  loi de Carson qui dit 

()