1
Økonometri 1

• Heteroskedasticitet
• 23. oktober 2006

2
Oversigt Heteroskedasticitet (Wooldridge kap. 8)

• OLS estimation under heteroskedasticitet
• Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS
• Hvordan kan man udføre gyldige test på grundlag
  af OLS-estimation, selvom der er
  heteroskedasticitet?
• Korrektion af variansen af OLS estimatoren
• Generelle hypotesetest under heteroskedasticitet
• Test for heteroskedasticitet
• Grafisk test
• Formelle test Breusch-Pagan test, White test
• Bedre (mere efficiente) estimatorer end OLS, når
  der er heteroskedasticitet Vægtning af
  observationerne
• Weighted Least Squares (WLS)
• Feasible Generalized Least Squares (FGLS)

3
Heteroskedasticitet

• I kapitel 2 og 3 blev antagelsen om
  homoskedasticitet introduceret Samme varians på
  fejlleddet for alle i
• Antagelsen kan være meget restriktiv i praksis.
  Derfor vil vi se på tilfælde med
  heteroskedasticitet
• MLR.5 er antagelsen om homoskedasticitet
• Alternativ Modellen lider af heteroskedasticitet
  af ukendt form
• Vi tillader altså, at fejlleddet til hver enhed
  (individ, firma, land) har sin egen varians
  (meget generel form)
• Homoskedasticitet kan ses som det
  specialtilfælde, hvor

4
Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS

• Se på simpel lineær regressionsmodel
• Antagelserne MLR.1- MLR.4 sikrer at OLS middelret
  og konsistent Vedrører ikke variansen på
  fejlleddet.
• Under MLR.1-5 er OLS efficient og dens varians er
  givet ved det simple udtryk fra kapitel 2.

5
Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS

• Udregn variansen af OLS estimatoren, når MLR.1-
  MLR.4 er opfyldt, men MLR.5 ikke holder.
• Variansen af OLS estimatoren er i det generelle
  tilfælde givet ved
• Leddene i tælleren gives forskellig vægte,
  afhængig af
• SST led forkorter ikke ud som det er tilfældet
  under homoskedasticitet

6
Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS

• Hvis MLR.5 ikke er opfyldt, siger vi at
  fejlleddene er heteroskedastiske
• OLS estimatorens egenskaber ved
  heteroskedasticitet
• OLS stadig middelret og konsistent (givet
  MLR.1-4)
• - Variansen af OLS estimaterne estimeres ikke
  middelret eller konsistent af de sædvanlige
  OLS-udtryk
• - Konfidensintervallet er ikke rigtigt
  konstrueret
• - t og F-test er ikke nødvendigvis t og
  F-fordelt, LM test er ikke nødvendigvis
  fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige)
• OLS er ikke længere den bedste lineære
  middelrette estimator (BLUE) Der findes andre
  lineære middelrette estimatorer med mindre
  varians
• OLS er ikke længere asymptotisk efficient

7
Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.?

• Heteroskedasticitet i fejlleddet betyder, at test
  der er baseret på OLS estimation kun er gyldige,
  hvis man korrigerer standardfejlene for
  heteroskedasticitet.
• Til det formål er der udviklet såkaldt
  heteroskedasticitets-konsistente eller -robuste
  test.
• Antag Modellen lider af heteroskedasticitet af
  ukendt form
• Ideen er at opnå en estimator for variansen af
  OLS estimatoren, som er konsistent selvom om der
  er heteroskedasticitet i fejlleddet.

8
Korrektion af variansen i en simpel lineær
regressionsmodel

• White (1980) har vist, at under svage betingelser
  vil en konsistent estimator af OLS variansen være
  givet ved
• Heteroskedasticitets-robust varians og heterosk.
  robuste standardfejl (Whites standard errors,
  HCSE).
• Beregnes fx i Proc Reg med optionen ACOV i SAS.

9
Korrektion af variansen i en multipel lineær
regressionsmodel Forelæsningsnoten

10
Test i modeller med heteroskedasticitetEnkelt
restriktion

• Heteroskedasticitets-robust t-test af hypotesen
• t-teststørrelse
• hvor HCSE er heterosk. robust standardfejl på
• t-teststørrelsen er asymptotisk standard
  normalfordelt
• For små datasæt er t-teststørrelserne ikke
  nødvendigvis tæt på en t-fordeling
• Brug af ACOV optionen i SAS giver robust
  kovariansmatrix. HCSE beregnes som kvadratroden
  af diagonalelementer

11
Test i modeller med heteroskedasticitet Flere
restriktioner

• Hypotese
• hvor er en (k1)x1 vektor af parametre, R er
  en q x(k1) matrix og r er en q x1 vektor
• Heterosk. robust F-test kan beregnes ud fra
  robust kovariansmatrix
• Heterosk. robust Wald test Wald-teststørrelsen
• Det er dette test som udføres ved brug af TEST
  efter Proc Reg med ACOV optionen i SAS

12
Eksempel Model for efterspørgsel efter
cigaretter (Ex. 8.7, SAS program på hjemmesiden)

OLS estimater. Afhængig variabel cigs. OLS estimater. Afhængig variabel cigs. OLS estimater. Afhængig variabel cigs. OLS estimater. Afhængig variabel cigs.
Est. Std.err Robust std. Err
Const -3.640 24.079 25.505
Lincome 0.880 0.728 0.593
Lprice -0.751 5.773 6.009
Educ -0.502 0.167 0.162
Age -0.771 0.160 0.138
Age2 -0.0090 0.0017 0.0015
Rest -2.825 1.112 1.004
13
Eksempel Hypoteseprøvning

• Hypotese Ingen indkomsteffekt
• Alm. t-teststørrelse
• Robust t-teststørrelse
• Robust Wald test (TEST efter ACOV)
• Hypotese Ingen alderseffekt
• Robust Wald test (TEST efter ACOV)

14
Heteroskedasticitets-robust LM test

• Model
• Hypotese Ingen alderseffekt
• Trin 1 Estimer restrikterede model med OLS
• og gem residualerne
• Trin 2 Estimer flg. hjælperegressioner med OLS
• og gem residualerne

15
Heteroskedasticitets-robust LM test

• Trin 3 Dan et nyt sæt af variabler
• Trin 4 Estimer flg. hjælperegression med OLS
  (uden konstantled)
• LM-teststørrelsen er givet ved n-SSR fra
  ovenstående regression
• LM testet er asymptotisk fordelt som
  med q2
• Eksemplet n807, SSR764.70
• LM807-764.7042.30

16
Hvornår forekommer heteroskedaticitet i praksis?

• Data består af størrelsesmæssigt meget heterogene
  enheder Virksomheder, lande, skoler
• Data består af gennemsnit over forskellige antal
  observationer
• Per capita værdier for forskellige lande
• Gennemsnit for forskellige kommuner eller skoler
• Forkert funktionel form
• Hvis variansen på fejlleddet vokser med den
  afhængige variabel kan problemet nogen gange
  løses ved at lave en transformation med
  logaritmen
• Lineær sandsynlighedsmodel
• Heteroskedasticitet knytter sig til den enkelte
  model og det enkelte datasæt

17
Hvordan tester man for heteroskedasticitet?

• Antag følgende model
• hvor antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt
• Hypotese
• Alternativ formulering af hypotesen
• Hvis hypotesen er forkert er
  en funktion af xerne Heteroskedasticitet
• Bemærk Systematikken er i variansen på
  fejlleddet, ikke i middelværdien (givet at MLR.4
  holder).

18
Test for heteroskedasticitet

• Grafiske test
• Estimer modellen med OLS og gem residualerne
• Plot residualerne (eller de kvadrerede
  residualer) mod
• Forskellige forklarende variable Kandidater er
  skalavariabler, fx omsætning (virksomheder),
  indkomst (individer/husholdninger)
• Den forudsagte værdi af den afhængige variabel
• Se efter systematiske mønstre i spredningen af
  residualerne
• Variansen vokser i den variabel, der plottes
  imod Trompet
• Variansen aftager i den variabel, der plottes
  imod Omvendt trompet
• Varsom med at overfortolke, når der er forskel i
  datatæthed.

19
Test for heteroskedasticitet Breusch-Pagan

• Hvis man antager en simpel lineær relation
• svarer nulhypotesen om homoskedasticitet til
• Denne hypotese kan testes ved at erstatte de
  sande fejlled med OLS residualerne
• Testet udføres enten som et F-test eller et LM
  test
• For store datasæt vil F og LM test have de
  sædvanlige fordelinger selvom man har erstattet
  de sande fejlled med OLS residualerne

20
Test for heteroskedasticitet

• Regressionen () udføres og R2u for denne
  regression noteres
• F-teststørrelsen er givet ved
• Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt
  under nul- hypotesen (homoskedasticitet)
• LM teststørrelsen

21
Test for heteroskedasticitet

• Specialtilfælde af BP-testet
• Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af
  en bestemt variabel.
• Testet udføres ved at regressere de kvadrerede
  residualer på den pågældende variabel.
• Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for
  både F-testet (antal frihedsgrader 1,n-1-1) og
  LM testet ( )
• Alternativt test Whites test for
  heteroskedasticitet
• Betingelsen kan
  erstattes af svagere betingelse
• skal være ukorreleret med alle forklarende
  variable, de forklarende variable i anden og alle
  krydsprodukterne

22
Test for heteroskedasticitet Whites test

• Antag vi har en model med k3
• Hjælperegressionen for Whites test
• NB 9 forklarende variable
• Hypotese
• Teststørrelsen findes som et LM test

23
Test for heteroskedasticitet Whites test

• Forenklet Whites test Hjælperegression
• Hypotese
• Testet konstrueres som
• Fordelen ved dette test er at antallet af
  frihedsgrader er lavere
• Whites test har asymptotisk gyldighed og er
  altså bedst for store datasæt

24
Test for heteroskedasticitet

• Hjemmeopgave Udfør test for heteroskedasticitet
  for cigareteksemplet
• Grafiske test Er der tegn på at variansen
  afhænger fx af indkomst eller alder?
• BP, Whites test
• Husk alle disse test er udledt under forudsætning
  af, at antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt
• Hvis antagelse MLR.4 ikke er opfyldt kan man få
  at test for homoskedasticitet bliver afvist
  selvom antagelsen MLR.5 er opfyldt
• Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes
  mere generelle former for misspecifikation
  Kapitel 9

25
NBer

• Antagelserne MLR.1- MLR.4, som sikrer at OLS
  middelret og konsistent, vedrører ikke variansen
  på fejlleddet.
• Heteroskedasticitet betyder systematik i
  variansen på fejlleddet, ikke i middelværdien
  (givet at MLR.3 holder).
• Gyldige hypotesetest kan baseres på den robuste
  kovariansmatrix for OLS estimatoren, selvom der
  er heteroskedasticitet.

26
Næste gang

• Fredag den 27. oktober. NB lokale CSS 22.01.19
• Heteroskedasticitet Kapitel 8.3-8.5
• Estimatorer der tager højde for
  heteroskedasticitet
• Weighted Least Squares (WLS)
• Generalized Least Squares (GLS)
• Husk eksamenstilmelding!