L

1
Lógica

• Introdução
• (slides modificados de Joseluce Cunha)

2
Origem da Lógica

• Na Grécia Antiga, 342 a.C, em meio a embates
  filosóficos, Aristóteles sistematizou a Lógica
  com o intuito de verificar que argumentos eram
  válidos, elevando-a assim à categoria de ciência.
  
• Em sua obra chamada Organum (ferramenta para o
  correto pensar), estabeleceu princípios tão
  gerais e sólidos que até hoje são considerados
  válidos.

3
Origem

• Aristóteles se preocupava com as formas de
  raciocínio que, a partir de conhecimentos
  considerados verdadeiros, permitiam obter novos
  conhecimentos.
• A partir dos conhecimentos tidos como
  verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de
  leis gerais de encadeamentos de conceitos e
  juízos que levariam à descoberta de novas
  verdades. Essa forma de encadeamento é chamada,
  em Lógica, de argumento.

4
Argumento

• Um argumento é uma seqüência de proposições
  (declarações/afirmações) na qual uma delas é a
  conclusão e as demais são premissas.
• Uma proposição (ou declaração/afirmação) é uma
  sentença que pode ser verdadeira ou falsa
• O objeto de estudo da lógica é determinar se a
  conclusão de um argumento é ou não uma
  consequência lógica das premissas.

5
Validade de um Argumento

• Em um argumento válido, as premissas são
  consideradas provas evidentes da verdade da
  conclusão, caso contrário não é válido.
• Quando é válido, podemos dizer que a conclusão é
  uma consequência lógica das premissas, ou ainda
  que a conclusão é uma inferência decorrente das
  premissas.

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Validade de um Argumento

• Inferência é a relação que permite passar das
  premissas para a conclusão (um encadeamento
  lógico)
• A palavra inferência vem do latim, Inferre, e
  significa conduzir para

7
Validade de um Argumento

• Exemplo 1 O argumento que segue é válido?
• Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
• Eu ganhei na Loteria.
• Logo, sou rico.

?É Válido (a conclusão é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
8
Validade de um Argumento

• Exemplo 2 O argumento que segue é válido?
• Se eu ganhar na Loteria, serei rico
• Eu não ganhei na Loteria
• Logo, não sou rico

? Não é Válido (a conclusão não é uma
decorrência lógica das duas premissas.)
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Validade de um Argumento

• A lógica se preocupa com o relacionamento entre
  as premissas e a conclusão, com a estrutura e a
  forma do raciocínio. A verdade do conteúdo de
  cada premissa e da conclusão é estudo das demais
  ciências.
• A validade do argumento está diretamente ligada à
  forma pela qual ele se apresenta (Lógica Formal
  estuda a forma dos argumentos).

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Dedução e Indução

• Algumas das ferramentas que podem ser utilizadas
  pelo pensamento na busca de novos conhecimentos
  são a dedução e a indução, que dão origem a dois
  tipos de argumentos Dedutivos e Indutivos.

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Argumentos Dedutivos

• Pretendem que suas premissas forneçam uma prova
  conclusiva da veracidade da conclusão e podem
  ser
• Válidos quando suas premissas, se verdadeiras,
  fornecem provas convincentes para a conclusão.
  Isto é, se as premissas forem verdadeiras, é
  impossível que a conclusão seja falsa
• Inválidos não se verifica a característica
  anterior.

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Argumentos Dedutivos

• Exemplos de argumentos dedutivos
• Os dois exemplos anteriores (um válido e outro
  inválido)
• Outro exemplo
• Todo homem é mortal.
• Sócrates é um homem.
• Logo, Sócrates é mortal.
• (Argumento Válido)

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Argumentos Indutivos

• Não pretendem que suas premissas forneçam provas
  cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que
  forneçam indicações dessa veracidade.
  (possibilidade, probabilidade)
• Seguem do Raciocínio Indutivo, isto é, obtém
  conclusões baseada em observações/experiências.
  Enquanto que um Raciocínio Dedutivo exigi uma
  prova formal sobre a validade do argumento.
• Os termos válidos e inválidos não se aplicam, são
  avaliados de acordo com a maior ou a menor
  probabilidade com que suas conclusões sejam
  estabelecidas.

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Argumentos Indutivos

• Exemplo
• Joguei uma pedra no lago, e ela afundou
  Joguei outra
  pedra no lago e ela também afundou
  Joguei mais uma
  pedra no lago, e também esta afundou
  Logo,
  se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai
  afundar.

(Argumento Indutivo)
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Argumentos Indutivos

• A Lógica Formal só estuda Argumentos Dedutivos,
  verificando se são ou não válidos.

16
Validade e Verdade

• Verdade e Falsidade são propriedades das
  proposições, nunca dos argumentos
• Validade ou Invalidade são proprie-dades dos
  argumentos dedutivos que dizem respeito a
  inferência ser ou não válida (raciocínio ser ou
  não correto)

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Validade e Verdade

• Exemplo 1
• Toda baleia é um mamífero (V) Todo mamífero
  tem pulmões (V) Logo, toda baleia tem pulmões (V)

? Argumento válido e a conclusão verdadeira.
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Validade e Verdade

• Exemplo 2
• Toda aranha tem seis pernas (F) Todo ser
  de seis pernas tem asas (F) Logo, toda aranha
  tem asas (F)

? Argumento válido e a conclusão falsa
19
Validade e Verdade

• Os conceitos de argumento válido ou inválido são
  independentes da verdade ou falsidade de suas
  premissas e conclusão.
• Qualquer combinação de valores verdade entre as
  premissas e a conclusão é possível, exceto que
  nenhum argumento dedutivo válido tenha as
  premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
• Um argumento dedutivo no qual todas as premissas
  são verdadeiras é dito Argumento Correto,
  evidentemente sua conclusão também é verdadeira.

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Avaliação de um Argumento

• Principal propósito de um argumento
• Demonstrar que uma conclusão é provável ou
  verdadeira.
• Como avaliar que um argumento atinge ou não esse
  propósito? (Se ele é válido?)

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Avaliação de um Argumento

• Critérios usados para avaliar um argumento
• Se todas as premissas são verdadeiras
• Se, dada a verdade das premissas, a conclusão é
  ao menos provável
• Se as premissas são relevantes para a conclusão

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Validade e Probabilidade Indutiva.Argumentos
Dedutivo e Argumentos Indutivos

• Os argumentos podem ser classificados em duas
  categorias
• Argumento dedutivo
• Argumento cuja conclusão deve ser verdadeira se
  suas premissas básicas forem verdadeiras.
• Em outras palavras - um argumento é dedutivo
  quando se as premissas forem verdadeiras é
  impossível a conclusão ser falsa.
• Argumento indutivo (ou dedutivo inválido)
• Argumento cuja conclusão não é necessária, dadas
  suas premissas básicas.

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Validade e Probabilidade Indutiva.Argumentos
Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exemplos
Dedutivo ( Arg. Válido)

• 1) . Todo homem é mortal
• . Sócrates é um homem
• ? Sócrates é mortal

2) . Freqüentemente quando chove fica nublado .
Está chovendo ? Está nublado
Indutivo (Arg. Inválido)
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Validade e Probabilidade Indutiva.Argumentos
Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exercícios

• 1)
• . Não há registros de seres humanos com mais
  de 5 metros de altura.
• ? Nunca tivemos um ser humano com mais de 5
  metros de altura.
• 2)
• . Alguns porcos tem asas
• . Todas as coisas aladas gorjeiam
• ? Alguns porcos gorjeiam

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Validade e Probabilidade Indutiva.Argumentos
Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exercícios

• 3)
• . Se houver uma guerra nuclear, a civilização
  será destruída.
• . Haverá uma guerra nuclear
• ? A civilização será destruída por uma guerra
  nuclear.
• 4)
• . O cloreto de potássio é, quimicamente, muito
  similar ao sal de cozinha (cloreto de sódio).
• ? O Cloreto de potássio tem sabor igual ao do sal
  de cozinha.

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Argumento Dedutivo eArgumento Indutivo
Exercícios

• Avalie os seguinte argumentos com relação aos
  critérios 1 e 2
• 1)
• . Todos tem um e um só pai biológico.
• . Os irmãos tem o mesmo pai biológico.
• . Ninguém é pai biológico de si mesmo.
• ?Não há pai biológico que seja também seu irmão.

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Argumento Dedutivo eArgumento Indutivo
Exercícios

• 2)
• . Os visitantes da china quase nunca contraem
  malária no país.
• . José está visitando a China.
• ?José não contrairá malária na China.
• 3)
• . Eu sonho com monstros.
• . Meu irmão sonha também com monstros.
• ? Todas as pessoas sonham com monstros.

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Argumento Complexo Exercícios

• 3) "Todos os argumentos são ou indutivos ou
  dedutivos. O que você está lendo agora é um
  argumento. Este argumento não é indutivo. Este
  argumento é dedutivo.
• 4) "Não existe o maior número primo. Mas de todos
  os números primos sempre podemos imaginar que
  certamente existe um maior. Logo, existem números
  primos maiores do que qualquer um que possamos
  imaginar."

29
ArgumentosQual o tipo de argumento que
estudaremos?

• A Lógica Formal estuda o argumento dedutivo no
  sentido tradicional
• O objetivo da Lógica Formal é mostrar a validade
  de certas formas de argumento (estruturas).
• O estudo das formas de argumento facilita a
  verificação da validade dos argumentos.
• Na Lógica formal estudaremos formas básicas do
  raciocínio lógico de um ponto de vista sintático
  (manipulação de símbolos) e em seguida os
  princípios semânticos que justificam estas formas
  de raciocínio.

30
Lógica Proposicional
31
Lógica Proposicional

• Até agora estudamos a Lógica de maneira informal.
  
• A Lógica formal é o estudo de formas de
  argumento, isto é, regras de raciocínio comum em
  vários argumentos.

32
Formas de Argumento Exemplos
1. . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira. .
Hoje não é segunda-feira. ? Hoje é
sexta-feira.
2. . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou
Michelângelo a pintou. . Não foi
Rembrandt quem a pintou. ? Michelângelo
pintou a Mona Lisa.
3. . Ele é menor de 18 anos ou é um
irresponsável. . Ele não é menor de 18
anos. ? Ele é um irresponsável.
33
Formas de Argumento

• Os 3 argumentos são da seguinte forma
• . P ou Q
• . Não é o caso que é P
• ? Q

• As letras P e Q representam sentenças
  declarativas (símbolos sentenciais).
• P pode representar Hoje é segunda-feira.
• Q pode representar Hoje é sexta-feira.

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Formas de Argumento

• A lógica trata de formas de argumentos que
  consistem de letras sentenciais combinadas com as
  expressões
• Não é o caso que negação
• E conjunção
• Ou disjunção
• Se ... Então implicação ou condicional
• Se e somente se bi-implicação,
  equivalência ou bicondicional
• Essas expressões são chamadas de operadores ou
  conectivos lógicos.

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Formas de Argumento Conectivo Não é o caso que

• Essa expressão prefixa uma sentença para formar
  uma nova sentença, a negação da primeira.
• Exemplo Não é o caso que ele é fumante
• é a negação da sentença
• Ele é fumante'.
• Variações gramaticais dessa negação
• Ele é não-fumante,
• Ele não é fumante
• Ele não fuma.

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Formas de Argumento Conectivo E

• Uma composição constituindo-se de duas sentenças
  ligadas por 'e' chama-se conjunção.
• Exemplo Chove e faz calor
• Obs em linguagem natural, e às vezes sugere
  sequencia temporal
• Ele ganhou na loto e enriqueceu.
• A conjunção também pode ser expressa por palavras
  como 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo',
  além do mais, no entanto, apesar disso...
• Chove mas faz calor

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Formas de Argumento Conectivo Ou

• Um enunciado composto consistindo de duas
  sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção.
• Exemplo Chove ou faz calor

38
Formas de Argumento Conectivo Se ... então

• Enunciados do tipo se... então ... chamam-se
  condicionais ou implicações .
• O enunciado subseqüente ao 'se' chama-se o
  antecedente e o subseqüente ao 'então' chama-se o
  conseqüente.
• Forma do condicional
• Se antecedente então conseqüente
• Ex Se sinto frio então visto o casaco

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Formas de Argumento Conectivo Se ... então

• Uma implicação também pode ser expressa na ordem
  inversa.
• Visto o casaco se sentir frio
• mantém a semântica de
• Se sentir frio, visto o casaco
• Se sentir frio então visto o casaco

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Formas de Argumento Conectivo Se ... então

• Variações gramaticais da implicação
• Se P então Q
• P implica em Q P, logo Q
• P só se Q P somente se Q
• P apenas se Q P só quando Q
• Q se P Q segue de P

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Formas de Argumento Conectivo Se e somente se

• Os enunciados formados com a expressão ...se e
  somente se... são chamados bicondicionais ou
  equivalências .
• Exemplo
• T é um triângulo se e somente se T é um polígono
  de três lados

42
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se

• Um bicondicional pode ser considerado uma
  conjunção de dois condicionais
• 1. P se e somente se Q
• 2. P se Q e P somente se Q
• 3. Se Q então P e P somente se Q
• 4. Se Q então P e Se P então Q
• que equivale a
• 5. Se P então Q e Se Q então P

43
Formas de Argumento Formalização

• Para facilitar o reconhecimento e comparação de
  formas de argumento, cada operador lógico é
  representado por um símbolo
• Não é o caso que ou
• E ou
• Ou v
• Se ... então ?
• Se e somente se ?

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Formalização Linguagem da Lógica Proposicional

• Alfabeto
• Símbolos de pontuação (,)
• Símbolos de verdade true, false
• Símbolos proposicionais P, Q, R, S, P1, Q1, P2,
  Q2...
• Conectivos proposicionais ?,v,, ? , ?

45
Linguagem da Lógica Proposicional (cont.)

• Fórmula
• Todo símbolo de verdade ou proposicional é uma
  fórmula da Lógica Proposicional
• Se H é fórmula então (?H) também é
• Se H e G são fórmulas, então (HvG), (HG), (H?G)
  e (H?G) também são

46
Exercícios

• 1) Quais das expressões seguintes são fórmulas e
  quais não são
• a) ? ? ? R
• b) (? R)
• c) PQ
• d) ?(P?Q)
• e) ?(?P ?Q)

47
Linguagem da Lógica Proposicional (cont.)

• Ordem de precedência
• ?
• ?, ?
• ,v
• Subfórmula Se H é fórmula
• H é uma subfórmula
• Se H(?G), então G é subfórmula de H
• Se H é do tipo (EvG), (EG), (E?G) ou (E?G),
  então E e G são subfórmulas de H
• Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de
  G também é subfórmula de H

48
Formas de Argumento Formalização

• Exemplo de formalização Simbolize o argumento
  que segue e o represente na Forma Padrão.
• A proposta de auxílio está no correio. Se os
  árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
  analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se
  a proposta estiver no correio, eles a receberão
  até sexta-feira. (C, S, A)

49
Solução

• A proposta de auxílio está no correio. Se os
  árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
  analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se
  a proposta estiver no correio, eles a receberão
  até sexta-feira.
• C A proposta de auxílio está no correio.
• S Os árbitros recebem a proposta até
  Sexta-feira.
• A Os árbitros analisarão a proposta.
• . C
• . S?A
• . C?S C, S?A, C?S -- A
• ? A

50
Formas de Argumento Composição de conectivos

• Nem ... Nem ...
• Nem José nem Maria estavam em casa
• J José estava em casa
• M Maria estava em casa
• (J v M)

51
Formas de Argumento Composição de conectivos
(cont.)

• A menos que...
• José irá à festa, a menos que Maria vá.
• J José irá à festa
• M Maria irá à festa
• ?J ? M

52
Formas de Argumento Formalização

• A linguagem consistindo das letras sentenciais e
  dos operadores lógicos juntamente com as regras a
  serem empregadas, chama-se a Lógica Proposicional
  ou Cálculo Proposicional.
• A palavra Cálculo é empregada no sentido de
  avaliação ou raciocínio e não no sentido de
  diferenciação ou integração
• O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é provar
  a validade de certas formas de argumento.