The Physics of Star Trek

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B-III Loi de Laplace
B-III.1 Charges en mouvement dans un champ
magnétique
Considérons une charge électrique q en mouvement
à la vitesse dans un champ dinduction
magnétique . Cette charge est soumise à la
force dite force de Lorentz La force de Lorentz
est perpendiculaire à la vitesse, donc elle ne
travaille pas. Il en résulte que lénergie
cinétique se conserve sous le seul effet de cette
force. Donc le module de la vitesse se conserve
également, ce qui veut nullement dire que le
vecteur vitesse soit constant.
2
(No Transcript)
3
Orientation de la force donnée par le produit
vectoriel Exemple N1 Mouvement dans un champ
magnétique uniforme Pour une charge q gt 0 (pour
fixer les dessins) de vitesse la force de
Lorentz dans un champ choisi sur Posons
rayon position complexe projetée
dans le plan xy. Léquation du mouvement
devient Soit aussi Mouvement suivant donc
suivant Vitesse constante et
mouvement de translation uniforme Mouvement dans
le plan xy En notations complexes
4
A t 0 nous avons r xo et il vient
Calculons léquation de la trajectoire dans le
plan xy à partir du module de Soit
équation dun
cercle de centre et de
rayon Le module de la vitesse projetée dans le
plan xy est constant
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Exemple N2 Effet Hall Voici un exemple
important utilisé pour le mesure du champ
magnétique. Un conducteur métallique de type
parallélépipède rectangle est soumis dans la
direction de sa faible dimension (y) à un champ
magnétique uniforme
Sur les électrons mobiles associés au courant
injecté dans le sens de la longueur (x), la force
de Lorentz donne un déplacement suivant z et pour
les sites lacunaires positifs un déplacement
opposé. Il apparaît un champ électrique croissant
en z qui crée une force opposée à
celle de Lorentz. Le champ électrique en z croît
jusquà légalité en module des deux forces, les
charges se déplaçant alors en ligne droite. La
différence de potentiel dans la direction z de
dimension d est la tension Hall donnée par Le
champ électrique est donné par légalité des
forces soit Le courant est
relié à la vitesse par la relation de la densité
de courant soit La
tension Hall sécrit Elle permet des mesures de
, de même que la détermination de la
densité de porteurs n.
n densité de porteurs
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Exemple N3 Ceinture de Van Allen
7
Exemple N3 Ceinture de Van Allen
8
Exemple N3 Ceinture de Van Allen
9
(No Transcript)
10
B-III.2 La force de Laplace
Si la charge q appartient à une famille de
charges en mouvement dans un conducteur, charges
contribuant à lexistence dun courant I, il est
possible de relier la force de Lorentz à la force
quun champ magnétique crée sur un élément de
courant. Soit n la densité de charges
participant au courant électrique, animées dune
vitesse moyenne . Pendant le temps dt, la
quantité de charges dq qui passe une section du
fil est soumise à la force totale Si on écrit
il vient
Le résultat précédent constitue la loi de Laplace
qui donne la force exercée par un champ
magnétique sur un élément de courant
(pris dans un circuit fermé qui nest pas
représenté à ce stade de la présentation)
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• Propriétés de la force de Laplace
• Direction normale aux deux vecteurs courant et
  champ
• Sens donné par lorientation du produit vectoriel
  qui la définit (toute les méthodes dorientation
  de la force sont bonnes si justes)
• Lintensité de la force est proportionnelle à
  lintensité du courant et à la valeur du champ
• Lintensité de la force est donnée par le module
  du produit vectoriel dont on rappelle
  lexpression

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B-IV Loi des actions électrodynamiques dAmpère
B-IV.1 Définition
Après avoir constaté lexistence des charges
électriques, nous avons mis linteraction entre
ces charges en tête du cours délectrostatique,
la fameuse loi de Coulomb. Se pose maintenant le
problème de linteraction entre les courants que
nous allons développer grâce aux éléments de
courant. Remarque Nous avons vu dans le cours de
S1 consacré aux Concepts de la Physique quil
nexistait quune seule Interaction Fondamentale
Électromagnétique la force de Coulomb. La loi de
force que nous allons introduire en
Magnétostatique nest pas une force
supplémentaire mais une émanation de la force de
Coulomb lorsque lespace-temps est
relativisé. La loi des actions électrodynamiques
dAmpère exprime la force dun circuit filiforme
C1 parcouru par un courant I1 sur un autre
circuit filiforme C2 parcouru par un courant I2.
Circuit filiforme 1
C1
I1
Circuit filiforme 2
C2
I2
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• Considérons, pris dans ces deux circuits, deux
  éléments de
• courant de C1 au point M1 et
  de C2 au point M2.
• Le vecteur qui les joint est
• Par définition la force que lélément de courant
  exerce sur
• lélément de courant est donnée par
• Cette force élémentaire est mathématiquement plus
  compliquée que la force de Coulomb
• Cette force élémentaire na pas de réalité
  physique. En effet la troisième loi de Newton
  (vue au Lycée), loi de laction égale à la
  réaction, stipule que la force que lélément de
  courant
• exerce sur lélément de courant est
  donnée par lopposée
• de la précédente, soit
• Or il est facile de montrer quil nen est pas
  ainsi.

Circuit filiforme 1
C1
I1
M1
C2
I2
Circuit filiforme 2
M2
Avec
et il faudrait avoir Par
exemple pour le deuxième membre
est nul, ce qui nimplique pas la nullité du
premier.
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• Bien que la force élémentaire ne soit pas
  physique elle reste valable tant quelle ne
  prétend pas représenter une réalité physique. La
  seule réalité physique ici est la force entre les
  deux circuits dans leur entier. Nous ny sommes
  pas encore.
• Calculons la force que lensemble du circuit C1
  parcouru par I1
• crée sur lélément de C2 .
• Arrivé à ce stade on reconnaît
• Dune part le champ magnétique créé par la spire
  (C1, I1) au point M2
• La force de Laplace que ce champ magnétique crée
  sur lélément du circuit C2

Circuit filiforme 1
C1
I1
M1
C2
I2
Circuit filiforme 2
M2
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Une deuxième sommation nous donne la force que
lensemble du circuit C1 crée sur le circuit C2
. Soit aussi avec lexpression du champ
magnétique
Cest sous cette forme que la force répond aux
exigences des principes physiques et en
particulier à la troisième loi de Newton. Il faut
que Bien que lexpression de la force ne
semble pas donner aux deux circuits des rôles
symétriques, cette expression satisfait au
principe de Newton.
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• Propriétés de la force entre deux circuits
• Cest une loi déduite de résultats expérimentaux
  (Ampère), loi de base de la Magnétostatique
• Lintensité de la force varie globalement comme
  linverse du carré des distances
• Lintensité de la force est directement
  proportionnelle à chacun des courants des
  circuits
• Son orientation dépendant de la géométrie
  globale, celle des deux spires comme de leur
  relative disposition, elle nest pas directement
  observable dans un cas quelconque.
• Elle satisfait la troisième loi de Newton.
• Montrons cette dernière propriété.
• Considérons la relation entre trois vecteurs
  quelconques
• Appliquée dans lexpression de la force elle
  donne
• Considérons le premier terme écrit sous la forme
• Dans cette expression lintégrale
  porte sur la fonction continue
  intégrée sur un
• contour fermé ce qui donne un résultat nul

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La force entre les deux circuits se trouve
maintenant écrite sous la forme antisymétrique
par échange des deux circuits
B-IV.2 La force de Lorentz-Laplace est-elle une
nouvelle force
Ce qui suit na pas prétention à démonstration
rigoureuse, mais cherche simplement à montrer que
la seule force de Coulomb, moyennant quelques
aménagements, fait apparaître une composante
supplémentaire en tous points conforme à la force
de Lorentz. Un calcul rigoureux devrait se faire
dans le cadre de la Relativité Restreinte. Soit
deux particules chargées, identiques, q gt 0 pour
fixer la figure, se déplaçant à la même vitesse
sur des trajets parallèles espacés de d. A
linstant t 0 elles sont en A et B. Si on
suppose, et cest là une hypothèse non contenue
dans la loi de Coulomb, que linteraction
électrique ne se propage pas à une vitesse
infinie mais à la vitesse de la lumière c,
laction issue de la charge A sur la charge B ne
sera ressentie quen position B, à une distance
r et non d.
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Le temps de parcourt entre A et B pour laction
est le même que le temps de parcourt entre B et
B pour la charge qui va subir laction. La
force de Coulomb modifiée peut sécrire en
module, force répulsive Nous reconnaissons,
dans le premier terme, la force de Coulomb
classique où les interactions sont supposées
instantanées ayant parcouru une distance d Le
deuxième terme peut prendre avec la relation
la forme
Nous savons que la quantité est assimilable
à un élément de courant Le terme
nest autre que le champ magnétique
créé en B par la charge A en
mouvement avec le sens donné par la figure.
Apparaît alors une force
dont le module correspond bien au deuxième terme
de la force de Coulomb modifiée et dont le sens
est tel quil donne bien le signe négatif, deux
courants de même sens sattirent, alors que deux
charges de même signe se repoussent.
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B-IV.3 Force entre deux fils parallèles
Définition de lAmpère
A la distance d le fil (a) très long parcouru par
un courant ia crée à la distance d un champ
magnétique perpendiculaire au fil (b) de
module Soit une force sur la longueur L du fil
(b) La force par unité de longueur est
Soit la définition de lAmpère qui a prévalu
pendant de très nombreuses années  Lampère
est le courant qui traverse deux fils parallèles
très longs situés à 1m lun de lautre et qui
exercent entre eux une force de 2.10-7 N par
mètre  Si les courants sont dans le même sens la
force est attractive, répulsive dans le cas
inverse.
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B-V Circuit dans un champ magnétique
B-V.1 Retour sur la loi de force
Nous avons à notre disposition une loi de force
entre les circuits, loi des actions
électrodynamiques dAmpère, que nous navons pas
beaucoup exploitée jusquà maintenant. La
difficulté mathématique quelle porte justifiant
cela. Soit un champ magnétique créé en tout
point M par un ensemble de sources non précisé,
si ce nest que ces sources ont des propriétés
indépendantes du circuit C , courant et position
. La force que cet ensemble de sources crée sur
le circuit C parcouru par le courant I est une
résultante de la sommation de la loi de
Laplace Au même titre que la loi de force de
Coulomb peut être mise en évidence
expérimentalement par la balance de Coulomb, la
balance de Cotton permet de mesurer (entre autres
dispositifs) la force quun champ magnétique
provoque sur un circuit parcouru par un courant.
Balance de Cotton
21
B-V.2 Énergie potentielle magnétique dun circuit
dans un champ créé par des sources extérieures
Pour que le circuit C parcouru par un courant I
soit à léquilibre il faut lui appliquer une
autre force due à un observateur
mécanique extérieur avec Afin destimer
lénergie potentielle du circuit (C , I),
calculons le travail de lobservateur qui est
condamné à déplacer le circuit depuis un endroit
très éloigné (nous pouvons dire linfini), là où
les sources exercent une force jugée négligeable,
jusquà un endroit où les actions en question
sont appréciables. Effectuons dabord un
déplacement infinitésimal du circuit
Sur lélément du circuit (C , I)
sexercent les forces avec un travail pour le
déplacement expression qui peut prendre
la forme
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La quantité représente le
vecteur surface élémentaire dont la norme est la
surface infinitésimale balayée par lélément
du circuit C lors du déplacement .
Ainsi Si on introduit le flux élémentaire
coupé par lors du déplacement , il
vient Si on considère le travail de lobservateur
pour le déplacement infinitésimal de lensemble
du circuit C
, expression dans laquelle est le
flux coupé par tout le circuit C .
Considérons maintenant le déplacement du circuit
depuis une zone éloignée des sources de .
Lors de ce déplacement le circuit coupe un
certain flux et
C
C
I
Si on considère la surface fermée constituée des
deux surfaces sappuyant sur C à ? et en position
finale Sf et par la surface latérale balayée, le
flux à linfini étant nul il reste que
23
Sur cette surface fermée la normale extérieure
pour la surface finale Sf est inverse à celle
de lorientation conventionnelle. On en déduit
que La quantité étant le flux à travers
la surface S du circuit dans sa position finale
avec la normale correctement orientée. Lénergie
potentielle du circuit (C , I) dans le champ
des sources extérieures est donnée par le travail
de lobservateur, donc
En notations simplifiées A condition que lon
sache de quoi lon parle
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B-V.3 Actions sur un circuit dans un champ créé
par des sources extérieures

• Lexpression de lénergie potentielle du circuit
  dans le champ magnétique créé par un ensemble de
  sources nous permet de calculer les éléments
  daction de ces sources sur le circuit.
• Force quun ensemble de sources de champ
  magnétique crée sur un circuit
• étant connu en chaque point du circuit il
  est possible de calculer directement la force
  avec lexpression intégrée
• Lautre méthode consiste à prendre les variations
  de lénergie potentielle
• Moment des forces dans la rotation autour dun
  axe
• Soit par un calcul direct en prenant la somme des
  moments des forces élémentaires
• Soit en faisant une variation de lénergie
  potentielle

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Exemple dapplication du calcul des actions sur
un circuit Un cadre rectangulaire ABCD, parcouru
par un courant I est placé dans le champ
magnétique créé par un fil très grand, placé dans
le plan du cadre, parallèle à AB a et parcouru
par un courant I. Le repère géométrique est
celui de la figure avec
dans le plan du cadre qui est le plan de la
figure perpendiculaire. Le champ magnétique
créé par le fil à la distance X est Son flux
sur la bande de surface élémentaire de largeur dX
est
attention à lorientation de la surface du
circuit. Le flux total est donné par avec x gt 0
Lénergie potentielle prend la forme Le
calcul de la force à partir de cette expression
donne
I
a
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Calcul direct de la force Le côté AB du circuit
est placé dans linduction constante La force
sécrit directement On en déduit la
force Les deux forces sur BC et DA sannulent
par symétrie. Il reste pour la force
totale Expression conforme avec celle trouvée
par lénergie.
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Pour calculer le moment des forces de rotation du
cadre il faut le sortir du plan quil faisait
avec le fil. Soit donc un axe parallèle au
fil, passant au milieu de BC et DA autour duquel
le cadre peut tourner. Un dessin vu du dessus
nest pas inutile en complément du dessin en
perspective.
d
D
b
A
C,D
c
dc
a
r
I
I
d
A,B
C
Dans cette configuration le champ magnétique
varie en norme et en direction à la surface du
circuit. Suivant la figure
et
B
Nous avons les relations géométriques
et Il vient alors
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Il vient pour le calcul du flux lexpression
suivante obtenue en intégrant en c le long du
cadre Lénergie potentielle sécrit Le calcul
du moment des forces donne Il est possible de
retrouver cette expression par un calcul direct
du moment des forces (exercice à faire).
Tracé avec d 1 et b 1
W
29
Tracé avec d 1 et b 1.8
W
30
C
B-VI Dipôle Magnétique
Nous avons vu le dipôle électrique comme une
entité physique constituée de deux charges
électriques opposées q situées à une très courte
distance lune de lautre. Un dipôle
électrique est caractérisé par son moment
dipolaire Un dipôle magnétique est schématisé
par une petite boucle de courant C parcourue par
un courant i, caractérisée par un moment
magnétique On montre que lintégrale de surface
est indépendante de la surface qui sappuie sur
C. Considérons lidentité
Valable pour toute surface S sappuyant sur C .
Si maintenant nous prenons il est
facile de démontrer que Nous obtenons une
nouvelle expression du moment magnétique
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Potentiel magnétique vecteur Cherchons le
potentiel magnétique vecteur créé à grande
distance par une boucle de courant de petite
dimension, dans les conditions suivantes
Par définition Nous pouvons
écrire le développement Il vient pour le
potentiel magnétique vecteur La première
intégrale est nulle puisque sur un parcours
fermé Le potentiel magnétique vecteur peut alors
sécrire
Considérons lidentité
pour toute fonction dérivable f. Dans
notre cas nous avons
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Champ magnétique Nous y avons accès par la
relation
soit Le rotationnel se calcule au point M,
extrémité de , lieu qui ne concerne pas
. Utilisons lidentité générale

avec Soit

puisque Il
vient Énergie potentielle dun dipôle magnétique
dans un champ magnétique extérieur.
Nous connaissons lénergie potentielle magnétique
dun circuit parcouru par un courant i, placé
dans un champ magnétique extérieur qui
produit dans le circuit un flux ? Dans le cas
du dipôle magnétique, de très petite dimension
par rapport à léchelle de grandeur de variation
de , ce champ peut être considéré comme
pratiquement constant sur la surface du
dipôle Soit lénergie potentielle recherchée
M
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Action dun champ magnétique extérieur sur un
dipôle magnétique Expression de la force Comme
pour un circuit fermé quelconque, la force dans
un champ magnétique uniforme est nulle. Pour un
champ localement non uniforme
Transformons cette
expression avec Comme le moment magnétique
est un vecteur constant et que
en labsence de densité de courant locale
la force prend
une forme plus commode Moment des forces en un
point O
M
En transformant les produits vectoriels Pour
peu variable sur la petite spire du dipôle la
deuxième intégrale donne avec sortie de
quasiment constant Nous avons rencontré
lexpression dans le
calcul de
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B-VI Deux circuits filiformes en interaction
B-VI.1 Coefficients dinductance mutuelle
Cherchons à exprimer le flux que le circuit (C1,
I1) envoie dans le circuit C2. En un point M de
lespace le champ créé par (C1, I1) est Le flux
au travers dune surface S2 qui sappuie sur C2
est Soit en combinant les deux expressions Nous
voyons que le flux envoyé par le circuit (C1, I1)
dans le circuit C2 ne dépend électriquement que
du courant I1 les autres paramètres étant
géométriques. Nous pouvons écrire
le coefficient M12 étant linductance mutuelle
existant entre le circuit C1 et le circuit C2 .
Ce coefficient M12 a une forme compliquée Si on
cherche à calculer le flux que le circuit (C2,
I2) envoie dans le circuit au travers de la
surface S1 on trouve une expression équivalente
avec
W
35
Symétrie des coefficients dinductance mutuelle
(complément) Les formes trouvées pour les
coefficients M12 et M21 ne permettent pas de voir
directement que M12 M21 Procédons autrement
en utilisant le potentiel magnétique vecteur
jusquà présent peu mis en œuvre. La potentiel
magnétique vecteur créé par le circuit (C1,
I1) au point M est Le flux du champ magnétique
créé par (C1, I1) au travers de la surface S1
portée par C2 est Soit avec la relation de
définition Lintroduction de lexpression de
dans cette dernière expression donne Une forme
symétrique de M12 est déductible de cette
formule Linversion des indices ne souffrant
daucune difficulté. Hormis les difficultés
mathématiques du calcul des coefficients
dinductance mutuelle, la formule de Neumann
ci-dessus ne souffre pas de définition de
principe. Il nen va pas de même pour le calcul
direct de ce que lon appelle linductance propre
dun circuit, que ce dernier soit filiforme ou
pas. Il est malheureux de trouver dans de
nombreux ouvrages des définitions erronées qui,
voulant faire simple, masquent totalement la
réalité des difficultés posées à la mise en
équation de lauto-induction. Nous ne chercherons
pas à définir trop hâtivement le fameux
coefficient L dun circuit sachant que son calcul
na rien de trivial, bien que son usage soit très
répandu.
36
Exemple du fil et du cadre Nous avons trouvé que
le flux envoyé par le fil dans le cadre est
Soit un coefficient dinductance mutuelle Le
fil étant refermé à linfini, il est moins
évident den calculer le flux reçu par le cadre
pour prouver la symétrie des coefficients. Il est
toutefois possible de retrouver ce résultat
moyennant quelques calculs élémentaires mais
laborieux (voir le complément qui suit)
a
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Coefficient dinductance mutuelle entre cadre et
fil (complément) Le fil est considéré comme le
côté dun cadre rectangulaire se refermant à
linfini. Avant de passer à linfini, considérons
un grand cadre de côtés c et 2c placé dans le
même plan que le cadre ABCD (voir figure). Il est
possible de calculer le flux envoyé par le cadre
ABCB dans ce grand cadre. Il est facile de se
convaincre que le flux du champ créé par les deux
segments symétriques BC et DA est nul. Pour les
deux autres segments des intégrales classiques
donnent avec f(c)
Un passage à la limite c?? (excellent exercice
pour des étudiants de premier cycle) redonne le
coefficient dinductance mutuelle entre le fil et
le cadre.
Expression dans laquelle e a/2
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B-VII Circuit dans son propre champ
Létude dun circuit filiforme dans son propre
champ nest pas sans poser problème puisque dans
l approximation dun fil de section négligeable,
portant un courant fini, le champ créé au
voisinage du fil nest pas défini. Dautre part
si le circuit est de section non nulle, il sera
impossible de lui associer une surface définie
pour y en calculer le flux. Par exemple nous
savons que le champ à la distance r dun fil
rectiligne très grand parcouru par un courant I
est en norme quantité qui
diverge lorsque r tend vers 0. Il est donc
nécessaire de considérer des fils de section
finie lorsquil faut se rapprocher deux.
B-VII.1 Champ créé par un très grand fil de
section finie

• Pour r gt a lapplication du théorème dAmpère sur
  un cercle de rayon r, passant par M, et centré
  sur laxe du fil,
• donne directement
  soit
• Pour r lt a la même application du théorème
  dAmpère
• Donne
  soit
• La variation du champ en fonction de r est donnée
  sur la courbe suivante

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Ce calcul est important car il montre que le
champ ne diverge pas au voisinage du fil et tend
vers zéro au centre du fil.
40
Se pose alors le problème du calcul du flux
propre créé par un circuit, non filiforme. Comme
il nest pas possible de définir une surface S
qui sappuie sur ce circuit puisquil nest pas
réductible à une seule courbe, nous ne
chercherons pas à définir le flux propre à un
circuit donné. Nous reviendrons sur cette
question par une méthode énergétique pour définir
le coefficient dinductance propre L dun circuit.