Informatique quantique Ordinateurs quantiques

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Informatique quantiqueOrdinateurs quantiques

•  petite introduction 
• Physique-Chimie 1ère année
• amaury.habrard_at_univ-st-etienne.fr

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Puissance des ordinateurs

• Diminution de la taille des composants
  électroniques -gt augmentation de la puissance des
  ordinateurs
• Loi de Moore puissance des ordinateurs x2 tous
  les 18 mois
• Cette loi se heurte aux limites des composants
  nano-technologiques
• Lois de la physique quantique

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Ordinateurs actuels

• Stockage de l information basée sur
  l utilisation de bits (0 ou 1, )
• Modèles physiques (matériels) bien maîtrisés
  (tensions positives/négatives, bosses/creux
  (CDR), différence de tension,.)

81 02712602512402302202112
0 0 1 0 1
0 0 0 1
(01010001)
2
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Ordinateurs quantiques

• L élément de base est le q-bit (quantum-bit) qui
  peut exister dans 2 états distincts (principe du
  0 ou 1)
• Le q-bit peut aussi présenter une superposition
  cohérente de ces 2 états.
• Il peut être à la fois dans l état 0 et 1
• Il y a donc 3 états possibles pour un q-bit

1
0
1
0
5
Q-bit

• L ensemble des caractéristiques d une particule
  constituent son état
• Quand un système a plusieurs états possibles, la
  somme de ces états correspond à un état
  (superposition de plusieurs états à la fois)
• N existe pas dans notre univers classique
• Une mesure peut donner un état tiré au hasard
• Un q-bit peut être vu comme un nombre complexe
  (aib), ou comme une trajectoire dans un plan
  (yaxb)

0
1
6
Comparaison

• Un système classique de 3 bits peut se trouver
  dans une seule des 8 configurations possibles
  (000,001,010,011,100,101,110,111)
• Système quantique de 3 q-bits les 8
  possibilités sont mémorisées simultanément
• Avec N q-bits on travaille avec 2N nombres à la
  fois
• L ordinateur classique va faire 2N fois la même
  opération, ou 2N opérations en parallèle, un
  ordinateur quantique peut le faire en 1 étape

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Etats superposés le photon

• A Un photon arrive sur un miroir
  semi-réfléchissant. Dans 50 des cas, il arrive
  au détecteur 1 et, dans l'autre moitié des cas,
  au détecteur 2.

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Etats superposés le photon

• B Un photon arrive sur un miroir
  semi-réfléchissant. Il peut alors emprunter deux
  chemins pour arriver sur un autre miroir
  semi-réfléchissant. Ensuite, on observe que le
  photon arrive dans 100 des cas au détecteur 1.

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Etats superposés le photon

• C Si on bloque un des deux chemins, le photon
  arrive dans 50 des cas au détecteur 1 et, dans
  l'autre moitié des cas, au détecteur 2.

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Etats superposés le photon

• Conclusion Dans le cas B, le photon est passé
  par les deux chemins possibles, et c'est
  l'interférence entre les deux trajets qui amène
  le photon à aller uniquement vers le détecteur 1.
  Cela illustre le fait qu'un objet quantique peut
  se trouver dans plusieurs états simultanément.

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Paradoxe du chat de Schrödinger
C est une expérience de pensée qui illustre
létrangeté de la physique quantique lorsquon la
compare à des phénomènes de la vie courante
Un chat est enfermé dans une boîte avec une fiole
de poison mortel. Dans un coin de la boîte, un
atome d'uranium radioactif et un détecteur connu
pour ne fonctionner qu'une minute. Pendant cette
minute, il y a 50 de chances pour que l'atome
d'uranium se désintègre en éjectant un électron
qui déclenchera un mécanisme vidant la fiole.
Si on ferme la boîte et qu on tente
l expérience, le chat sera vivant ou mort?
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Paradoxe de Schrödinger

• La loi des probabilités répond qu'il y a 50 des
  chances que le chat soit mort et 50 des chances
  qu'il soit vivant.
• D après les lois de la physique quantique, on
  arrive au constat que le chat est à la fois
  vivant ET mort
• Selon les lois de la mécanique quantique, l'atome
  d'uranium peut à la fois être désintégré et
  entier les particules atomiques peuvent donc
  exister dans plusieurs états superposés et
  simultanés, comme dans des mondes parallèles

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La décohérence

• Une des explications de ce paradoxe est la
  décohérence, un principe mathématique qui permet
  d'expliquer pourquoi nous n'observons pas de
  superposition détats à léchelle humaine, par
  rapport au monde quantique.
• Un éventuel ordinateur quantique emmagasinerait
  aussi l'information sous forme de valeurs 0 ou 1,
  mais pourrait également superposer ces deux états
  à la fois, comme pour le chat de Schrödinger.

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Le problème de la décohérence

• Un état quantique est constitué de plusieurs
  paramètres (vitesse et position d un électron)
• Le principe d Heisenberg stipule que lon ne
  peut pas connaître simultanément la position et
  la vitesse d un électron autour du noyau si on
  mesure l un des deux, létat de la particule est
  perturbé
• La particularité d un système quantique
  (superposition d état) disparaît lorsquil y a
  interaction avec le monde macroscopique

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Les obstacles

• Avec un ordinateur classique, on ne modifie pas
  une donnée en la lisant.
• Avec un ordinateur quantique, les données
  seraient altérées si elles étaient examinées
  dès que l'on observerait une information, on
  dénaturerait le système et le résultat serait
  faussé.
• On ne peut reproduire ce que l'on ne connaît pas,
  on ne serait donc pas en mesure de copier
  l'information avec l'ordinateur quantique

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Support Physique?

• Les techniques utilisant des atomes individuels
  ou des polarisations par des lasers sont soumises
  au problème de décohérence
• Une solution consiste à utiliser les molécules
  présentes dans un liquide. Les opérations sont
  effectuées grâce à un champ magnétique (Résonance
  Magnétique Nucléaire). Le problème de décohérence
  existe toujours, mais on dispose de plus de temps
  avant quil ne sapplique. La molécule de caféine
  serait une bonne candidate

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Réalisation physique

• Un ordinateur quantique peut être construit en
  utilisant n'importe quelle petite particule qui
  peut avoir deux états. Des ordinateurs quantiques
  peuvent être construits à partir d'atomes qui
  sont à la fois excités et non excités au même
  moment. Ils peuvent être construits à partir de
  photons de lumière qui sont à deux endroits au
  même moment. Ils peuvent être construits à partir
  de protons et de neutrons ayant un spin soit
  positif soit négatif ou les deux en même temps.

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Support Physique

• La recherche de supports physiques adéquats et
  des moyens de mesure est un partie importante
  pour la réalisation d ordinateurs quantiques
• Les moyens actuels ne permettent pas de réaliser
  des ordinateurs de plus de 10 q-bits qui restent
  peu intéressants et durent peu longtemps

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Comment ça marche

• Un ordinateur quantique initialise tous les
  nombres complexes à des valeurs équiprobables
  (2n nombres pour n q-bits)
• La liste des nombres complexes peut être vue
  comme un vecteur a 2n valeurs
• A chaque étape de calcul le vecteur est modifié
  par une multiplication avec une matrice
• Cette matrice définit les opérations effectuées
  sur les q-bits (polarisations, champs
  magnétiques) qui permettent de faire tendre
  l état d un q-bit plutôt vers 0 ou 1

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Comment ça marche?
Prenons par exemple un ordinateur quantique à 2
q-bits. Un tel ordinateur peut stocker
(superposer) 4 valeurs (00,01,10,11)
simultanément. On peut exprimer
 théoriquement  cette superposition sous la
forme dune représentation linéaire
(vectorielle)
a(00)b(01)c(10)d(11) où a, b, c, d sont des
nombres complexes tels que
On a une distribution de probabilité sur les
états possibles des deux q-bits.
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Comment ça marche?
Etat
Amplitude
Probabilité (Amplitude2)
a0.3i0.1
00
0.10
01
b0.6i0.5
0.61
10
c0.1i0.4
0.17
11
d0.2i0.2Ö2
0.12
Les nombre complexes sont un instantané du
contenu d un ordinateur quantique lors dun
calcul. Lors dun calcul les 2 q-bits
inter-agissent entre eux.
Il nest pas possible de  voir  directement ces
2 q-bits.
Un seule mesure est effectuée, elle retourne les
valeurs de 2 bits. Les valeurs sont générées
selon la distribution des probabilités.
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Application Algorithme de Lov Grover
Objectif Savoir si un nombre x est présent dans
une liste de N nombres non triés
52 18 6 3 4 .. 41 2 98 25
25 est-il présent dans
Un algorithme classique consiste à parcourir la
liste des N nombres ( de gauche à droite ) en
comparant chaque nombre de la liste avec x. On
sarrête quand on a trouvé x. Lorsquon arrive à
la fin de la liste sans lavoir trouvé,
l algorithme répond que x n est pas présent.
Dans le pire des cas on fait N étapes de calcul
(N comparaisons) En moyenne N/2 étapes.
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Algorithme de Lov Grover

• Lalgorithme de Grover, utilisé sur un ordinateur
  quantique, est capable de trouver x en ÖN étapes.

• Cet algorithme est plus efficace car il essaie de
  tester simultanément tous les cas

• Une illustration intéressante de cet algorithme
  consiste à considérer le problème de louverture
  dun cadenas à 4 possibilités (donc codées sur 2
  bits).

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Cadenas classique
Cadenas quantique
Après avoir été convenablement préparé, le
cadenas livre sa combinaison dès la première
tentative. Les pourcentages inscrits sur le
cadenas indiquent les populations relatives
mesurées pour chacun des quatre états quantiques.
25
Algorithme de Peter Shor
1994 Shor propose un algorithme quantique
capable de trouver la décomposition d un nombre
en facteurs premiers en un temps qui peut être
borné par un polynôme. Pour les ordinateurs
classiques le seul algorithme connu est effectué
en un temps  supérieur  à une fonction
exponentielle. Les implications de ce résultat
concerne la cryptographie (le codage de
messages). Pour décrypter un message il faut
être capable de trouver une décomposition d un
nombre en facteurs premiers.
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Cryptographie - Principe à clés
L'utilisateur possède une clé privée et une clé
publique. Il distribue sa clé publique et garde
secrète sa clé privée. Tout le monde peut lui
écrire en utilisant la clé publique, mais seul
l'utilisateur destinataire pourra décrypter et
donc lire le message avec sa clé privée.
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Cryptographie - Principe
On choisit p et q premiers (p3, q11). npq
(33) et z(p-1)(q-1) (20) On choisit e au
hasard premier avec z (Par ex e3) .
d(1/e)mod(z) (7). (e,n) clé publique --
(d,z) clé privée On a CMe mod(n), et MCd
mod(n). (En pratique p et n gt 10150)
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Cryptographie - conséquences
Le décodage dune clé sur 129 bits peut prendre
autour de 8 mois et a nécessité 1600 ordinateurs
disponibles sur Internet. Il faudrait plus de
temps que lâge de lunivers pour calculer un
code sur 140 bits. Cependant pour un ordinateur
quantique, utilisant l algorithme de Shor, il ne
faudrait que quelques secondes.....
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Leffet EPR (Eistein-Podolski-Rosen)

• Phénomène de non-séparabilité qui heurte le sens
  commun

• Imaginons deux particules qui interagissent puis
  s'éloignent l'une de l'autre Ces deux
  particules jumelles sont dites corrélées, comme
  par exemple deux photons émis par un même atome
  excité.

• Ces deux photons, comme tous les photons, sont
  dotés d'une propriété particulière, la
  polarisation, qui est définie comme la direction
  du champ électrique qui leur est associé
• Deux photons corrélés auront donc une mesure de
  polarisation de 1 pour l'un et obligatoirement
  de -1 pour l'autre.

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Leffet EPR(Einstein-Podolski-Rosen)
Selon l'interprétation classique chaque photon a
conservé sa polarisation après leur séparation
l'un est polarisé 1 et l'autre -1, bien avant
que l'observateur n'effectue de mesure. Les deux
photons constituent deux systèmes séparés et sont
totalement indépendants l'un de l'autre.
Selon l'interprétation quantique tant que
personne n'a effectué de mesure, la polarisation
de chaque photon reste indeterminée. Le même
principe s'applique à la position indéterminée de
l'électron autour du noyau atomique avant mesure.
Ce n'est donc qu'au moment où la mesure est faite
sur un photon que l'autre acquiert ses
caractéristiques si la polarisation d'un photon
est 1, l'autre devient -1 et vice-versa. Les
deux particules forment un ensemble inséparable,
même si elles sont infiniment éloignées...
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Leffet EPR(Einstein-Podolski-Rosen)
Implication en cryptographie possibilité
d avoir des méthodes de codage  sûres . En
effet on est capable de savoir quand l état
d une particule a changé (par exemple quand une
mesure a été effectuée). S il a changé avant la
transmission de linformation, on peut détecter
une interception et le message intercepté est
erroné.
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Applications des ordinateurs-q

• Factorisation des grands nombres, nombres
  premiers (cryptographie)
• Recherche exhaustive dans les BDD
• Problèmes demandant plusieurs millions dannées
  pour les ordinateurs classiques pourraient être
  traités plus facilement
• Perspective ? Ordinateurs dans le vernis à
  ongles, voyageant dans le corps humain

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Les ordinateurs quantiques

• 1998 une équipe de Berkeley annonce la
  réalisation du premier ordinateur avec 2 q-bits
  (dans 1 dé à coudre de chloroforme)
• 1999 Ordinateur à 3 q-bits
• 2000 Ordinateur à 5 q-bits à 215 Hz utilisant 5
  atomes de fluor (d une molécule complexe)
• Premiers éléments de mémoire en 2005, premiers
  calculateurs en 2010 ?
• Commercialisation des premiers ordinateurs
  (constitués de plusieurs douzaines de q-bits)
  pour 2020 ??

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Conclusion

• Utilisation de propriétés de la physique
  quantique pour effectuer des calculs (au niveau
  nanoscopique)
• Puissance de calcul (et stockage) augmente
  exponentiellement grâce au principe de
  superposition
• Applications dans le domaine de la cryptographie
• Obstacles physiques - puissance encore faible
• Certaines opérations encore impossibles
• Les perspectives de développement semblent
  prometteuses et beaucoup d équipe de recherche
  s y intéressent

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Documents -- Liens

• http//www.qubit.org articles scientifiques et
  de vulgarisation
• http//fr.wikipedia.org/wiki/Ordinateur_quantique
• http//www.doc.ic.ac.uk/nd/surprise_97/journal/vo
  l4/spb3/
• http//www.physique.usherb.ca/attracte/081999/hist
  oire.htm
• http//mdecore.free.fr/ordi-quantiques/