Une approche interdisciplinaire dans l'tude du rapport des lves au symbolisme algbrique: de l'articu

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Une approche interdisciplinaire dans l'étude du
rapport des élèves au symbolisme algébrique de
l'articulation théorique entre didactique et
épistémologie à l'application pratique en EIAH

• Caroline Bardini Irem Paris 7
• 25 Février 2004

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Problématique

• Fragilité du rapport à la factorisation des
  élèves en fin de Troisième

Une tâche accomplie à laveugle, où intervient un
certain nombre de règles  inquestionnables 
vouées à transformer un ensemble décritures
algébriques qui restent exemptes de sens

• Comment les élèves perçoivent-ils les
  expressions quils manipulent? Comment
  perçoivent-ils les différents éléments qui
  constituent ces expressions?

Que se cache-t-il, pour lélève, derrière le
symbole?
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I - Les différents usages de lhistoire en
didactique de lalgèbre
Modéliser différentes étapes de construction des
concepts mathématiques
Développer /analyser des séquences denseignement
Sfard
Harper
Kieran
Radford
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II - Létude du symbolique en didactique
Sens et dénotation - Frege
Sens mode de donation du signe Dénotation ce
que le signe désigne Soient a, b, c les médianes
dun triangle. Le point dintersection de a et de
b est le même que celui de b et de c.
représentation
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III Ecrits épistémologiques autour de lalgèbre
Articulation maths./ philosophie
La philosophie de lAlgèbre J.
Vuillemin Formes, opérations et objets G-G.
Granger
 Mais le but principal dune telle notation
nest pas de servir pour la description des
choses auquel cas il serait mieux davoir des
reproductions de ces choses ou les choses
elles-mêmes mais plutôt servir au raisonnement
(...) 
On the influence of signs in Mathematical
Reasoning- C. Babbage Des notations
mathématiques. Enumération, choix et usages D.
André La sémiologie de Leibniz M. Dascal A
History of mathematical notations - F. Cajori
Notations maths.
La constitution de lécriture symbolique
mathématique M. Serfati
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IV - Les six figures de la représentation
Une étude épistémologique, par le biais de son
évolution historique, de la constitution de
lécriture symbolique mathématique.
1.      La représentation du requis 2.      La
représentation du donné 3.      La représentation
des instructions opératoires élémentaires 4.     
La représentation de lenchevêtrement des
instructions 5.      La représentation de la mise
en égalité 6. La représentation des
concepts composés
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V - Articulation entre didactique et
épistémologie
6 figures de la représentation

• Difficulté de certains élèves à aborder la
  question de la représentation dun nombre
   arbitraire mais fixé 
• Réticences délèves à percevoir la symétrie que
  véhicule la représentation de la mise à égalité.

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(Re)lecture. Part dinconnu et substance inconnue
Part dinconnu Quelque chose qui nest pas
donnée par le texte. Indication quil sagit dun
 problème  où tout nest pas donné.
Substance inconnue Valeur dune grandeur,
permanente dans le texte, mais inconnue.

• Diophante
• Trouver deux nombres tels que leur somme est
  égale à 20 et tels que la somme de leurs carrés
  est égale à 208.
• Diophante (notation moderne) (10x)2(10-x)2208
  (donc x2). Sol 12 et 8

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Articulation entre didactique et épistémologie
Outil pour lanalyse de laccès au symbolisme
conception de tâches et analyse des réponses
3 idées transversales

• - La substitution (Art combinatoire)
• Deux positions conceptuelles (auteur/lecteur) p/
  lexploration dune écriture symbolique
• Usage des lettres

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Conception de tâches - LArt combinatoire
4. (x1)3 - 4.x3 - 1 0
Recherche des racines multiples
Après littéralisation
Que dire des entiers indéterminés (de signe n)
pour que la nouvelle équation admette aussi une
racine multiple?
4. (x1)n - 4.xn - 1 0
Autre littéralisation
Peut-on déterminer les nombres indéterminés de
signe a pour que léquation admette une racine
multiple?
4. (x1)3 - 4.x3 - a 0
Peut-on déterminer les nombres de signe a pour
que, lentier de signe n étant donné, léquation
admette une racine multiple?
Après double littéralisation
4. (x1)n - 4.xn a 0
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Conception de tâches LArt combinatoire
Imaginez-vous dans un monde sans grandes
puissances  où les carrés, les cubes, etc.
nexistent pas. Un monde où toutes les puissances
sont écrites en fonction de la seule puissance
existante  celle du premier degré. En dautres
mots, cest un monde où x existe, mais où x2, x3,
x4, etc. nexistent pas. Dans ce monde où x est
la référence absolue, on na quune information 
on sait que x2 2x-2.
a) Dans ce monde, comment peut-on écrire x3 ?
b) Complétez le tableau de multiplication
suivant 
c) A laide du tableau précédent, pouvez-vous
déterminer combien vaut, dans ce monde, la
somme  -x3 2x2 - 2x ?
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Conception de tâches - Auteur / lecteur dune
expression algébrique
Fournir au lecteur la représentation symbolique
dune instruction élémentaire, cest-à-dire dune
règle pour lexécution dune action ou opération
portant sur deux quantités, qui sont, soit des
nombres connus, soit des grandeurs inconnues
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Conception de tâches - Auteur / lecteur dune
expression algébrique
Si le déchiffrage de lécriture symbolique par le
lecteur commence par linterprétation des
assembleurs de plus bas niveaux (linstruction
daddition), la volonté première de lauteur est
de représenter symboliquement un  carré .
1 2 5 4 1 2 1 3 1
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Conception de tâches - Auteur / lecteur dune
expression algébrique
Exercice - Pour les questions suivantes,
associer, à chaque expression mathématique, la
phrase qui la décrit. Si vous associez  autre ,
à une expression, préciser la phrase qui la
décrit dans le rectangle prévu. a et b
représentent deux nombres non nuls.
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Analyse de quelques réponses délèves -
Auteur/lecteur
Analyse sous le prisme des démarches analytique
et synthétique la  reconstruction  des
expressions.
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Analyse de quelques réponses délèves
Descriptions rhétoriques
(x -1) x (y -1)
4ème
2nde
 Il suffit de prendre le nombre de noisettes en
longueur moins une noisette pour le bord et
multiplier par le nombre de noisettes en largeur
moins une pour le bord. 
    On peut connaître le nombre de pépite en
soustrayan un à la largeur de la plaquette et
faire pareil sur la longueur puis les multiplier
ensemble 
 () en faisant le nombre de noisettes en
largeur-1 x nombre de noisettes en longueur-1
nombre de pépite dans une tablette .
Type de description intermédiaire entre
rhétorique et symbolique qui tient compte non
seulement de la présence de symboles mais aussi
lordre dans lequel apparaissent les traductions
des différents assembleurs.
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Perspectives pour une application dans les EIAH
Analyse de la complexité des expressions
Trois aspects intimement liés type de tâche,
nature des éléments constitutifs des expressions
et complexité de celles-ci.
Quelles sont les  variables  des expressions
algébriques sur lesquelles nous pouvons jouer de
façon à garder une certaine pertinence à la tâche
proposée et dans quelle mesure les variations
apportées sur certains éléments d'une expression
algébrique influent-elles sur la complexité de
celle-ci ?
Analyse systématique des expressions algébriques.
Envisager des modifications et étudier les effets
(génération automatique)
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Modifications appliquées aux expressions de
niveau deux
( a b )2
(a2)2